Складання пар лежачих у площинах, що перетинаються. Еквівалентність пар. Складання та рівновагу пар сил на площині. Опорні пристрої балочних систем

Міністерство освіти та науки РФ

Федеральне державне бюджетне освітнє

установа вищої професійної освіти

Забайкальський державний університет

Кафедра теоретичної механіки

Р Е Ф Е Р А Т

За темою: «Еквівалентність пар сил у просторі та на площині, їх складання та умова рівноваги»

Студент: Саділов І.А.

Група: СУС-13-2

Викладач: Геллер Ю.А.

м.Чита, 2014 р.

Що таке пара сил…………………………………………………3

Теорема про суму моментів пари сил…………………………….3

Теорема про еквівалентність пар сил……………………………4

Теорема про перенесення пари сил у паралельну площину…….5

Теорема про складання пар сил…………………………………….8

Умови рівноваги пар сил……………………………………..8

Висновки…………………………………………………………….9

Список використаної літератури………………………………10

ПАРА СИЛ

Парою сил називається система двох рівних за модулем, паралельних і спрямованих у протилежні сторони сил, які діють абсолютно тверде тіло.

Площиною дії пари сил називається площину, в якій розташовані ці сили.

Плечем пари сил d називається найкоротша відстань між лініями дії сил пари.

Моментом пари сил називається вектор , модуль якого дорівнює добутку модуля однієї із сил пари на її плече і який спрямований перпендикулярно площині дії сил пари в той бік, звідки пара видно повертається тіло проти ходу годинної стрілки.

Теорема про суму моментів пари сил. Сума моментів сил, що входять до складу пари, щодо будь-якої точки не залежить від вибору цієї точки та дорівнює моменту цієї пари сил.

Доказ: Виберемо довільно точку О. Проведемо з неї точки А і В радіус-вектори (Див. Рис. 4.2).

Ч то й потрібно було довести.

Дві пари сил називаються еквівалентними , якщо їхня дія на тверде тіло однакова за інших рівних умов.

Теорема про еквівалентність пар сил. Пару сил, що діє на тверде тіло, можна замінити іншою парою сил, розташованої в тій же площині дії, що має однаковий з першою парою момент.

П еренесем силу у крапку , а силу у крапку . Проведемо через крапки
дві будь-які паралельні прямі, що перетинають лінії дії сил пари. З'єднаємо точки
відрізком прямий і розкладемо сили у точці і у точці за правилом паралелограма.

Оскільки
, то

Тому
еквівалентна системі
, а ця система еквівалентна системі
, так як
еквівалентна нулю.

Таким чином ми задану пару сил
замінили іншою парою сил
. Доведемо, що моменти цих пар сил однакові.

Момент вихідної пари сил

, а момент пари сил
чисельно дорівнює площіпаралелограма
. Але площі цих паралелограмів рівні, тому що площа трикутника
дорівнює площі трикутника
.

Що й потрібно було довести.

Теорема про перенесення пари сил у паралельну площину . Дія пари сил на тверде тіло не зміниться від перенесення цієї пари паралельну площину.

Доказ: Нехай на тверде тіло діє пара сил
у площині . З точок застосування сил А і В опустимо перпендикуляри на площину
і в точках їх перетину з площиною
докладемо дві системи сил
і
, кожна з яких еквівалентна нулю

З кладемо дві рівні та паралельні сили і
. Їх рівнодіюча
у точці О.

Складемо дві рівні та паралельні сили і
. Їх рівнодіюча
паралель-на цих сил, дорівнює їх сумі і прикладена посередині відрізка
у точці О.

Оскільки
, то система сил
еквівалентна нулю та її можна відкинути.

Таким чином пара сил
еквівалентна парі сил
але лежить в іншій, паралельній площині. Що й потрібно було довести.

Наслідок:Момент пари сил, який діє тверде тіло, є вільний вектор.

Дві пари сил, що діють на те саме тверде тіло, еквівалентні, якщо вони мають однакові за модулем і напрямком моменти.

Теорема про складання пар сил. Дві пари сил, що діють на те саме тверде тіло, і лежать у площинах, що перетинаються, можна замінити однією еквівалентною парою сил, момент якої дорівнює сумі моментів заданих пар сил.

