ஒரு இருபடி சமன்பாடு அதிகபட்சம் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது

இந்த கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, முழுமையானவற்றின் வேர்களைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள் என்று நம்புகிறேன் இருபடி சமன்பாடு.

பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகள் மட்டுமே தீர்க்கப்படுகின்றன, மற்ற முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை "முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" என்ற கட்டுரையில் காணலாம்.

எந்த இருபடி சமன்பாடுகள் முழுமையானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன? இது கோடாரி 2 + b x + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகள், குணகங்கள் a, b மற்றும் c ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. எனவே, ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க, நாம் பாகுபாடு D ஐ கணக்கிட வேண்டும்.

D = b 2 - 4ac.

பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் மதிப்பைப் பொறுத்து, பதிலை எழுதுவோம்.

பாகுபாடு எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால் (டி< 0),то корней нет.

பாரபட்சம் என்றால் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், பின்னர் x = (-b)/2a. பாகுபாடு நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் போது (D > 0),

பின்னர் x 1 = (-b - √D)/2a, மற்றும் x 2 = (-b + √D)/2a.

உதாரணத்திற்கு. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

பதில்: 2.

சமன்பாடு 2 ஐ தீர்க்கவும் x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

சமன்பாடு 2 ஐ தீர்க்கவும் x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

பதில்: – 3.5; 1.

எனவே படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வை கற்பனை செய்வோம்.

இந்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் எந்த முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்கலாம். நீங்கள் தான் கவனமாக இருக்க வேண்டும் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்பட்டது

ஏ x 2 + bx + c,இல்லையெனில் நீங்கள் தவறு செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x + 3 + 2x 2 = 0 சமன்பாட்டை எழுதும்போது, ​​நீங்கள் அதை தவறாக முடிவு செய்யலாம்.

a = 1, b = 3 மற்றும் c = 2. பிறகு

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 பின்னர் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் இது உண்மையல்ல. (மேலே உதாரணம் 2க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்).

எனவே, சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்படாவிட்டால், முதலில் முழுமையான இருபடி சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக எழுதப்பட வேண்டும் (பெரிய அடுக்குடன் கூடிய மோனோமியல் முதலில் வர வேண்டும், அதாவது ஏ x 2 , பின்னர் குறைவாக – bxபின்னர் ஒரு இலவச உறுப்பினர் உடன்.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு மற்றும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை இரண்டாவது காலப்பகுதியில் சம குணகத்துடன் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் மற்ற சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த சூத்திரங்களைப் பற்றி தெரிந்து கொள்வோம். ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டில் இரண்டாவது சொல் சம குணகம் (b = 2k) இருந்தால், படம் 2 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்கலாம்.

ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடு இல் குணகம் இருந்தால் குறைக்கப்படும் x 2 ஒன்றுக்கு சமம்மற்றும் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும் x 2 + px + q = 0. அத்தகைய சமன்பாடு தீர்வுக்கு கொடுக்கப்படலாம் அல்லது சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களையும் குணகத்தால் வகுப்பதன் மூலம் பெறலாம். ஏ, நின்று x 2 .

குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தைத் தீர்ப்பதற்கான வரைபடத்தை படம் 3 காட்டுகிறது
சமன்பாடுகள். இந்த கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரங்களின் பயன்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

3x 2 + 6x – 6 = 0.

படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3

இந்த சமன்பாட்டில் x இன் குணகம் ஒரு இரட்டை எண்ணாக இருப்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம், அதாவது, b = 6 அல்லது b = 2k, எங்கிருந்து k = 3. பிறகு D உருவப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம். 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3. இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து குணகங்களும் 3 ஆல் வகுபடுவதைக் கவனித்து, வகுத்தலைச் செய்தால், குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் x 2 + 2x – 2 = 0 குறைக்கப்பட்ட இருபடிக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
சமன்பாடுகள் படம் 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

பதில்: –1 – √3; –1 + √3.

நாம் பார்ப்பது போல், இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது பல்வேறு சூத்திரங்கள்நாங்கள் அதே பதிலைப் பெற்றோம். எனவே, படம் 1 இல் உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களை முழுமையாக தேர்ச்சி பெற்றால், எந்தவொரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டையும் நீங்கள் எப்போதும் தீர்க்க முடியும்.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

நாங்கள் தலைப்பை தொடர்ந்து படிக்கிறோம் " சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" நாங்கள் ஏற்கனவே நேரியல் சமன்பாடுகளுடன் பழகியுள்ளோம், மேலும் பழகுவதற்கு நகர்கிறோம் இருபடி சமன்பாடுகள்.

முதலில் இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன, அது எப்படி எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பார்ப்போம் பொதுவான பார்வை, மற்றும் தொடர்புடைய வரையறைகளை கொடுக்கவும். இதற்குப் பிறகு, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை விரிவாக ஆராய எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்துவோம். அடுத்து, முழுமையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்வோம், ரூட் சூத்திரத்தைப் பெறுவோம், இருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைப் பற்றி அறிந்துகொள்வோம், மேலும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இறுதியாக, வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கிடையிலான இணைப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன? அவற்றின் வகைகள்

முதலில் நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்றால் என்ன என்பதை தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, இருபடி சமன்பாட்டின் வரையறை மற்றும் தொடர்புடைய வரையறைகளுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைப் பற்றிய உரையாடலைத் தொடங்குவது தர்க்கரீதியானது. இதற்குப் பிறகு, இருபடி சமன்பாடுகளின் முக்கிய வகைகளை நீங்கள் கருத்தில் கொள்ளலாம்: குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத, அத்துடன் முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற சமன்பாடுகள்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

வரையறை.

இருபடி சமன்பாடுவடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும் a x 2 +b x+c=0, x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை சில எண்கள், மற்றும் a என்பது பூஜ்ஜியம் அல்ல.

