TEXTTRANSKRIPT AV LEKTIONEN:
I början av att studera dagens ämne kommer vi att analysera problemet med att tillämpa några satser om vinkelräta linjer och plan
Låt oss komma ihåg dem: Första sats Test för vinkelräthet för en linje och ett plan
Om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i ett plan, så är den vinkelrät mot detta plan.
Och två satser om parallella linjer är en direkt sats. Om en av två parallella linjer är vinkelrät mot ett plan, är den andra linjen också vinkelrät mot detta plan.
Och det omvända satsen. Om två linjer är vinkelräta mot ett plan så är de parallella. Vi har redan diskuterat bevisen för dessa satser.
Bevisa att genom vilken punkt som helst i rymden passerar ett plan vinkelrätt mot en given linje.
För att lösa, betrakta rät linje a, och en godtycklig punkt i rymden - punkt M. Låt oss bevisa att det finns ett plan som går genom punkt M och vinkelrätt mot rät linje a.
För att bevisa detta, låt oss rita två plan α och β som innehåller linje a, eftersom detta är deras gemensamma linje, vilket betyder att rät linje a är deras skärningslinje.
I planet β genom punkt M ritar vi en linje b vinkelrät mot linje a. låt dessa linjer skära varandra i punkt O.
I planet α ritar vi en linje c som går genom punkt O och vinkelrät mot linje a.
Enligt satsen om existensen av ett plan, nämligen genom två skärande linjer i och c, kan man rita ett plan, och bara en.
Betrakta γ (gamma)-planet som passerar genom linjerna c och b.
γ(gamma)-planet kommer att vara det önskade planet, eftersom linjen a är vinkelrät mot två skärande linjer b och c
Detta problem visar att det finns ett plan vinkelrätt mot en given linje. Låt oss överväga ett teorem som anger existensen och unikheten hos en linje vinkelrät mot ett givet plan.
Genom vilken punkt som helst i rymden går en rät linje vinkelrät mot ett givet plan, och endast en.
Betrakta planet α och en godtycklig punkt i rymden - punkt A.
Låt oss bevisa att genom punkt A går en enda rät linje vinkelrät mot det givna planet.
1,2) Så låt oss rita en godtycklig rät linje m i α-planet. Låt oss konstruera ett plan så att det går genom punkt A vinkelrätt mot linjen m.
3.4) Låt planet α och β skära längs den räta linjen n. I planet β, genom punkt A, drar vi en rät linje p, vinkelrät mot den räta linjen n.
5) Rak t är vinkelrät mot planet β, vilket betyder att den är vinkelrät mot vilken rät linje som helst i detta plan, det vill säga rak t är vinkelrät mot rak p.
6) Då är den räta linjen p vinkelrät mot två skärande räta linjer m och n som ligger i planet α, därför, med tecknet för vinkelräthet för linjen och planet, är den räta linjen p vinkelrät mot planet α.
7) Det är viktigt att förstå att det bara kan finnas en sådan linje. Om två räta linjer passerar genom punkt A, till exempel, en annan rät linje p1, vinkelrät mot planet α. Men två raka linjer vinkelräta mot ett plan är parallella, vilket motsäger vårt antagande. Således passerar endast en rät linje vinkelrät mot ett givet plan genom en punkt i rymden.
Detta påstående i geometri kallas för satsen om en linje vinkelrät mot ett plan.
Genom hörn A och B i rektangel ABCD dras parallella linjer AA1 och BB1 som inte ligger i rektangelns plan. Det är känt att AA1 AB och AA1 AD. Hitta BB1 om B1D=25 cm, AB=12 cm, AD=16 cm.
Lösning.1) Eftersom den räta linjen AA1 är vinkelrät mot två skärande räta linjer AD och AB som ligger i rektangelns plan, så är tecknet
den räta linjens vinkelräthet mot planet AA1 är vinkelrät mot planet ABCD.
2) Linje BB1 är parallell med linje AA1, därför är linjen BB1 enligt sats vinkelrät mot planet ABCD och vinkelrät mot vilken linje som helst som ligger i detta plan, det vill säga BB1 är vinkelrät mot linje BD. Så triangeln B1ВD är rätvinklig.