Доказ: Нехай є дві пари сил, розташовані в площинах, що перетинаються. Пара сил
у площині характеризується моментом
, а пара сил
у площині
характеризується моментом
.

Розташуємо пари сил так, щоб плече пар було загальним і розташовувалося на лінії перетину площин. Складаємо сили, прикладені в точці А та в точці В,

. Отримуємо пару сил
.

Що й потрібно було довести.

Умови рівноваги пар сил

Якщо на тверде тіло діє кілька пар сил, як завгодно розташованих у просторі, то послідовно застосовуючи правило паралелограма до кожних двох моментів пар сил, можна будь-яку кількість пар сил замінити однією еквівалентною парою сил, момент якої дорівнює сумі моментів заданих пар сил.

Теорема.Для рівноваги пар сил, прикладених до твердого тіла, необхідно достатньо, щоб момент еквівалентної пари сил дорівнював нулю.

Теорема.Для рівноваги пар сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб сума алгебри проекцій моментів пар сил на кожну з трьох координатних осей дорівнювала нулю.

Умови рівноваги системи сил

Векторна форма

Для рівноваги довільної системи сил, прикладених до твердого тіла, необхідно достатньо, щоб головний вектор системи сил був дорівнює нулюі головний момент системи сил щодо будь-якого центру приведення також дорівнював нулю.

Алгебраїчна форма.

Для рівноваги довільної системи сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб три суми проекцій всіх сил на осі декартових координат дорівнювали нулю і три суми моментів всіх сил відносно трьох осей координат також дорівнювали нулю.

Умови рівноваги просторової системи

паралельних сил

На тіло діє система паралельних сил. Розташуємо вісь Oz паралельно до сил.

Рівняння

Для рівноваги просторової системи паралельних сил, що діють на тверде тіло, необхідно і достатньо, щоб сума проекцій цих сил дорівнювала нулю і суми моментів цих сил щодо двох координатних осей, перпендикулярним силам, також дорівнювали нулю.

- проекція сили на вісь Oz.

Висновки:

Пару сил як жорстку фігуру можна як завгодно повертати і переносити до її площини дії.

У пари сил можна змінювати плече та сили, зберігаючи при цьому момент пари та площину дії.

3. момент пари є вільним вектором і повністю визначає дію пари на абсолютно тверде тіло. Для тіл, що деформуються, теорія пар не застосовна.

ЛІТЕРАТУРА:

1. Кірсанов М. Н. Теоретична механіка. Підручник для самопідготовки.

2.Тарг С.М Курс з Теоретичної Механіки.

Основні властивості пари характеризуються трьома теоремами.

Теорема І. Пара сил не має рівнодіючої.

Це означає, що за F 1 =F 2 рівнодіюча не існує.

З цієї теореми випливає, що пара сил не може бути врівноважена однією силою; пара сил може бути врівноважена лише парою.

Теорема ІІ. Алгебраїчна сума моментів сил, що становлять пару, щодо будь-якої точки площини дії пари є величина постійна, рівна моменту пари.

З цієї теореми випливає, що при будь-якому центрі моментів пара сил увійде до рівняння моментів з тим самим знаком і однією і тією ж величиною.

Теорема ІІІ. Алгебраїчна сума проекцій сил пари на вісь завжди дорівнює нулю.

З цієї теореми випливає, що пара сил не входить ні до рівняння сил, ні до рівняння проекцій сил.

Векторний момент сили щодо точки. Властивості моменту. Вектор момент пару сил, властивості моменту.

Теорема про складання пар

Теорема. Будь-яка плоска системапар еквівалента одній результуючій парі, момент якої дорівнює сумі алгебри моментів даних пар.

Еквівалентна пара сил. Векторний момент пари сил. Умова рівноваги пар сил.

Еквівалентні пари

Дві пари називаються еквівалентнимиякщо одну з них можна замінити іншою, не порушуючи механічного стану вільного твердого тіла.

Теорема про еквівалентні париформулюється так: якщо моменти двох пар алгебраїчно рівні, ці пари еквівалентні.