இருபடி சமன்பாடுகள் பெரும்பாலும் இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்று இப்போதே சொல்லலாம். இருபடி சமன்பாடு என்பது இதற்குக் காரணம் இயற்கணித சமன்பாடு இரண்டாம் பட்டம்.

கூறப்பட்ட வரையறை இருபடி சமன்பாடுகளின் உதாரணங்களை கொடுக்க அனுமதிக்கிறது. எனவே 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, முதலியன. இவை இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.

எண்கள் a, b மற்றும் c என்று அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் a·x 2 +b·x+c=0, மற்றும் குணகம் a என்பது முதல், அல்லது உயர்ந்தது, அல்லது x 2 இன் குணகம், b என்பது இரண்டாவது குணகம் அல்லது x இன் குணகம், மற்றும் c என்பது இலவசச் சொல் .

எடுத்துக்காட்டாக, 5 x 2 -2 x -3=0 படிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம், இங்கே முன்னணி குணகம் 5, இரண்டாவது குணகம் −2 க்கு சமம், மற்றும் இலவச சொல் −3 க்கு சமம். குணகங்கள் b மற்றும்/அல்லது c எதிர்மறையாக இருக்கும்போது, ​​இப்போது கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், இருபடிச் சமன்பாட்டின் குறுகிய வடிவம் 5 x 2 +(−2 ) ஐ விட 5 x 2 -2 x−3=0 . ·x+(−3)=0 .

குணகங்கள் a மற்றும்/அல்லது b 1 அல்லது −1 க்கு சமமாக இருக்கும் போது, ​​அவை பொதுவாக இருபடி சமன்பாட்டில் வெளிப்படையாக இருக்காது, இது போன்ற எழுதும் தனித்தன்மைகள் காரணமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டில் y 2 -y+3=0 முன்னணி குணகம் ஒன்று, மற்றும் y இன் குணகம் −1க்கு சமம்.

குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள்

முன்னணி குணகத்தின் மதிப்பைப் பொறுத்து, குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள் வேறுபடுகின்றன. அதற்கான வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை.

முன்னணி குணகம் 1 ஆக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. இல்லையெனில் இருபடி சமன்பாடு ஆகும் தீண்டப்படாத.

படி இந்த வரையறை, இருபடி சமன்பாடுகள் x 2 −3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, முதலியன. - கொடுக்கப்பட்டால், அவை ஒவ்வொன்றிலும் முதல் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம். A 5 x 2 -x−1=0, முதலியன. - குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள், அவற்றின் முன்னணி குணகங்கள் 1 இலிருந்து வேறுபட்டவை.

எந்த குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து, இரண்டு பக்கங்களையும் முன்னணி குணகத்தால் பிரிப்பதன் மூலம், நீங்கள் குறைக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு செல்லலாம். இந்த செயல் ஒரு சமமான மாற்றமாகும், அதாவது, இந்த வழியில் பெறப்பட்ட குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு அசல் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டின் அதே வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது, அதைப் போலவே, வேர்கள் இல்லை.

குறைக்கப்படாத இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து குறைக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மாறுவது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

3 x 2 +12 x−7=0 சமன்பாட்டிலிருந்து, தொடர்புடைய குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குச் செல்லவும்.

தீர்வு.

அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் முன்னணி குணகம் 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும், இது பூஜ்ஜியமற்றது, எனவே இந்த செயலைச் செய்யலாம். எங்களிடம் உள்ளது (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, இது ஒன்றுதான், (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, பின்னர் (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, எங்கிருந்து . இப்படித்தான் நாம் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெற்றோம், இது அசல் ஒன்றிற்குச் சமமானதாகும்.

பதில்:

முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரையறை a≠0 என்ற நிபந்தனையைக் கொண்டுள்ளது. இந்த நிலை அவசியம் எனவே a x 2 + b x + c = 0 சமன்பாடு இருபடியாக இருக்கும், ஏனெனில் a = 0 ஆனது உண்மையில் b x + c = 0 வடிவத்தின் நேரியல் சமன்பாடாக மாறும்.

b மற்றும் c குணகங்களைப் பொறுத்தவரை, அவை தனித்தனியாகவும் ஒன்றாகவும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், இருபடி சமன்பாடு முழுமையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை.

இருபடி சமன்பாடு a x 2 +b x+c=0 அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்றது, b, c குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால்.

அதன் திருப்பத்தில்

வரையறை.

முழு இருபடி சமன்பாடுஅனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

அத்தகைய பெயர்கள் தற்செயலாக கொடுக்கப்படவில்லை. இது பின்வரும் விவாதங்களில் இருந்து தெளிவாகும்.

குணகம் b பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +0·x+c=0 வடிவத்தை எடுக்கும், மேலும் அது a·x 2 +c=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம். c=0, அதாவது, இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +b·x+0=0 வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அதை a·x 2 +b·x=0 என மீண்டும் எழுதலாம். மேலும் b=0 மற்றும் c=0 உடன் இருபடி சமன்பாடு a·x 2 =0 கிடைக்கும். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகள் முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுகின்றன, அவற்றின் இடது பக்கங்களில் x மாறியுடன் ஒரு சொல் அல்லது ஒரு இலவச சொல் அல்லது இரண்டும் இல்லை. எனவே அவற்றின் பெயர் - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

எனவே சமன்பாடுகள் x 2 +x+1=0 மற்றும் −2 x 2 -5 x+0.2=0 ஆகியவை முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும், மேலும் x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 -5 x=0 முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முந்தைய பத்தியில் உள்ள தகவலில் இருந்து அது உள்ளது மூன்று வகையான முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்:

• a·x 2 =0, குணகங்கள் b=0 மற்றும் c=0 அதை ஒத்திருக்கும்;
• a x 2 +c=0 போது b=0 ;
• மற்றும் a·x 2 +b·x=0 போது c=0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை வரிசையாக ஆராய்வோம்.

