Vetenskapens namn "geometri" översätts som "jordmätning". Det uppstod genom ansträngningar från de allra första forntida markförvaltarna. Och det hände så här: under den heliga Nilens översvämningar spolade vattenströmmar ibland bort gränserna för böndernas tomter, och de nya gränserna kanske inte sammanfaller med de gamla. Skatter betalades av bönder till faraos skattkammare i proportion till storleken på marktilldelningen. Särskilda personer var inblandade i att mäta arealerna med åkermark inom de nya gränserna efter utsläppet. Det var som ett resultat av deras verksamhet som ny vetenskap, som utvecklades i Antikens Grekland. Där fick den sitt namn och praktiskt taget förvärvad modernt utseende. Därefter blev termen ett internationellt namn för vetenskapen om platta och tredimensionella figurer.
Planimetri är en gren av geometrin som sysslar med studiet av plana figurer. En annan gren av vetenskapen är stereometri, som undersöker egenskaperna hos rumsliga (volumetriska) figurer. Sådana siffror inkluderar den som beskrivs i den här artikeln - en cylinder.
Exempel på förekomst av föremål cylindrisk V vardagsliv massor. Nästan alla roterande delar - axlar, bussningar, axeltappar, axlar, etc. - har en cylindrisk (mycket mindre ofta - konisk) form. Cylindern används också ofta i konstruktion: torn, stödpelare, dekorativa pelare. Och även rätter, vissa typer av förpackningar, rör med olika diametrar. Och slutligen - de berömda hattarna, som länge har blivit en symbol för manlig elegans. Listan fortsätter och fortsätter.
Definition av en cylinder som en geometrisk figur
En cylinder (cirkulär cylinder) brukar kallas en figur som består av två cirklar, som om så önskas kombineras med hjälp av parallell translation. Dessa cirklar är basen av cylindern. Men linjerna (raka segmenten) som förbinder motsvarande punkter kallas "generatorer".
Det är viktigt att cylinderns baser alltid är lika (om detta villkor inte är uppfyllt, då har vi en stympad kon, något annat, men inte en cylinder) och är i parallella plan. Segmenten som förbinder motsvarande punkter på cirklar är parallella och lika.
Uppsättningen av ett oändligt antal bildande element är inget annat än cylinderns laterala yta - ett av elementen i en given geometrisk figur. Dess andra viktiga komponent är de cirklar som diskuterats ovan. De kallas baser.
Typer av cylindrar
Den enklaste och vanligaste typen av cylinder är cirkulär. Den bildas av två regelbundna cirklar som fungerar som baser. Men istället för dem kan det finnas andra figurer.
Cylindrarnas baser kan bilda (utöver cirklar) ellipser och andra slutna figurer. Men cylindern behöver inte nödvändigtvis ha en sluten form. Till exempel kan basen av en cylinder vara en parabel, en hyperbel eller en annan öppen funktion. En sådan cylinder kommer att vara öppen eller utplacerad.
Beroende på lutningsvinkeln för cylindrarna som bildar baserna kan de vara raka eller lutande. För en rak cylinder är generatriserna strikt vinkelräta mot basens plan. Om denna vinkel skiljer sig från 90°, lutar cylindern.
Vad är en yta av revolution
Den raka cirkulära cylindern är utan tvekan den vanligaste rotationsytan som används inom teknik. Ibland, av tekniska skäl, används koniska, sfäriska och vissa andra typer av ytor, men 99% av alla roterande axlar, axlar etc. är gjorda i form av cylindrar. För att bättre förstå vad en rotationsyta är kan vi överväga hur själva cylindern är formad.
Låt oss säga att det finns en viss rak linje a, placerad vertikalt. ABCD är en rektangel, vars ena sidor (segment AB) ligger på en linje a. Om vi roterar en rektangel runt en rät linje, som visas i figuren, kommer volymen som den kommer att uppta när den roterar att vara vår rotationskropp - en rät cirkulär cylinder med höjden H = AB = DC och radien R = AD = BC.
I det här fallet, som ett resultat av att rotera figuren - en rektangel - erhålls en cylinder. Genom att rotera en triangel kan du få en kon, genom att rotera en halvcirkel - en boll, etc.