3) Från den räta triangeln BAD, enligt Pythagoras sats, är kvadraten på hypotenusan BD lika med summan av kvadraterna på benen AB och AD och BD är lika med 20 cm.
4) Genom Pythagoras sats från en rätvinklig triangel B1ВD. Kvadraten på benet B1B är lika med skillnaden mellan kvadraterna på hypotenusan B1D och det kända benet BD, och benet är 15 cm.
Låt oss titta på bevisproblemet.
Linje a är vinkelrät mot planet α och vinkelrät mot linje b, som inte ligger i detta plan. Bevisa att b||
Låt oss kalla skärningspunkten för den räta linjen och planpunkten för M.
1,2) Låt oss markera på linje a någon punkt N som inte ligger på linje b. Genom en punkt som inte ligger på en given linje kan man dra en enda rät linje parallellt med den givna. Låt denna linje vara linje b1.
3) Rita en rät linje c1 genom punkt N.
4) Genom punkten M i planet α drar vi en linje c parallell med linjen c1.
5) Genom två skärande räta linjer c1 och b1 kan ett plan β ritas enligt satsen om förekomsten av ett plan.
6) Linje a är vinkelrät mot planet α, vilket betyder att den är vinkelrät mot linjen c som ligger i planet, men c är parallell med linjen c1, därför är linjen a vinkelrät mot linjen c1.
7.8) På samma sätt är linje a vinkelrät mot linje b enligt villkoret, linje b är parallell med linje b1, därför är linje a vinkelrät mot linje b1. Det betyder att linjen a, baserat på linjens och planets vinkelräthet, är vinkelrät mot planet β.
9) Planen α och β är vinkelräta mot linje a, vilket betyder att de är parallella.
10) Linje b är parallell med linje b1, vilket betyder att den är parallell med planet β och parallell med planet α.
I den här lektionen kommer vi att titta på och bevisa satsen om den enda linjen som är vinkelrät mot ett plan.
I början av lektionen formulerar vi den sats som studeras om förekomsten av en unik linje som går genom en given punkt och vinkelrätt mot ett givet plan. För att bevisa det överväger och bevisar vi först påståendet om existensen av ett plan vinkelrätt mot en given linje. Efter att ha bevisat satsen kommer vi att överväga flera följdproblem i ämnet som studeras.
Ämne: Vinkelräthet för en linje och ett plan
Lektion: Sats om en linje vinkelrät mot ett plan
I den här lektionen ska vi titta på och bevisa sats på den enda linjen som är vinkelrät mot ett plan.
Påstående
Ett plan vinkelrätt mot en given linje passerar vilken punkt som helst i rymden.
Bevis(se fig. 1)
Låt oss ges en rak linje A och period M. Låt oss bevisa att det finns ett plan γ som passerar genom punkten M och som är vinkelrät mot linjen A.
Via direkt A låt oss rita planen α och β så att punkten M tillhör planet α. Planen α och β skär varandra i en rät linje A. I α-planet genom punkten M låt oss rita en vinkelrät MN(eller r) till en rak linje A,. I β-planet från punkten Nåterställ vinkelrät q till en rak linje A. Direkt r Och q skär, låt planet γ passera genom dem. Vi finner att linjen A vinkelrätt mot två skärande linjer r Och q från y-planet. Detta innebär, baserat på en linjes och ett plans vinkelräthet, en rät linje A vinkelrätt mot γ-planet.
Sats
Genom vilken punkt som helst i rymden går en rät linje vinkelrät mot ett givet plan, och endast en.
Bevis.
Låt ett plan α och en punkt ges M(se fig. 2). Vi måste bevisa det genom sak M det finns bara en rak linje Med, vinkelrätt mot planet α .
Låt oss göra en direkt A i α-planet (se fig. 3). Enligt påståendet bevisat ovan, genom punkten M det är möjligt att rita ett plan γ vinkelrätt mot linjen A. Låt det vara rakt b- skärningslinjen för planen α och γ.