ஒரு x 2 =0

b மற்றும் c குணகங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் தொடங்குவோம், அதாவது a x 2 =0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளுடன். சமன்பாடு a·x 2 =0 என்பது x 2 =0 என்ற சமன்பாட்டிற்குச் சமமானது, இது இரு பகுதிகளையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுத்து மூலத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, x 2 =0 சமன்பாட்டின் வேர் பூஜ்ஜியமாகும், ஏனெனில் 0 2 =0. இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை, இது எந்த பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணிற்கும் p 2 >0 சமத்துவமின்மையால் விளக்கப்படுகிறது, அதாவது p≠0 க்கு p 2 =0 என்ற சமத்துவம் ஒருபோதும் அடையப்படாது.

எனவே, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 =0 ஆனது x=0 என்ற ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

உதாரணமாக, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு −4 x 2 =0 தீர்வைக் கொடுக்கிறோம். இது x 2 =0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு சமம், அதன் ஒரே ரூட் x=0, எனவே, அசல் சமன்பாடு ஒற்றை வேர் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த வழக்கில் ஒரு குறுகிய தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0

a x 2 +c=0

இப்போது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம், இதில் குணகம் b பூஜ்ஜியம் மற்றும் c≠0, அதாவது, a x 2 +c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகள். சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்திலிருந்து மற்றொரு பக்கத்திற்கு எதிர் குறியுடன் ஒரு சொல்லை நகர்த்துவதும், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுப்பதும் சமமான சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும் என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, ஒரு x 2 +c=0 முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் பின்வரும் சமமான மாற்றங்களைச் செய்யலாம்:

• c ஐ வலது பக்கம் நகர்த்தவும், இது சமன்பாட்டிற்கு ஒரு x 2 =-c,
• மற்றும் இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுத்தால், நமக்கு கிடைக்கும் .

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அதன் வேர்களைப் பற்றிய முடிவுகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது. a மற்றும் c இன் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு எதிர்மறையாக இருக்கலாம் (உதாரணமாக, a=1 மற்றும் c=2 எனில், பின்னர் ) அல்லது நேர்மறை (உதாரணமாக, a=−2 மற்றும் c=6 எனில், பின்னர் ), இது பூஜ்ஜியம் அல்ல, ஏனெனில் நிபந்தனை c≠0. வழக்குகளைத் தனித்தனியாகப் பார்ப்போம்.

என்றால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை. எந்த எண்ணின் வர்க்கமும் எதிர்மில்லாத எண் என்பதிலிருந்து இந்த அறிக்கை பின்பற்றப்படுகிறது. இதிலிருந்து எப்பொழுது , பிறகு எந்த எண்ணுக்கும் p சமத்துவம் உண்மையாக இருக்க முடியாது.

என்றால், சமன்பாட்டின் வேர்களின் நிலைமை வேறுபட்டது. இந்த வழக்கில், நாம் பற்றி நினைவில் வைத்திருந்தால், சமன்பாட்டின் வேர் உடனடியாகத் தெளிவாகிறது, அது எண். எண் சமன்பாட்டின் மூலமும் கூட என்று யூகிக்க எளிதானது. இந்த சமன்பாட்டில் வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக, முரண்பாட்டால் காட்டப்படலாம். செய்வோம்.

இப்போது x 1 மற்றும் −x 1 என அறிவிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிப்போம். சமன்பாட்டில் மேலும் ஒரு ரூட் x 2 உள்ளது, இது சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வேர்கள் x 1 மற்றும் −x 1 ஆகியவற்றிலிருந்து வேறுபட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம். x க்கு பதிலாக அதன் வேர்களை ஒரு சமன்பாட்டில் மாற்றுவது சமன்பாட்டை சரியான எண் சமத்துவமாக மாற்றுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது. x 1 மற்றும் −x 1 க்கு நம்மிடம் உள்ளது, x 2 க்கு நம்மிடம் உள்ளது. எண் சமத்துவங்களின் பண்புகள், உண்மையின் கால-படி-கால கழிப்பைச் செய்ய அனுமதிக்கின்றன எண் சமத்துவங்கள், அதனால் கழித்தல் தொடர்புடைய பாகங்கள்சமத்துவங்கள் மற்றும் x 1 2 -x 2 2 =0 கொடுக்கிறது. எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளின் பண்புகள், விளைவான சமத்துவத்தை (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 என மீண்டும் எழுத அனுமதிக்கிறது. இரண்டு எண்களின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்பதை நாம் அறிவோம், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே. எனவே, விளைவான சமத்துவத்திலிருந்து x 1 -x 2 =0 மற்றும்/அல்லது x 1 +x 2 =0, x 2 =x 1 மற்றும்/அல்லது x 2 =−x 1. x 2 சமன்பாட்டின் வேர் x 1 மற்றும் −x 1 இலிருந்து வேறுபட்டது என்று ஆரம்பத்தில் சொன்னதால், நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்தோம். சமன்பாட்டிற்கு மற்றும் தவிர வேறு வேர்கள் இல்லை என்பதை இது நிரூபிக்கிறது.

இந்த பத்தியில் உள்ள தகவலை சுருக்கமாகக் கூறுவோம். முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a x 2 +c=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம்

• வேர்கள் இல்லை என்றால்,
• இரண்டு வேர்கள் மற்றும் , என்றால் .

a·x 2 +c=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இருபடி சமன்பாடு 9 x 2 +7=0 உடன் ஆரம்பிக்கலாம். சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு இலவச காலத்தை நகர்த்திய பிறகு, அது 9 x 2 =−7 வடிவத்தை எடுக்கும். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 9 ஆல் வகுத்தால், நாம் வருகிறோம். வலது பக்கம் எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, எனவே, அசல் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு 9 x 2 +7 = 0 க்கு வேர்கள் இல்லை.