З доведеної теореми про еквівалентні пари випливає чотири слідства:

1. не змінюючи механічного стану тіла, пару можна
переміщати як завгодно у площині її дії;

2. не змінюючи механічного стану тіла, можна міняти
сили та плече пари, але так, щоб її момент залишаються незмінним;

3. щоб задати пару, достатньо задати її момент, тому іноді слово "пара" замінюють словом "момент" і умовно зображують його так, як показано на рис. 4.6;

4. умови рівноваги плоскої системи паралельних сил будуть справедливі, якщо разом з такою системою діють і пари сил, тому що їх можна повернути в площині дії та поставити сили пари паралельно іншим силам системи.

Умова рівноваги плоскої системи пар

Застосовуючи доведену в попередньому параграфі теорему до плоскої системи пар, що знаходиться в рівновазі, запишемо

Тому умова рівноваги плоскої системи пар у загальному виглядівиглядатиме так:

а формулюється так: для рівноваги плоскої системи пар необхідно і достатньо, щоб сума алгебри моментів даних пар дорівнювала нулю/

Умови рівноваги довільної плоскої системи сил. Три форми.

Різні випадки приведення плоскої системи довільно розташованих сил

Вивчивши властивості головного вектора та головного моменту, вкажемо чотири можливі випадки приведення плоскої системи довільно розташованих сил:

1. F гл ≠0, М гл ≠0, тобто головний вектор і головний момент
не дорівнюють нулю. У цьому випадку система сил еквівалентна
рівнодіючої, яка дорівнює за модулем головного століття
тору, паралельна йому, спрямована в той же бік, але по
іншої лінії дії (див. § 5.3, п. 3).

2. F гл ≠0, М гл =0. У цьому випадку система сил еквівалентна
рівнодіючої, лінія дії якої проходить через
центр приведення та збігається з головним вектором.

3. F гл = 0, М гл ≠0. У цьому випадку система еквівалентна
парі. Оскільки модуль і напрямок головного вектора в
всіх випадках не залежить від вибору центру приведення, то
в даному випадку величина і знак головного моменту
теж не залежать від центру приведення, бо одна й та сама
система сил може бути еквівалентна різним парам.

4. F гл = 0, М гл = 0. У цьому випадку система сил еквівалентна
нулю, тобто знаходиться в рівновазі.

Додавання пар проводиться алгебраїчним підсумовуванням їх моментів :

М = М 1 + М 2 + … + М n = ΣМ i

Умова рівноваги системи пар, що лежать в одній площині : для рівноваги системи пар необхідно, щоб сума моментів пар дорівнювала нулю:

ΣМ i = 0 (3.2)

Приклад 3.1. Визначити момент результуючої пари, що еквівалентна системі трьох пар, що лежать в одній площині (рис. 3.3). Перша пара F 1 = F¢ 1= 2 кН, плече h 1= 1,25 м; друга пара F 2 = F¢ 2= 3 кН, плече h 2= 2 м; третя пара F 3= F¢ 3 = 4,5 кН,плече h 3= 1,2 м-коду.

Мал. 3.3

Момент сили щодо точки

Момент М о (F)сили F щодо точки Про дорівнює добутку сили на плече. (Рис. 3.4, а).Сила Fпрагне повертати плече анавколо точки Про.

М о (F) = F×a, Н×м, (3.3)

де а- плече сили F.

Плечо сили – це довжина перпендикуляра а,опущеного з точки на лінію дії сили

Мал. 3.4

Центр моменту - точка О,щодо якої виникає момент.

Момент позитивний якщо сила прагне обертати тіло за годинниковою стрілкою (Рис. 3.4, а), і негативний - проти годинникової стрілки (Рис. 3.4, б).

Коли лінія дії сили проходить через дану точку, момент сили щодо цієї точки дорівнює нулю, тому що плече а = 0 (рис. 3.4, в).

Лекція №4

ВИЗНАЧЕННЯ ОПОРНИХ РЕАКЦІЙ

Опорні пристрої балочних систем

1) Шарнірно-рухлива опора (Рис. 4.1, а) -допускає поворот навколо осі шарніра та лінійне переміщення паралельно опорної площини. Напрямок опорної реакції – перпендикуляр до опорної площини. (Рис. 5.1, б).

2) Шарнірно-нерухома опора (Рис, 4.1, б) - допускає лише поворот навколо осі шарніра, але не допускає жодних лінійних переміщень. Опорна реакція R Aрозкладається на дві складові - R Axі R Ay.