I γ-planet genom punkten M låt oss göra en direkt Med, vinkelrätt mot linjen b.
Rakt Med vinkelrät b genom konstruktion, rak Med vinkelrät A(sedan rakt Aär vinkelrät mot γ-planet och därför mot den räta linjen Med, liggande i γ-planet). Vi finner att linjen Med vinkelrät mot två skärande linjer från α-planet. Detta innebär, baserat på en linjes och ett plans vinkelräthet, en rät linje Med vinkelrätt mot α-planet. Låt oss bevisa att en sådan rak linje Med den enda.
Låt oss anta att det finns en rät linje Med 1 passerar genom punkten M och vinkelrätt mot a-planet. Det finner vi rakt av Med Och från 1 vinkelrätt mot α-planet. Så det är rakt Med Och från 1 parallell. Men till sin konstruktion är de raka Med Och från 1 skära vid en punkt M. Vi har en motsägelse. Det betyder att det bara finns en rät linje som går genom punkten M och vinkelrätt mot planet α, vilket är vad som behövde bevisas.
Bevisa att om två plan α och β är vinkelräta mot en linje A, då är de parallella.
Bevis:
Låt oss göra en direkt Med parallellt med linjen A. Enligt lemma, om en av två parallella linjer skär ett plan, så skär den andra linjen också planet. Rakt A skär planen α och β efter villkor. Så det är rakt Med skär planet α någon gång A och plan β vid punkt B.
Rakt A vinkelrät mot planen α och β, och därför en rät linje parallell med den Med vinkelrät mot planen α och β.
Låt oss anta att planen α och β skär varandra. Punkt M- gemensam punkt för planen α och β. Men då i triangeln AMV hörn MAVär lika med 90° och vinkel AVMär lika med 90°, vilket är omöjligt. Detta betyder att antagandet att planen α och β skär varandra var felaktigt. Detta betyder att planen α och β är parallella.
Bevisa att genom vilken punkt som helst i rymden passerar endast ett plan vinkelrätt mot en given linje.
Bevis:
Låt en rät linje ges A och period M. Enligt uttalandet finns det ett plan γ som passerar genom punkten M, vinkelrätt mot linjen A. Låt oss bevisa dess unika.
Antag att det finns ett plan γ 1 som passerar genom punkten M, vinkelrätt mot linjen A. Två plan γ och γ 1 är vinkelräta mot samma räta linje A, vilket betyder att planen γ och γ 1 är parallella (som vi bevisade i uppgift 1). Men punkt M tillhör både γ- och γ1-planen. Vi har en motsägelse. Detta betyder att genom vilken punkt som helst i rymden passerar endast ett plan vinkelrätt mot en given linje A, vilket var det som behövde bevisas.
Så vi har bevisat satsen om en linje vinkelrät mot ett plan. I nästa lektion kommer vi att titta på att lösa problem med sådana linjer.
1. Geometri. Betyg 10-11: lärobok för studenter vid allmänna utbildningsinstitutioner (grundläggande och specialiserade nivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5:e upplagan, korrigerad och utökad - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 sid. : sjuk.
2. Geometri. Årskurs 10-11: Lärobok för allmänna läroanstalter / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Geometri. Årskurs 10: Lärobok för allmänna läroverk med fördjupning och specialisering i matematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6:e upplagan, stereotyp. - M.: Bustard, 008. - 233 sid. :il.
1. Geometri. Betyg 10-11: lärobok för studenter vid allmänna utbildningsinstitutioner (grundläggande och specialiserade nivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5:e upplagan, korrigerad och utökad - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
Uppgifter 15, 16, 17 s. 58
2. Är det sant att linjen är vinkelrät mot de som ligger i detta plan:
a) två sidor av triangeln
b) två sidor av trapetsen
c) två diametrar av en cirkel.
3. Bevisa att genom vilken punkt som helst på en linje i rymden kan två olika linjer dras vinkelräta mot den.
4. Direkt A,b, Med ligga i α-planet. Rakt m vinkelrät mot raka linjer A Och b, men inte vinkelrät Med. Vad är den relativa positionen för linjerna A Och b?