மற்றொரு முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம் -x 2 +9=0. நாம் ஒன்பதை வலது பக்கமாக நகர்த்துகிறோம்: −x 2 =-9. இப்போது இரண்டு பக்கங்களையும் −1 ஆல் வகுத்தால், x 2 =9 கிடைக்கும். வலது பக்கத்தில் ஒரு நேர்மறை எண் உள்ளது, அதில் இருந்து நாம் முடிவு செய்கிறோம் அல்லது . பின்னர் நாம் இறுதிப் பதிலை எழுதுகிறோம்: முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு -x 2 +9=0 x=3 அல்லது x=−3 என்ற இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

a x 2 +b x=0

c=0 க்கான முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளின் கடைசி வகையின் தீர்வைக் கையாள இது உள்ளது. a x 2 + b x = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் உங்களை தீர்க்க அனுமதிக்கிறது காரணியாக்கல் முறை. வெளிப்படையாக, நாம் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் அமைந்துள்ளது, இதற்கு அடைப்புக்குறிக்குள் x என்ற பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொண்டால் போதும். இது அசல் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து x·(a·x+b)=0 வடிவத்தின் சமமான சமன்பாட்டிற்குச் செல்ல அனுமதிக்கிறது. மேலும் இந்த சமன்பாடு x=0 மற்றும் a·x+b=0 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமமானது, இவற்றின் பிந்தையது நேரியல் மற்றும் x=−b/a வேர் கொண்டது.

எனவே, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a·x 2 +b·x=0 x=0 மற்றும் x=−b/a ஆகிய இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்திற்கான தீர்வை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

உதாரணமாக.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

அடைப்புக்குறிக்குள் xஐ எடுத்தால் சமன்பாடு கிடைக்கும். இது x=0 மற்றும் இரண்டு சமன்பாடுகளுக்குச் சமம். கிடைத்ததைத் தீர்ப்பது நேரியல் சமன்பாடு: , மற்றும் கலப்பு எண்ணை வகுத்தல் பொதுவான பின்னம், நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம். எனவே, அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x=0 மற்றும் .

தேவையான பயிற்சியைப் பெற்ற பிறகு, அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளை சுருக்கமாக எழுதலாம்:

பதில்:

x=0, .

பாகுபாடு, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, ஒரு ரூட் சூத்திரம் உள்ளது. அதை எழுதுவோம் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்: , எங்கே D=b 2 −4 a c- என்று அழைக்கப்படும் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு. நுழைவு என்பது அடிப்படையில் அதைக் குறிக்கிறது.

மூல சூத்திரம் எவ்வாறு பெறப்பட்டது மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களைக் கண்டறிவதில் அது எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை அறிவது பயனுள்ளது. இதை கண்டுபிடிக்கலாம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இருபடி சமன்பாட்டை a·x 2 +b·x+c=0 தீர்க்க வேண்டும். சில சமமான மாற்றங்களைச் செய்வோம்:

• இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண் a ஆல் வகுக்க முடியும், இதன் விளைவாக பின்வரும் இருபடி சமன்பாடு கிடைக்கும்.
• இப்போது ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்அதன் இடது பக்கத்தில்: . இதற்குப் பிறகு, சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்.
• இந்த கட்டத்தில், கடைசி இரண்டு சொற்களை எதிர் அடையாளத்துடன் வலது பக்கத்திற்கு மாற்ற முடியும், எங்களிடம் உள்ளது .
• மேலும் வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்: .

இதன் விளைவாக, அசல் இருபடி சமன்பாடு a·x 2 +b·x+c=0 க்கு சமமான ஒரு சமன்பாட்டை நாம் வந்தடைகிறோம்.

நாங்கள் ஏற்கனவே ஆய்வு செய்த போது, ​​முந்தைய பத்திகளில் இதே போன்ற சமன்பாடுகளை தீர்த்துள்ளோம். சமன்பாட்டின் வேர்கள் குறித்து பின்வரும் முடிவுகளை எடுக்க இது அனுமதிக்கிறது:

• என்றால், சமன்பாட்டில் உண்மையான தீர்வுகள் இல்லை;
• என்றால், சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது, எனவே, அதன் ஒரே வேர் தெரியும்;
• என்றால் , பிறகு அல்லது , இது அதே அல்லது , அதாவது சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை, எனவே அசல் இருபடி சமன்பாடு, வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தைப் பொறுத்தது. இதையொட்டி, இந்த வெளிப்பாட்டின் அடையாளம், 4·a 2 என்ற வகுத்தல் எப்போதும் நேர்மறையாக இருப்பதால், அதாவது, b 2 −4·a·c என்ற வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த வெளிப்பாடு b 2 -4 a c என அழைக்கப்பட்டது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடுமற்றும் கடிதத்தால் நியமிக்கப்பட்டது டி. இங்கிருந்து பாகுபாடு காண்பவரின் சாராம்சம் தெளிவாக உள்ளது - அதன் மதிப்பு மற்றும் அடையாளத்தின் அடிப்படையில், இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் உள்ளதா என்பதை அவர்கள் முடிவு செய்கிறார்கள், அப்படியானால், அவற்றின் எண் என்ன - ஒன்று அல்லது இரண்டு.

சமன்பாட்டிற்குத் திரும்பி, பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி அதை மீண்டும் எழுதுவோம்: . மற்றும் நாங்கள் முடிவுகளை எடுக்கிறோம்:

• டி என்றால்<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 எனில், இந்தச் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது;
• இறுதியாக, D>0 எனில், சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன அல்லது அவை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம் அல்லது, விரிவடைந்து பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வந்த பிறகு நாம் பெறுகிறோம்.

எனவே இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களை நாங்கள் பெற்றோம், அவை , பாகுபாடு D என்பது D=b 2 −4·a·c என்ற சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படும்.