Cylinderyta
För att beräkna ytarean på en vanlig höger cirkulär cylinder, är det nödvändigt att beräkna arean av baserna och sidoytorna.
Låt oss först titta på hur den laterala ytarean beräknas. Detta är produkten av cylinderns omkrets och cylinderns höjd. Omkretsen är i sin tur lika med två gånger produkten av det universella talet P med cirkelns radie.
Arean av en cirkel är känd för att vara lika med produkten P per kvadratradie. Så, genom att lägga till formlerna för arean för att bestämma sidoytan med det dubbla uttrycket för arean av basen (det finns två av dem) och göra enkla algebraiska transformationer, får vi det slutliga uttrycket för att bestämma ytan cylinderns område.
Bestämma volymen av en figur
Volymen på en cylinder bestäms enligt standardschemat: basens yta multipliceras med höjden.
Således ser den slutliga formeln ut så här: det önskade värdet definieras som produkten av kroppens höjd med det universella numret P och med kvadraten på basens radie.
Den resulterande formeln, det måste sägas, är tillämplig för att lösa de mest oväntade problemen. På samma sätt som cylindervolymen, till exempel, bestäms volymen av elektriska ledningar. Detta kan vara nödvändigt för att beräkna massan på trådarna.
Den enda skillnaden i formeln är att istället för en cylinders radie finns diametern på ledningssträngen delad i hälften och antalet trådar i tråden visas i uttrycket N. Dessutom, istället för höjd, används längden på tråden. På detta sätt beräknas volymen på "cylindern" inte bara av en, utan av antalet trådar i flätan.
Sådana beräkningar krävs ofta i praktiken. När allt kommer omkring är en betydande del av vattenbehållare gjorda i form av ett rör. Och det är ofta nödvändigt att beräkna volymen på en cylinder även i hushållet.
Men som redan nämnts kan cylinderformen vara annorlunda. Och i vissa fall är det nödvändigt att beräkna vad volymen på en lutande cylinder är.
Skillnaden är att basens yta inte multipliceras med längden på generatrisen, som i fallet med en rak cylinder, utan med avståndet mellan planen - ett vinkelrätt segment konstruerat mellan dem.
Som kan ses från figuren, ett sådant segment lika med produkten generatrisens längd med sinus för generatrisens lutningsvinkel mot planet.
Hur man bygger en cylinderutveckling
I vissa fall är det nödvändigt att skära ut en cylinderförpackning. Figuren nedan visar reglerna enligt vilka ett ämne är konstruerat för tillverkning av en cylinder med en given höjd och diameter.
Observera att ritningen visas utan sömmar.
Skillnader mellan en fasad cylinder
Låt oss föreställa oss en viss rak cylinder, avgränsad på ena sidan av ett plan vinkelrätt mot generatorerna. Men planet som begränsar cylindern på andra sidan är inte vinkelrätt mot generatorerna och inte parallellt med det första planet.
Figuren visar en fasad cylinder. Plan A i en viss vinkel, som skiljer sig från 90° till generatorerna, skär figuren.
Denna geometriska form finns oftare i praktiken i form av rörledningsanslutningar (knäbågar). Men det finns till och med byggnader byggda i form av en fasad cylinder.
Geometriska egenskaper hos en fasad cylinder
Lutningen av ett av planen på en avfasad cylinder ändrar något förfarandet för att beräkna både ytarean på en sådan figur och dess volym.
En cylinder är en geometrisk kropp som begränsas av två parallella plan och en cylindrisk yta. I artikeln kommer vi att prata om hur man hittar arean av en cylinder och med hjälp av formeln kommer vi att lösa flera problem som ett exempel.
En cylinder har tre ytor: en topp, en bas och en sidoyta.
Toppen och basen av en cylinder är cirklar och är lätta att identifiera.
Det är känt att arean av en cirkel är lika med πr 2. Därför kommer formeln för arean av två cirklar (toppen och basen av cylindern) att vara πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Den tredje sidoytan på cylindern är cylinderns krökta vägg. För att bättre kunna föreställa oss denna yta, låt oss försöka omvandla den för att få en igenkännbar form. Föreställ dig att cylindern är en vanlig plåtburk som inte har topplock eller botten. Låt oss göra ett vertikalt snitt på sidoväggen från toppen till botten av burken (steg 1 i figuren) och försöka öppna (räta ut) den resulterande figuren så mycket som möjligt (steg 2).