Upprepa stycke 1, styckena 15-18, alla egenskaper och satser skrivs ner i din anteckningsbok, studera stycke 18, skriv ner satsen om en linje vinkelrät mot ett plan i din anteckningsbok.
Två raka linjer i rymden kallas vinkelräta om vinkeln mellan dem är 90o.
Vinkelräta linjer kan skära varandra och kan vara skeva. Lemma. Om en av två parallella linjer är vinkelrät mot den tredje linjen, är den andra linjen vinkelrät mot denna linje. Definition. En linje kallas vinkelrät mot ett plan om den är vinkelrät mot någon linje som ligger i planet. De säger också att planet är vinkelrät mot linje a. |
|
| Om linjen a är vinkelrät mot planet, så skär den uppenbarligen detta plan. Faktum är att om den räta linjen a inte korsade planet, skulle den ligga i detta plan eller vara parallell med det. Men i båda fallen skulle det finnas linjer i planet som inte är vinkelräta mot linje en, till exempel linjer parallella med det, vilket är omöjligt. Det betyder att den räta linjen a skär planet. |
Förhållandet mellan linjers parallellitet och deras vinkelräthet mot planet.
Ett tecken på vinkelräthet av en linje och ett plan.
Anteckningar.
Genom vilken punkt som helst i rymden passerar ett plan vinkelrätt mot en given linje, och dessutom den enda. Genom vilken punkt som helst i rymden går en rät linje vinkelrät mot ett givet plan, och endast en. Om två plan är vinkelräta mot en linje, då är de parallella.
Studera svaren på frågorna:
I rymden kan vinkelräta linjer skära och kan skära varandra. (Ja, till exempel en kub.) Om en av två parallella linjer är vinkelrät mot den tredje linjen, så är den andra linjen parallell med denna linje. (Nej, vinkelrät.) En linje kallas vinkelrät mot ett plan om den är vinkelrät mot någon linje som ligger i detta plan. (Nej, eftersom linjerna kan ligga i detta plan beroende på tillstånd.) Om en av två parallella linjer är vinkelrät mot planet, så är den andra linjen parallell med planet. (Nej, vinkelrät.) Om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i ett plan, så är den vinkelrät mot detta plan. (Ja, enligt kriteriet.) Om en linje är vinkelrät mot ett plan, så är den vinkelrät mot de två sidorna av triangeln som ligger i detta plan. (Ja.) Om en linje är vinkelrät mot ett plan, så är den vinkelrät mot två sidor av kvadraten. (Inga.)
I tetraedern ABCD (Figur 1) BCD = ACD =90° Stämmer det att i figuren är kanterna AB, AC, BC vinkelräta mot CD? (Ja.),
Givet: ∆ ABC, VM AB, VM BC, D AC.
Avtal
Regler för registrering av användare på webbplatsen "KVALITETSMÄRKE":
Det är förbjudet att registrera användare med smeknamn som liknar: 111111, 123456, ytsukenb, lox, etc.;
Det är förbjudet att omregistrera sig på webbplatsen (skapa dubbletter av konton);
Det är förbjudet att använda andras data;
Det är förbjudet att använda andras e-postadresser;
Uppföranderegler på webbplatsen, forumet och i kommentarer:
1.2. Publicering av andra användares personuppgifter i profilen.
1.3. Eventuella destruktiva åtgärder i samband med denna resurs (destruktiva skript, gissning av lösenord, brott mot säkerhetssystemet, etc.).
1.4. Använda obscena ord och uttryck som smeknamn; uttryck som bryter mot Ryska federationens lagar, etiska och moraliska normer; ord och fraser som liknar administrationens och moderatorernas smeknamn.
4. Överträdelser av den 2:a kategorin: Straffbart med ett fullständigt förbud mot att skicka alla typer av meddelanden i upp till 7 dagar. 4.1 Publicering av information som faller under Ryska federationens strafflag, Ryska federationens administrativa kod och som strider mot Ryska federationens konstitution.