அவர்களின் உதவியுடன், நேர்மறை பாகுபாடுடன், இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களையும் நீங்கள் கணக்கிடலாம். பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது, ​​​​இரண்டு சூத்திரங்களும் ரூட்டின் ஒரே மதிப்பைக் கொடுக்கும். ஒரே தீர்வுஇருபடி சமன்பாடு. பிறகு எப்போது எதிர்மறை பாகுபாடுஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கும்போது, ​​​​எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதை எதிர்கொள்கிறோம், இது பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் எல்லைக்கு அப்பால் நம்மை அழைத்துச் செல்கிறது. எதிர்மறையான பாகுபாட்டுடன், இருபடிச் சமன்பாட்டில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை, ஆனால் ஒரு ஜோடி உள்ளது சிக்கலான இணைப்புவேர்கள், நாம் பெற்ற அதே ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணலாம்.

மூல சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

நடைமுறையில், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிட ரூட் சூத்திரத்தை உடனடியாகப் பயன்படுத்தலாம். ஆனால் இது சிக்கலான வேர்களைக் கண்டறிவதோடு தொடர்புடையது.

இருப்பினும், ஒரு பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்திட்டத்தில் நாம் பொதுவாக சிக்கலானது பற்றி அல்ல, ஆனால் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைப் பற்றி பேசுகிறோம். இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், முதலில் பாகுபாட்டைக் கண்டறிவது நல்லது, அது எதிர்மறையானது அல்ல என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள் (இல்லையெனில், சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்), பின்னர் மட்டுமே வேர்களின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்.

மேலே உள்ள தர்க்கம் நம்மை எழுத அனுமதிக்கிறது இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை. இருபடி சமன்பாட்டை a x 2 +b x+c=0 தீர்க்க, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:

• D=b 2 −4·a·c என்ற பாகுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, அதன் மதிப்பைக் கணக்கிடவும்;
• பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால் இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று முடிவு செய்யுங்கள்;
• D=0 என்றால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடுங்கள்;
• பாகுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால், மூல சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை இங்கே நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நீங்கள் செல்லலாம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

நேர்மறை, எதிர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜிய பாகுபாடு கொண்ட மூன்று இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். அவற்றின் தீர்வைக் கையாள்வதன் மூலம், ஒப்புமை மூலம் வேறு எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க முடியும். ஆரம்பித்துவிடுவோம்.

உதாரணமாக.

x 2 +2·x−6=0 சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

இந்த வழக்கில், இருபடி சமன்பாட்டின் பின்வரும் குணகங்கள் உள்ளன: a=1, b=2 மற்றும் c=−6. அல்காரிதத்தின் படி, நீங்கள் முதலில் பாகுபாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட a, b மற்றும் c ஐ பாரபட்சமான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம் D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, அதாவது, பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது, இருபடி சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. ரூட் ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம், நாங்கள் பெறுகிறோம், இங்கே நீங்கள் செய்வதன் மூலம் விளைந்த வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம் மூல அடையாளத்திற்கு அப்பால் பெருக்கியை நகர்த்துகிறதுபின்னத்தின் குறைப்பு தொடர்ந்து:

பதில்:

அடுத்த பொதுவான உதாரணத்திற்கு செல்லலாம்.

உதாரணமாக.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் -4 x 2 +28 x−49=0 .

தீர்வு.

பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் நாங்கள் தொடங்குகிறோம்: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. எனவே, இந்த இருபடிச் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதை நாம் , அதாவது,

பதில்:

x=3.5.

எதிர்மறையான பாகுபாட்டுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணமாக.

5·y 2 +6·y+2=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் இங்கே உள்ளன: a=5, b=6 மற்றும் c=2. இந்த மதிப்புகளை பாரபட்சமான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம், எங்களிடம் உள்ளது D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. பாகுபாடு எதிர்மறையானது, எனவே, இந்த இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

நீங்கள் சிக்கலான வேர்களைக் குறிப்பிட வேண்டும் என்றால், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் செயல்படுகிறோம் உடன் நடவடிக்கைகள் சிக்கலான எண்கள் :

பதில்:

உண்மையான வேர்கள் இல்லை, சிக்கலான வேர்கள்: .

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், பள்ளியில் அவர்கள் உடனடியாக ஒரு பதிலை எழுதுவார்கள், அதில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை, சிக்கலான வேர்கள் காணப்படவில்லை என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை கவனத்தில் கொள்வோம்.

இரண்டாவது குணகங்களுக்கான ரூட் சூத்திரம்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம், D=b 2 −4·a·c ஆனது ஒரு சூத்திரத்தைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. கச்சிதமான தோற்றம், இது இருபடி சமன்பாடுகளை xக்கான சம குணகத்துடன் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது (அல்லது 2·n வடிவத்தைக் கொண்ட குணகத்துடன், எடுத்துக்காட்டாக, அல்லது 14·ln5=2·7·ln5). அவளை வெளியேற்றுவோம்.

x 2 +2 n x+c=0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம். நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் பாகுபாடு கணக்கிடுகிறோம் D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), பின்னர் நாம் ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

n 2 -a c என்ற வெளிப்பாட்டை D 1 ஆகக் குறிப்போம் (சில நேரங்களில் அது D "என்று குறிக்கப்படுகிறது) பின்னர் இரண்டாவது குணகம் 2 n உடன் பரிசீலனையில் உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கும். , D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1, அல்லது D 1 =D/4 என்பதைக் காண்பது எளிது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், டி 1 என்பது பாகுபாட்டின் நான்காவது பகுதியாகும். D 1 இன் அடையாளம் D யின் அறிகுறியே என்பது தெளிவாகிறது. அதாவது, D 1 என்பது ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமையின் குறிகாட்டியாகும்.

எனவே, இரண்டாவது குணகம் 2·n உடன் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

• D 1 =n 2 -a·c கணக்கிடுக;
• டி 1 என்றால்<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 எனில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடவும்;
• D 1 >0 எனில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்.

இந்த பத்தியில் பெறப்பட்ட ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக.

இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 -6 x -32=0 தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டின் இரண்டாவது குணகம் 2·(−3) என குறிப்பிடப்படலாம். அதாவது, அசல் இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, இங்கே a=5, n=−3 மற்றும் c=−32 வடிவில் மீண்டும் எழுதலாம் மற்றும் நான்காவது பகுதியைக் கணக்கிடலாம். பாகுபாடு: D 1 =n 2 −a·c=(-3) 2 −5·(-32)=9+160=169. அதன் மதிப்பு நேர்மறையாக இருப்பதால், சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. பொருத்தமான ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு வழக்கமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியம் என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் இந்த விஷயத்தில் அதிக கணக்கீட்டு வேலைகள் செய்யப்பட வேண்டும்.

பதில்:

இருபடி சமன்பாடுகளின் வடிவத்தை எளிதாக்குதல்

சில நேரங்களில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடத் தொடங்குவதற்கு முன், "இந்த சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிமைப்படுத்த முடியுமா?" என்ற கேள்வியைக் கேட்பது வலிக்காது. கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில் 1100 x 2 -400 x−600=0 ஐ விட இருபடி சமன்பாடு 11 x 2 -4 x−6=0 ஐ தீர்க்க எளிதாக இருக்கும் என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறேன்.

பொதுவாக, இருபுறச் சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிதாக்குவது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதன் மூலம் அல்லது வகுப்பதன் மூலம் அடையப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முந்தைய பத்தியில் 1100 x 2 -400 x -600=0 சமன்பாட்டை இரு பக்கங்களையும் 100 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் எளிமைப்படுத்த முடியும்.

இதேபோன்ற மாற்றம் இருபடி சமன்பாடுகளுடன் மேற்கொள்ளப்படுகிறது, அவற்றின் குணகங்கள் இல்லை. இந்த வழக்கில், நாம் பொதுவாக சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிக்கிறோம் முழுமையான மதிப்புகள்அதன் குணகங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாடு 12 x 2 -42 x+48=0 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகள்: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. அசல் இருபடி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 6 ஆல் வகுத்தால், சமமான இருபடி சமன்பாடு 2 x 2 -7 x+8=0 ஐ அடைகிறோம்.

மற்றும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்குவது பொதுவாக பின்ன குணகங்களை அகற்றுவதற்காக செய்யப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பெருக்கல் அதன் குணகங்களின் வகுப்பினரால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் LCM(6, 3, 1)=6 ஆல் பெருக்கப்பட்டால், அது x 2 +4·x−18=0 என்ற எளிய வடிவத்தை எடுக்கும்.

இந்த புள்ளியின் முடிவில், இருபுறமும் −1 ஆல் பெருக்க (அல்லது வகுத்தல்) ஒத்த அனைத்து சொற்களின் அறிகுறிகளையும் மாற்றுவதன் மூலம் அவை எப்போதும் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் மிக உயர்ந்த குணகத்தில் கழித்தலை அகற்றுவதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவாக ஒன்று −2 x 2 -3 x+7=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து 2 x 2 +3 x−7=0 தீர்வுக்கு நகரும்.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான உறவு

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் அதன் குணகங்களின் மூலம் சமன்பாட்டின் வேர்களை வெளிப்படுத்துகிறது. ரூட் சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், நீங்கள் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில் மற்ற உறவுகளைப் பெறலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்திலிருந்து மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட மற்றும் பொருந்தக்கூடிய சூத்திரங்கள் வடிவம் மற்றும் . குறிப்பாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், மேலும் வேர்களின் பெருக்கல் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, 3 x 2 -7 x + 22 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் வடிவத்தைப் பார்ப்பதன் மூலம், அதன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7/3 க்கு சமம் என்றும், வேர்களின் பலன் 22 என்றும் சொல்லலாம். /3.

ஏற்கனவே எழுதப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில் பல இணைப்புகளைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை அதன் குணகங்கள் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம்: .

நூல் பட்டியல்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியவர் எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8 ஆம் வகுப்பு. 2 மணி நேரத்தில் பகுதி 1. பொது கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் / ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

இருபடி சமன்பாடுகள் 8 ஆம் வகுப்பில் படிக்கப்படுகின்றன, எனவே இங்கு சிக்கலான எதுவும் இல்லை. அவற்றைத் தீர்க்கும் திறன் முற்றிலும் அவசியம்.

ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்பது ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், இதில் குணகங்கள் a, b மற்றும் c தன்னிச்சையான எண்கள் மற்றும் a ≠ 0 ஆகும்.

குறிப்பிட்ட தீர்வு முறைகளைப் படிப்பதற்கு முன், அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளையும் மூன்று வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்:

1. வேர்கள் இல்லை;
2. சரியாக ஒரு ரூட் வேண்டும்;
3. அவை இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளன.

இது இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு இடையே உள்ள முக்கியமான வேறுபாடு ஆகும், இங்கு ரூட் எப்போதும் இருக்கும் மற்றும் தனித்தன்மை வாய்ந்தது. ஒரு சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது? இதற்கு ஒரு அற்புதமான விஷயம் இருக்கிறது - பாரபட்சமான.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

கோடாரி சமன்பாடு 2 + bx + c = 0 கொடுக்கப்பட்டால், பாகுபாடு என்பது D = b 2 - 4ac.

இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். அது எங்கிருந்து வருகிறது என்பது இப்போது முக்கியமில்லை. மற்றொரு விஷயம் முக்கியமானது: ஒரு இருபடி சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை பாகுபாட்டின் அடையாளத்தின் மூலம் நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும். அதாவது:

1. டி என்றால்< 0, корней нет;
2. D = 0 என்றால், சரியாக ஒரு ரூட் உள்ளது;
3. D > 0 எனில், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும்.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: பாகுபாடு என்பது வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, மேலும் அவற்றின் அனைத்து அறிகுறிகளிலும் இல்லை, சில காரணங்களால் பலர் நம்புகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள், எல்லாவற்றையும் நீங்களே புரிந்துகொள்வீர்கள்:

பணி. இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

முதல் சமன்பாட்டிற்கான குணகங்களை எழுதுவோம் மற்றும் பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

எனவே பாகுபாடு நேர்மறையானது, எனவே சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டாவது சமன்பாட்டை நாங்கள் அதே வழியில் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம்:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

பாகுபாடு எதிர்மறையானது, வேர்கள் இல்லை. மீதமுள்ள கடைசி சமன்பாடு:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியம் - வேர் ஒன்றாக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் குணகங்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. ஆமாம், இது நீண்டது, ஆமாம், இது கடினமானது, ஆனால் நீங்கள் முரண்பாடுகளைக் கலந்து முட்டாள்தனமான தவறுகளைச் செய்ய மாட்டீர்கள். நீங்களே தேர்வு செய்யவும்: வேகம் அல்லது தரம்.

மூலம், நீங்கள் அதைத் தொங்கவிட்டால், சிறிது நேரத்திற்குப் பிறகு நீங்கள் அனைத்து குணகங்களையும் எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை. உங்கள் தலையில் இதுபோன்ற செயல்பாடுகளைச் செய்வீர்கள். பெரும்பாலான மக்கள் 50-70 சமன்பாடுகளுக்குப் பிறகு எங்காவது இதைச் செய்யத் தொடங்குகிறார்கள் - பொதுவாக, அவ்வளவு இல்லை.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள்

இப்போது தீர்வுக்கு செல்லலாம். பாகுபாடு D > 0 எனில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி வேர்களைக் கண்டறியலாம்:

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான அடிப்படை சூத்திரம்

D = 0 ஆக இருக்கும் போது, ​​நீங்கள் இந்த சூத்திரங்களில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம் - நீங்கள் அதே எண்ணைப் பெறுவீர்கள், அது பதில் இருக்கும். இறுதியாக, டி என்றால்< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

முதல் சமன்பாடு:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இரண்டாவது சமன்பாடு:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ சமன்பாடு மீண்டும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இறுதியாக, மூன்றாவது சமன்பாடு:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. எந்த சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம். உதாரணமாக, முதலாவது:

எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் மிகவும் எளிது. நீங்கள் சூத்திரங்களை அறிந்து எண்ணினால், எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது. பெரும்பாலும், சூத்திரத்தில் எதிர்மறை குணகங்களை மாற்றும்போது பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. இங்கே மீண்டும், மேலே விவரிக்கப்பட்ட நுட்பம் உதவும்: சூத்திரத்தை உண்மையில் பாருங்கள், ஒவ்வொரு அடியையும் எழுதுங்கள் - மிக விரைவில் நீங்கள் பிழைகளிலிருந்து விடுபடுவீர்கள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

ஒரு இருபடி சமன்பாடு வரையறையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதை விட சற்று வித்தியாசமானது. உதாரணத்திற்கு:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

இந்த சமன்பாடுகள் விதிமுறைகளில் ஒன்றைக் காணவில்லை என்பதைக் கவனிப்பது எளிது. இத்தகைய இருபடிச் சமன்பாடுகள் நிலையானவற்றைக் காட்டிலும் எளிதாகத் தீர்க்கப்படுகின்றன: அவை பாகுபாடுகளைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை. எனவே, ஒரு புதிய கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

கோடாரி 2 + bx + c = 0 என்ற சமன்பாடு b = 0 அல்லது c = 0 எனில் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும், அதாவது. x மாறியின் குணகம் அல்லது கட்டற்ற உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

நிச்சயமாக, இது முற்றிலும் சாத்தியம் கடினமான வழக்கு, இந்த இரண்டு குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது: b = c = 0. இந்த வழக்கில், சமன்பாடு கோடாரி 2 = 0 வடிவத்தை எடுக்கும். வெளிப்படையாக, அத்தகைய சமன்பாடு ஒரு ஒற்றை வேர்: x = 0.

மீதமுள்ள வழக்குகளை கருத்தில் கொள்வோம். b = 0 என்று வைத்துக் கொள்வோம், பின்னர் கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். அதைச் சிறிது மாற்றுவோம்:

எண்கணிதத்திலிருந்து சதுர வேர்எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து மட்டுமே உள்ளது, கடைசி சமத்துவம் (-c /a) ≥ 0 க்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். முடிவு:

1. கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டில் சமத்துவமின்மை (−c /a) ≥ 0 திருப்தி அடைந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். சூத்திரம் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது;
2. என்றால் (−c /a)< 0, корней нет.

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, ஒரு பாகுபாடு தேவைப்படவில்லை - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் சிக்கலான கணக்கீடுகள் எதுவும் இல்லை. உண்மையில், சமத்துவமின்மை (−c /a) ≥ 0 ஐ நினைவில் கொள்வது கூட தேவையில்லை. மதிப்பை x 2 ஐ வெளிப்படுத்தவும், சமமான அடையாளத்தின் மறுபக்கத்தில் இருப்பதைப் பார்க்கவும் போதுமானது. நேர்மறை எண் இருந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். அது எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இருக்காது.

இப்போது கோடாரி 2 + bx = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், இதில் இலவச உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இங்கே எல்லாம் எளிது: எப்போதும் இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக இருந்தால் போதும்:

பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்தல்

காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். இங்குதான் வேர்கள் வருகின்றன. முடிவில், இந்த சமன்பாடுகளில் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்:

பணி. இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு சதுரம் எதிர்மறை எண்ணுக்கு சமமாக இருக்க முடியாது.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

சமன்பாடுகளின் பயன்பாடு நம் வாழ்வில் பரவலாக உள்ளது. அவை பல கணக்கீடுகள், கட்டமைப்புகளின் கட்டுமானம் மற்றும் விளையாட்டுகளில் கூட பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பழங்காலத்தில் மனிதன் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தினான், அதன்பிறகு அவற்றின் பயன்பாடு அதிகரித்தது. பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்ட ஒரு பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க பாரபட்சம் உங்களை அனுமதிக்கிறது:

பாகுபாடு சூத்திரம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவைப் பொறுத்தது. மேற்கூறிய சூத்திரம் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஏற்றது பின்வரும் வகை:

நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய பின்வரும் பண்புகளை பாரபட்சம் கொண்டவர்:

பல்லுறுப்புக்கோவை பல வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் போது "D" என்பது 0 ஆகும் (சம வேர்கள்);

* "D" என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைப் பொறுத்து ஒரு சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், எனவே அதன் குணகங்களில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்; மேலும், இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் வேர்கள் எந்த நீட்டிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல் முழு எண்களாகும்.