3) Жорстка загортання (затискання) (Рис. 4.1, в) -не допускає ні лінійних переміщень, ні повороту. У затисканні діють дві складові опорної реакції - R Ax , R Ayта реактивний момент М О.

а) б) в)

Мал. 4.1

Двохпірні балки мають дві опори – одна опора шарнірно-нерухома, друга – шарнірно-рухлива. Шарнірно-рухлива опора необхідна для компенсації переміщень балки при температурних розширенняхбалки через коливання температури, а також при можливому зрушенні опори, наприклад, при осаді ґрунту.

Види балок

Консоль - Не закріплена частина балки, що виступає за опору (рис. 4.2, б, в).

1) Безконсольні балки 2) Одноконсольні балки 3) Двоконсольні балки

Мал. 4.2

Види навантажень

1) Зосереджена сила (рис.4.3, а) – F - Сила, прикладена в одній точці.

Мал. 4.3

(рис.4.3, б) – навантаження, рівномірно розподілене деякою довжиною l . Характеризується інтенсивністю q, одиниця виміру - Н/м або кН/м.

При вирішенні завдань рівномірно розподілене навантаження інтенсивністю q замінюється однією силою F q = q×l , яка є рівнодіючою силою та прикладається посередині довжини l .

3) Пара сил чи момент (рис. 4.3, в) – М, Нм.

Рівновага плоскої системи сил

Умова рівноваги довільної плоскої системи сил - довільна плоска система сил знаходиться в рівновазі, коли суми алгебри проекцій сил на координатні осі і сума моментів рівні нулю:

Перший вид: Другий вид: Третій вид:

SF ix = 0 S F ix = 0 SМА = 0

SF i у = 0 SМ А = 0 SМ В = 0

SМ про = 0 SМ В = 0 SМ С = 0

Вирішення задач на визначення опорних реакцій

Для розв'язання задач треба скласти стільки рівнянь рівноваги, скільки невідомих сил у завданні. Для визначення опорних реакцій двоопорної балки ( R Ax , R Ayі R В)необхідно скласти три рівняння рівноваги другого виду:SF ix = 0, SM А = 0, SM = 0.

Приклад 4.1 . Визначити опорні реакції балки, зображеної на рис. 4.4, а, навантаженою парою з моментом М= 10 кН×м, зосередженою силою F = 4 кН та розподіленим навантаженням інтенсивністю q= 1,5 кН/м.

Еквівалентність: А) 2 пари, що мають рівні моменти, еквівалентні. Пару сил можна переміщати, повертати у площині дії, переміщати у паралельну площину, змінювати одночасно силу та плече.

Б) 2 пари, що лежать в одній площині, можна замінити на одну пару, що лежить у тій же площині з моментом, що дорівнює сумі моментів цих пар.

M=M(R,R')= BA× R=BA×( F 1 +F 2)=BA× F 1 +BA× F 2 . При перенесенні сил уздовж лінії дії момент пари не змінюється BA× F 1 = M 1 , BA× F 2 = M 2 M = M 1 + M 2 .

ДОДАТОК. 2 пари, що лежать у площинах, що перетинаються, еквівалентні 1 парі, момент якої дорівнює сумі моментів двох даних пар.

Дано: ( F 1 , F 1 ’), (F 2 , F 2 ’)

Доказ:

Наведемо дані сили до плеча АВ – осі перетину площин. Отримаємо пари:

(Q 1 ,Q 1 ') та ( Q 2 ,Q 2 '). При цьому M 1 =M(Q 1 ,Q 1 ’)=M(F 1 , F 1 ’),

M 2 =M(Q 2 ,Q 2 ’)=M(F 2 , F 2 ’).

Складемо сили R=Q 1 +Q 2 , R’=Q 1 ’+Q 2 '. Т. до. Q 1 ’= -Q 1 , Q 2 ’= -Q 2 Þ R= -R'. Доведено, що система двох пар еквівалентна системі ( R,R’). M(R,R’)=BA× R=BA×( Q 1 +Q 2)= BA× Q 1 +BA× Q 2 =M(Q 1 ,Q 1 ’)+ M(Q 2 ,Q 2 ’)=M(F 1 ,F 1 ’)+ M(F 2 ,F 2 ') Þ M=M 1 +M 2 .