Efter att den resulterande burken är helt öppnad kommer vi att se en välbekant figur (steg 3), detta är en rektangel. Arean av en rektangel är lätt att beräkna. Men innan dess, låt oss återvända ett ögonblick till den ursprungliga cylindern. Spetsen på den ursprungliga cylindern är en cirkel, och vi vet att omkretsen beräknas med formeln: L = 2πr. Det är markerat med rött i figuren.
När cylinderns sidovägg är helt öppen ser vi att omkretsen blir längden på den resulterande rektangeln. Sidorna på denna rektangel kommer att vara omkretsen (L = 2πr) och cylinderns höjd (h). Arean av en rektangel är lika med produkten av dess sidor - S = längd x bredd = L x h = 2πr x h = 2πrh. Som ett resultat fick vi en formel för att beräkna arean på cylinderns laterala yta.
Formel för den laterala ytan av en cylinder
S sida = 2πrh
Total yta av en cylinder
Slutligen, om vi lägger till arean av alla tre ytorna, får vi formeln för den totala ytarean av en cylinder. Ytan på en cylinder är lika med arean av cylinderns topp + arean av cylinderns bas + arean av cylinderns sidoyta eller S = πr 2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. Ibland skrivs detta uttryck identiskt med formeln 2πr (r + h).
Formel för den totala ytan av en cylinder
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – cylinderns radie, h – cylinderns höjd
Exempel på beräkning av ytan på en cylinder
För att förstå formlerna ovan, låt oss försöka beräkna ytan på en cylinder med hjälp av exempel.
1. Radien på cylinderns bas är 2, höjden är 3. Bestäm arean av cylinderns laterala yta.
Den totala ytan beräknas med formeln: S-sidan. = 2πrh
S sida = 2 * 3,14 * 2 * 3
S sida = 6,28 * 6
S sida = 37,68
Cylinderns laterala yta är 37,68.
2. Hur hittar man ytan på en cylinder om höjden är 4 och radien är 6?
Den totala ytan beräknas med formeln: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
S = 226,08 + 150,72
Ytan på cylindern är 376,8.
Vetenskapens namn "geometri" översätts som "jordmätning". Det uppstod genom ansträngningar från de allra första forntida markförvaltarna. Och det hände så här: under den heliga Nilens översvämningar spolade vattenströmmar ibland bort gränserna för böndernas tomter, och de nya gränserna kanske inte sammanfaller med de gamla. Skatter betalades av bönder till faraos skattkammare i proportion till storleken på marktilldelningen. Särskilda personer var inblandade i att mäta arealerna med åkermark inom de nya gränserna efter utsläppet. Det var som ett resultat av deras verksamhet som en ny vetenskap uppstod, som utvecklades i antikens Grekland. Där fick den sitt namn och fick ett nästan modernt utseende. Därefter blev termen ett internationellt namn för vetenskapen om platta och tredimensionella figurer.
Planimetri är en gren av geometrin som sysslar med studiet av plana figurer. En annan gren av vetenskapen är stereometri, som undersöker egenskaperna hos rumsliga (volumetriska) figurer. Sådana siffror inkluderar den som beskrivs i den här artikeln - en cylinder.
Det finns gott om exempel på förekomsten av cylindriska föremål i vardagen. Nästan alla roterande delar - axlar, bussningar, axeltappar, axlar, etc. - har en cylindrisk (mycket mindre ofta - konisk) form. Cylindern används också ofta i konstruktion: torn, stödpelare, dekorativa pelare. Och även rätter, vissa typer av förpackningar, rör med olika diametrar. Och slutligen - de berömda hattarna, som länge har blivit en symbol för manlig elegans. Listan fortsätter och fortsätter.
Definition av en cylinder som en geometrisk figur
En cylinder (cirkulär cylinder) brukar kallas en figur som består av två cirklar, som om så önskas kombineras med hjälp av parallell translation. Dessa cirklar är basen av cylindern. Men linjerna (raka segmenten) som förbinder motsvarande punkter kallas "generatorer".