பின்வரும் படிவத்தின் இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

1 சமன்பாடு

எங்களிடம் உள்ள சூத்திரத்தின் படி:

\ என்பதால், சமன்பாடு 2 வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றை வரையறுப்போம்:

பாரபட்சமான ஆன்லைன் தீர்வைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை நான் எங்கே தீர்க்க முடியும்?

எங்கள் வலைத்தளமான https://site இல் நீங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம். இலவச ஆன்லைன் தீர்வி சில நொடிகளில் எந்தவொரு சிக்கலான ஆன்லைன் சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும். நீங்கள் செய்ய வேண்டியது உங்கள் தரவை தீர்வியில் உள்ளிடுவது மட்டுமே. நீங்கள் வீடியோ வழிமுறைகளைப் பார்க்கலாம் மற்றும் எங்கள் இணையதளத்தில் சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டறியலாம், மேலும் உங்களிடம் ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால், அவற்றை எங்கள் VKontakte குழு http://vk.com/pocketteacher இல் கேட்கலாம். எங்கள் குழுவில் சேரவும், உங்களுக்கு உதவ நாங்கள் எப்போதும் மகிழ்ச்சியடைகிறோம்.

இந்த கட்டுரையில் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்ப்பது பற்றி பார்ப்போம்.

ஆனால் முதலில், இருபடி என்று அழைக்கப்படும் சமன்பாடுகளை மீண்டும் செய்வோம். ax 2 + bx + c = 0 என்ற வடிவத்தின் சமன்பாடு, இதில் x என்பது ஒரு மாறி, மற்றும் குணகங்கள் a, b மற்றும் c சில எண்கள், மற்றும் a ≠ 0 என அழைக்கப்படுகிறது. சதுரம். நாம் பார்ப்பது போல், x 2 க்கான குணகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, எனவே x அல்லது இலவச காலத்திற்கான குணகங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம், இதில் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் மூன்று வகைகள் உள்ளன:

1) b = 0, c ≠ 0 எனில், கோடாரி 2 + c = 0;

2) b ≠ 0, c = 0 எனில், கோடாரி 2 + bx = 0;

3) b = 0, c = 0 எனில், கோடாரி 2 = 0.

• எப்படி தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகள்.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, இலவச கால c ஐ சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு நகர்த்துகிறோம்

கோடாரி 2 = ‒s. a ≠ 0 என்பதால், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுக்கிறோம், பின்னர் x 2 = ‒c/a.

‒с/а > 0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது

x = ±√(–c/a) .

என்றால் ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

அத்தகைய சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. 2x 2 ‒ 32 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

பதில்: x 1 = - 4, x 2 = 4.

எடுத்துக்காட்டு 2. 2x 2 + 8 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

பதில்: சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை.

• அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் கோடாரி 2 + bx = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகள்.

கோடாரி 2 + bx = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதை காரணியாக்குவோம், அதாவது அடைப்புக்குறிக்குள் x ஐ எடுத்துக் கொண்டால், x(ax + b) = 0 கிடைக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு. பிறகு x = 0, அல்லது ax + b = 0. ax + b = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்த்தால், நாம் ax = - b, எங்கிருந்து x = - b/a என்பதைப் பெறுகிறோம். ax 2 + bx = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு எப்போதும் x 1 = 0 மற்றும் x 2 = ‒ b/a ஆகிய இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வகை சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வு வரைபடத்தில் எப்படி இருக்கும் என்பதைப் பார்க்கவும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்துடன் நமது அறிவை ஒருங்கிணைப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. 3x 2 - 12x = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 அல்லது 3x – 12 = 0

பதில்: x 1 = 0, x 2 = 4.

• மூன்றாவது வகை கோடாரி 2 = 0 சமன்பாடுகள்மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்படுகின்றன.

கோடாரி 2 = 0 என்றால், x 2 = 0. சமன்பாடு இரண்டு சமமான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது x 1 = 0, x 2 = 0.

தெளிவுக்காக, வரைபடத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 4 ஐ தீர்க்கும் போது, ​​இந்த வகை சமன்பாடுகளை மிக எளிமையாக தீர்க்க முடியும் என்பதை உறுதி செய்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாட்டை 7x 2 = 0 தீர்க்கவும்.

பதில்: x 1, 2 = 0.

எந்த வகையான முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்பது எப்போதும் உடனடியாகத் தெளிவாகத் தெரியவில்லை. பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 5.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்கவும் பொதுவான வகுக்கும், அதாவது 30க்குள்

அதை குறைப்போம்

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

இதே போல் கொடுப்போம்

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கம் 99 ஐ நகர்த்துவோம், குறியை எதிர்க்கு மாற்றுவோம்

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்த்தோம். இப்போது இதுபோன்ற பணிகளில் உங்களுக்கு எந்த சிரமமும் இருக்காது என்று நம்புகிறேன். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டின் வகையைத் தீர்மானிக்கும்போது கவனமாக இருங்கள், நீங்கள் வெற்றி பெறுவீர்கள்.

இந்த தலைப்பில் உங்களிடம் கேள்விகள் இருந்தால், எனது பாடங்களுக்கு பதிவு செய்யுங்கள், நாங்கள் ஒன்றாக எழும் சிக்கல்களை தீர்ப்போம்.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.