УМОВИ РІВНОВАГИ:

Система перебуває у рівновазі, якщо сумарний момент усіх пар сил, які діють тіло, дорівнює нулю.

M 1 +M 2 +…+M n=0.

Білет №2.

Координатний спосіб завдання руху точки (прямокутна декартова система координат). Траєкторія, швидкість, прискорення точки.
Аксіоми статики.

Декартова система координат.

Вектор rможна розкласти за базисом I, j, k: r=x i+y j+z k.

Рух матеріальної точки повністю визначено, якщо задані три безперервні та однозначні функції від часу t: x = x (t), y = y (t), z = z (t), що описують зміну координат точки з часом. Ці рівняння називаються кінематичними рівняннями руху точки. Радіус-вектор rє функцією змінних x, y, z, які, своєю чергою, є функціями часу t. Тому похідна r׳(t) може бути обчислена за правилом

d r/dt=∂ r/∂x∙dx/dt+∂ r/∂y∙dy/dt+∂ r/∂z∙dz/dt.

Звідси випливає, що v=v x i+v y j+v z k.

V =√ (v x ²+v y ²+v z ²)

Прискоренням точки в даний моментчасу назвемо вектор а, що дорівнює похідній від вектора швидкості vза часом. А=x׳׳(t) I+y׳׳(t) j+z׳׳(t) k.

А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²)

Аксіоми статики.

1) 2 сили, прикладені до абс. твердого тіла будуть еквівалентні 0 тоді і тільки тоді, коли вони рівні по модулю, діють на одній прямій і направлені в протилежні сторони.

2) Дія даної системи сил на абсолютно тверде тіло не зміниться, якщо до неї додати або відібрати систему сил, еквівалентну 0 => точку застосування сили можна переносити вздовж лінії її дії.

3) Якщо до тіла прикладено 2 сили, що виходять з однієї точки, то їх можна замінити рівнодією (будь-яку силу можна розкласти на складові нескінченну кількість разів).

4) Сили взаємодії двох тіл рівні за модулем і протилежні за напрямом.

Дія зв'язків можна замінити на дію сил – реакцій зв'язку.

Білет №3.

Природний методзавдання руху точки. Траєкторія, швидкість, прискорення точки.
Алгебраїчний та векторний момент сили щодо точки.

Природний метод.

Якщо задана траєкторія руху точки, обрано початок і позитивний напрямок відліку і відома S=S(t) залежність шляху від часу, такий спосіб завдання руху точки називається природним. V=d r/dt∙dS/dS=S׳(t)∙d r/dS=S׳(t)∙ τ = =v τ ∙ τ. D r/dS= τ . Τ спрямована завжди у «+» напрямку відліку S.

A=d v/dt=S׳׳(t)∙ τ +S׳(t)∙d τ /dt=S׳׳∙ τ+ ( S׳)² n/ρ. A τ =S׳׳-тангенціальне прискорення, a n =(S׳)²/ρ-нормальне (відцентрове) прискорення, ρ-радіус кривизни.

A=√((a τ)²+(a n)²).

Векторний та алгебраїчний момент пари сил.

Алгебраїчний момент M=±F∙d (пара). M=±dF 1 =±dF 2 =±2S ΔABC = ±S ٱ . Він не змінюється при переміщенні сил уздовж лінії їхньої дії (ні плече, ні напрямок обертання не змінюються).

Векторний момент. M=M(F,F’), спрямований перпендикулярно до площини пари в той бік, звідки видно прагнення пари повернути тіло проти годинникового ходу стрілки, його модуль дорівнює алгебраїчному моменту пари.

M(F 1 ,F 2)=BA x F 1 =AB x F 2 .

Моменти щодо точки.

Алгебраїчним моментом сили Fщодо точки Про називається взятий зі знаком «+» чи «-» твір | F| на її плече: M O ( F)=±Fh=±2S ΔOAB ∙ M O(F). "+" - проти годинникової стрілки. Характеризує обертальний ефект F.

Властивості:

А) Не змінюється при перенесенні точки докладання вздовж лінії дії сили. (Б. | F| sinα = const).

Б) Ь=0 якщо т. лежить на лінії дії сили.

Площина дії M – через F та O.

Векторний момент сили F щодо точки О – вектор M O ( F)=r x F (r- Радіус- вектор з А в О). | M O ( F)|=|F|∙|r|∙sinα=Fh.