Det är viktigt att cylinderns baser alltid är lika (om detta villkor inte är uppfyllt, då har vi en stympad kon, något annat, men inte en cylinder) och är i parallella plan. Segmenten som förbinder motsvarande punkter på cirklar är parallella och lika.
Uppsättningen av ett oändligt antal bildande element är inget annat än cylinderns laterala yta - ett av elementen i en given geometrisk figur. Dess andra viktiga komponent är de cirklar som diskuterats ovan. De kallas baser.
Typer av cylindrar
Den enklaste och vanligaste typen av cylinder är cirkulär. Den bildas av två regelbundna cirklar som fungerar som baser. Men istället för dem kan det finnas andra figurer.
Cylindrarnas baser kan bilda (utöver cirklar) ellipser och andra slutna figurer. Men cylindern behöver inte nödvändigtvis ha en sluten form. Till exempel kan basen av en cylinder vara en parabel, en hyperbel eller en annan öppen funktion. En sådan cylinder kommer att vara öppen eller utplacerad.
Beroende på lutningsvinkeln för cylindrarna som bildar baserna kan de vara raka eller lutande. För en rak cylinder är generatriserna strikt vinkelräta mot basens plan. Om denna vinkel skiljer sig från 90°, lutar cylindern.
Vad är en yta av revolution
Den raka cirkulära cylindern är utan tvekan den vanligaste rotationsytan som används inom teknik. Ibland, av tekniska skäl, används koniska, sfäriska och vissa andra typer av ytor, men 99% av alla roterande axlar, axlar etc. är gjorda i form av cylindrar. För att bättre förstå vad en rotationsyta är kan vi överväga hur själva cylindern är formad.
Låt oss säga att det finns en viss rak linje a, placerad vertikalt. ABCD är en rektangel, vars ena sidor (segment AB) ligger på en linje a. Om vi roterar en rektangel runt en rät linje, som visas i figuren, kommer volymen som den kommer att uppta när den roterar att vara vår rotationskropp - en rät cirkulär cylinder med höjden H = AB = DC och radien R = AD = BC.
I det här fallet, som ett resultat av att rotera figuren - en rektangel - erhålls en cylinder. Genom att rotera en triangel kan du få en kon, genom att rotera en halvcirkel - en boll, etc.
Cylinderyta
För att beräkna ytarean på en vanlig höger cirkulär cylinder, är det nödvändigt att beräkna arean av baserna och sidoytorna.
Låt oss först titta på hur den laterala ytarean beräknas. Detta är produkten av cylinderns omkrets och cylinderns höjd. Omkretsen är i sin tur lika med två gånger produkten av det universella talet P med cirkelns radie.
Arean av en cirkel är känd för att vara lika med produkten P per kvadratradie. Så, genom att lägga till formlerna för arean för att bestämma sidoytan med det dubbla uttrycket för arean av basen (det finns två av dem) och göra enkla algebraiska transformationer, får vi det slutliga uttrycket för att bestämma ytan cylinderns område.
Bestämma volymen av en figur
Volymen på en cylinder bestäms enligt standardschemat: basens yta multipliceras med höjden.
Således ser den slutliga formeln ut så här: det önskade värdet definieras som produkten av kroppens höjd med det universella numret P och med kvadraten på basens radie.
Den resulterande formeln, det måste sägas, är tillämplig för att lösa de mest oväntade problemen. På samma sätt som cylindervolymen, till exempel, bestäms volymen av elektriska ledningar. Detta kan vara nödvändigt för att beräkna massan på trådarna.
Den enda skillnaden i formeln är att istället för en cylinders radie finns diametern på ledningssträngen delad i hälften och antalet trådar i tråden visas i uttrycket N. Dessutom, istället för höjd, används längden på tråden. På detta sätt beräknas volymen på "cylindern" inte bara av en, utan av antalet trådar i flätan.
Sådana beräkningar krävs ofta i praktiken. När allt kommer omkring är en betydande del av vattenbehållare gjorda i form av ett rör. Och det är ofta nödvändigt att beräkna volymen på en cylinder även i hushållet.