4.2. Propaganda i någon form av extremism, våld, grymhet, fascism, nazism, terrorism, rasism; framkalla interetniskt, interreligiöst och socialt hat.
4.3. Felaktig diskussion om arbete och förolämpningar mot författarna till texter och anteckningar publicerade på sidorna av "KVALITETSTECKN".
4.4. Hot mot forumdeltagare.
4.5. Att lägga upp medvetet falsk information, förtal och annan information som misskrediterar både användares och andra människors ära och värdighet.
4.6. Pornografi i avatarer, meddelanden och citat, samt länkar till pornografiska bilder och resurser.
4.7. Öppen diskussion om administrationens och moderatorernas agerande.
4.8. Offentlig diskussion och bedömning av gällande regler i någon form.
5.1. Svordomar och svordomar.
5.2. Provokationer (personliga angrepp, personlig misskreditering, bildande av en negativ känslomässig reaktion) och mobbning av diskussionsdeltagare (systematisk användning av provokationer i förhållande till en eller flera deltagare).
5.3. Provocera användare att komma i konflikt med varandra.
5.4. Oförskämdhet och elakhet mot samtalspartner.
5.5. Att få personliga och förtydliga personliga relationer på forumtrådar.
5.6. Översvämning (identiska eller meningslösa meddelanden).
5.7. Avsiktligt felstavning av smeknamn och namn på andra användare på ett stötande sätt.
5.8. Redigering av citerade meddelanden, förvrängning av deras betydelse.
5.9. Publicering av personlig korrespondens utan uttryckligt medgivande från samtalspartnern.
5.11. Destruktiv trolling är den målmedvetna förvandlingen av en diskussion till en skärmytsling.
6.1. Övercitering (överdriven citering) av meddelanden.
6.2. Användning av ett rött teckensnitt avsett för korrigeringar och kommentarer av moderatorer.
6.3. Fortsättning på diskussion om ämnen som stängts av en moderator eller administratör.
6.4. Skapa ämnen som inte har semantiskt innehåll eller är provocerande till innehållet.
6.5. Skapa rubriken på ett ämne eller meddelande helt eller delvis med versaler eller på ett främmande språk. Ett undantag görs för titlar på permanenta ämnen och ämnen som öppnas av moderatorer.
6.6. Skapa en signatur i ett teckensnitt som är större än postfonten och använd mer än en palettfärg i signaturen.
7. Sanktioner tillämpas på överträdare av forumets regler
7.1. Tillfälligt eller permanent förbud mot tillgång till forumet.
7.4. Ta bort ett konto.
7.5. IP-blockering.
8. Anteckningar
8.1 Sanktioner kan tillämpas av moderatorer och administration utan förklaring.
8.2. Ändringar kan göras i dessa regler, som kommer att meddelas alla deltagare på webbplatsen.
8.3. Användare är förbjudna att använda kloner under den tidsperiod då huvud smeknamnet är blockerat. I det här fallet blockeras klonen på obestämd tid, och huvud smeknamnet kommer att få en extra dag.
8.4 Ett meddelande som innehåller obscent språk kan redigeras av en moderator eller administratör.
9. Administration Administrationen av sajten "SIGN OF QUALITY" förbehåller sig rätten att radera alla meddelanden och ämnen utan förklaring. Webbplatsadministrationen förbehåller sig rätten att redigera meddelanden och användarens profil om informationen i dem endast delvis bryter mot forumreglerna. Dessa befogenheter gäller moderatorer och administratörer. Administrationen förbehåller sig rätten att ändra eller komplettera dessa regler vid behov. Okunskap om reglerna fritar inte användaren från ansvar för att ha brutit mot dem. Webbplatsadministrationen kan inte verifiera all information som publiceras av användare. Alla meddelanden återspeglar endast författarens åsikter och kan inte användas för att utvärdera åsikterna från alla forumdeltagare som helhet. Meddelanden från webbplatsanställda och moderatorer är ett uttryck för deras personliga åsikter och får inte sammanfalla med redaktörernas och ledningens åsikter.