M O ( F)= x A y A z A =>

ð M Ox ( F)=yF z -zF y

ð M Oy ( F)=zF x -xF z

M Oz ( F)=xF y -yF x

Білет №4.

Координатний спосіб завдання руху точки (полярна система координат). Траєкторія, швидкість, прискорення точки.
Пара сил. Теорема про суму моментів сил, що становлять пару, щодо довільної точки.

Полярні координати

Ox – полярна вісь, φ – полярний кут, r – полярний радіус. Якщо заданий закон r=r(t), φ=φ(t), то задано рух у полярній системі координат. Нехай r=rº r, rº- одиничний вектор, pº┴rº- Поодинокий вектор. Тоді v=d r/dt=r׳ rº+

rd rº/dt=r׳ rº+rφ׳ pº=v r rº+v p pº. v p і v r – трансверсальна та радіальна складова швидкості. A=d v/dt=d(r׳ rº+rφ׳ pº)/ dt=r׳׳ rº+r ׳ d rº/dt+r׳φ׳ pº+rφ׳׳ pº+rφ׳∙

d pº/dt=(r׳׳-(rφ׳)²) rº+(rφ׳׳+2r׳φ׳) pº= a r ∙ rº+a p pº.

r²=x²+y², φ=arctg(y/x).

Пара сил - сукупність двох паралельних один одному сил рівних за величиною та спрямованих у протилежні сторони. Пара сил не може бути більш спрощена (замінена однією силою) і є новою силову характеристикумеханічної взаємодії.

Теорема про момент пари сил. Момент пари сил не залежить від вибору центру привиду і дорівнює добутку будь-якої з сил пари на плече пари, взятий зі знаком «+» при обертанні пари проти годинникової стрілки або зі знаком «-» при обертанні годинниковою.

Плечо пари сил – довжина перпендикуляра опущеного з будь-якої точки лінії дії однієї сили до лінії дії іншої сили цієї пари.

Теорема про еквівалентність пар сил у площині. Пари сил, що лежать в одній площині, еквівалентні, якщо їх моменти чисельно рівні та однакові за знаком.

Слідство. Пару сил, не змінюючи її дію на тверде тіло, можна переносити в будь-яке місце у площині її дії, повертати її плече на будь-який кут, а також змінювати це плече та модулі сил, не змінюючи величини її моменту та напрямки обертання. Отже, основною характеристикою пари сил є її момент.

Теорема про еквівалентність пар сил у просторі. Пари сил у просторі еквівалентні, якщо їх моменти геометрично рівні.

Слідство. Не змінюючи дії пари сил на тверде тіло, пару сил можна переносити в будь-яку площину, паралельну площині її дії, а також змінювати її сили та плече, зберігаючи незмінним модуль та напрямок її моменту. Вектор моменту пари сил можна переносити будь-яку точку, тобто. момент пари сил є вільним вектором. Вектор моменту пари сил визначає всі три її елементи: положення площини дії пари, напрямок обертання та числове значення моменту.

Теорема про складання пар сил на площині. Систему пар сил можна замінити парою сил, момент якої дорівнює сумі алгебри моментів вихідних пар. Кінематичний стан тіла не змінюється.

Умова рівноваги системи пар сил:

Статичні інваріанти та динамічні гвинти

Інваріанти системи сил - величини, які від вибору центру приведення. Перший векторний інваріант – головний вектор системи сил .

Головний момент перестав бути інваріантом т.к. залежить від центру привиду. Однак існує величина, пов'язана з головним вектором і не залежить від центру приведення. Однак існує величина, пов'язана з головним вектором і не залежить від центру привиду:

3) .

Другий скалярний інваріант - скалярний добуток головного вектора на вектор головного моменту.

Головний мінімальний момент також інваріантна величина:

Динамічний гвинт - сукупність сили F, що діють на тіло, і пари сил з моментом М, що лежить у площині перпендикулярній силі F. До динамічного гвинта наводиться в найбільш загальному випадку довільна система сил, що діють на тіло. Подальше спрощення динамічного гвинта неможливо, тобто. його не можна замінити однією силою та однією парою сил. Можна лише склавши F з однією з сил пари привести його до двох сил, що схрещуються.