Men som redan nämnts kan cylinderformen vara annorlunda. Och i vissa fall är det nödvändigt att beräkna vad volymen på en lutande cylinder är.
Skillnaden är att basens yta inte multipliceras med längden på generatrisen, som i fallet med en rak cylinder, utan med avståndet mellan planen - ett vinkelrätt segment konstruerat mellan dem.
Som framgår av figuren är ett sådant segment lika med produkten av generatrisens längd och sinus för generatrisens lutningsvinkel mot planet.
Hur man bygger en cylinderutveckling
I vissa fall är det nödvändigt att skära ut en cylinderförpackning. Figuren nedan visar reglerna enligt vilka ett ämne är konstruerat för tillverkning av en cylinder med en given höjd och diameter.
Observera att ritningen visas utan sömmar.
Skillnader mellan en fasad cylinder
Låt oss föreställa oss en viss rak cylinder, avgränsad på ena sidan av ett plan vinkelrätt mot generatorerna. Men planet som begränsar cylindern på andra sidan är inte vinkelrätt mot generatorerna och inte parallellt med det första planet.
Figuren visar en fasad cylinder. Plan A i en viss vinkel, som skiljer sig från 90° till generatorerna, skär figuren.
Denna geometriska form finns oftare i praktiken i form av rörledningsanslutningar (knäbågar). Men det finns till och med byggnader byggda i form av en fasad cylinder.
Geometriska egenskaper hos en fasad cylinder
Lutningen av ett av planen på en avfasad cylinder ändrar något förfarandet för att beräkna både ytarean på en sådan figur och dess volym.
Cylinder
Def. En cylinder är en kropp som består av två cirklar som är kombinerade
parallell translation och alla segment som förbinder motsvarande punkter
dessa cirklar.
Cirklarna kallas cylinderns baser, och segmenten som förbinder motsvarande punkter i cirklarna i dessa cirklar kallas cylinderns generatorer (fig. 1)
ris. 1 bild. 2 fig. 3 fig. 4
Cylinderegenskaper:
1) Cylinderns baser är lika och ligger i parallella plan.
2) Cylinderns generatorer är lika och parallella.
Def. En cylinders radie är radien för dess bas.
Def. Höjden på en cylinder är avståndet mellan planen på dess baser.
Def. Tvärsnittet av en cylinder med ett plan som går genom cylinderaxeln kallas en axiell sektion.
Den axiella sektionen av cylindern är en rektangel med sidorna 2R och l(V rak cylinder l= N) fig. 2
Cylinderns tvärsnitt, parallellt med dess axel, är rektanglar (fig. 3).
Sektion av en cylinder med plan, parallellt med baserna– en cirkel lika med baserna (bild 4)
Ytan på en cylinder.
Cylinderns sidoyta består av generatriser.
Cylinderns hela yta består av baserna och sidoytan.
S full = 2 S grundläggande + S sida ; S grundläggande = P ∙ R 2 ; S sida = 2 P ∙ R ∙HS full = 2PR ∙(R + N)
Praktisk del:
№1. Cylinderns radie är 3 cm och dess höjd är 5 cm. Hitta arean av den axiella sektionen och arean av halv-
på cylinderns yta.
№2.
Diagonalen för cylinderns axiella sektion lutar mot basens plan i en vinkel 
och är lika med 20 cm Hitta arean på cylinderns laterala yta.
№3. Cylinderns radie är 2 cm och dess höjd är 3 cm. Hitta diagonalen för cylinderns axiella sektion.
№4.
Diagonalen för cylinderns axiella sektion är lika med 
, bildar en vinkel med basens plan 
. Hitta cylinderns laterala yta.
№5.
Cylinderns laterala yta är 15 
. Hitta den axiella tvärsnittsarean.
№6.
Hitta höjden på cylindern om arean av dess bas är 1 och S-sidan = 
.
№7.
Diagonalen för cylinderns axiella sektion har en längd av 8 cm och lutar mot basens plan i en vinkel 
. Hitta cylinderns totala yta.
En cylindrisk skorsten med en diameter på 65cm har en höjd på 18m. Hur mycket plåt behövs för att göra den om 10 % av materialet går åt på niten?