Що таке логарифм?
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")
Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять в ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою і страшною. Особливо - рівняння з логарифмами.
Це абсолютно не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за \u200b\u200bякісь 10 - 20 хвилин ви:
1. Зрозумієте, що таке логарифм.
2. Навчіться вирішувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо нічого про них не чули.
3. Навчіться обчислювати прості логарифми.
Причому для цього вам потрібно буде знати тільки таблицю множення, так як зводиться число в ступінь ...
Відчуваю, сумніваєтеся ви ... Ну ладно, засікайте час! Поїхали!
Для початку вирішіть в розумі ось таке рівняння:
Якщо Вам подобається цей сайт ...
До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)
можна познайомитися з функціями і похідними.
Отже, перед нами ступеня двійки. Якщо взяти число з нижньої рядки, то можна легко знайти ступінь, в яку доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести в четверту ступінь. А щоб отримати 64, треба два звести в шостий ступінь. Це видно з таблиці.
А тепер - власне, визначення логарифма:
Логарифм по підставі a від аргументу x - це ступінь, в яку треба звести число a, щоб отримати число x.
Позначення: log a x \u003d b, де a - підстава, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.
Наприклад, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (логарифм за основою 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 \u003d 8). З тим же успіхом log 2 64 \u003d 6, оскільки 2 6 \u003d 64.
Операцію знаходження логарифма числа по заданому підставі називають логарифмування. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 + 2 \u003d 1 | log 2 4 \u003d 2 | log 2 8 \u003d 3 | log 2 16 \u003d 4 | log 2 32 \u003d 5 | log 2 64 \u003d 6 |
На жаль, далеко не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм буде лежати десь на відрізку. Тому що 2 + 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати до безкінечності, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще так і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Важливо розуміти, що логарифм - це вираз з двома змінними (підстава і аргумент). Багато на перших порах плутають, де знаходиться підставу, а де - аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:
Перед нами - не що інше як визначення логарифма. Згадайте: логарифм - це ступінь, В яку треба звести підстава, щоб отримати аргумент. Саме підставу зводиться до степеня - на зображенні воно виділено червоним. Виходить, що підстава завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому ж занятті - і ніякої плутанини не виникає.
З визначенням розібралися - залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто позбавлятися від знака «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливих факти:
- Аргумент і підстава завжди повинні бути більше нуля. Це випливає з визначення ступеня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифма.
- Основа повинна бути відмінним від одиниці, оскільки одиниця в будь-якого ступеня все одно залишається одиницею. Через це питання «в який ступінь треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлений сенсу. Немає такої міри!
Такі обмеження називаються областю допустимих значень (ОПЗ). Виходить, що ОДЗ логарифма виглядає так: log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.
Зауважте, що ніяких обмежень на число b (значення логарифма) не накладалися. Наприклад, логарифм цілком може бути негативним: log 2 0,5 \u003d -1, тому що 0,5 \u003d 2 -1.
Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифма не потрібно. Всі обмеження вже враховані укладачами завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння і нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі і аргументі можуть стояти дуже неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.
Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається з трьох кроків:
- Уявити підставу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою підставою, великим одиниці. Попутно краще позбутися десяткових дробів;
- Вирішити щодо змінної b рівняння: x \u003d a b;
- Отримане число b буде відповіддю.
От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому кроці. Вимога, щоб підстава була більше одиниці, досить актуально: це знижує ймовірність помилки і значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо відразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.
Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:
Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25
- Уявімо підставу і аргумент як ступінь п'ятірки: 5 \u003d 5 1, 25 \u003d 5 2,
- Отримали відповідь: 2.
Складемо і вирішимо рівняння:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;
Завдання. Обчисліть логарифм:
Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64
- Уявімо підставу і аргумент як ступінь двійки: 4 \u003d 2 + 2; 64 \u003d 2 6;
- Складемо і вирішимо рівняння:
log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3; - Отримали відповідь: 3.
Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1
- Уявімо підставу і аргумент як ступінь двійки: 16 \u003d 2 4, 1 \u003d 2 0;
- Складемо і вирішимо рівняння:
log 16 +1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0; - Отримали відповідь: 0.
Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14
- Уявімо підставу і аргумент як ступінь сімки: 7 \u003d 7 1, 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
- З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
- Відповідь - без змін: log 7 14.
Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точною ступенем іншого числа? Дуже просто - достатньо розкласти його на прості множники. Якщо в розкладанні є хоча б два різних множника, число не є точною ступенем.
Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - точна ступінь, тому що множник всього один;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - не є точною ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - точна ступінь;
35 \u003d 7 · 5 - знову не є точною ступенем;
14 \u003d 7 · 2 - знову не точна ступінь;
Зауважимо також, що самі прості числа завжди є точними ступенями самих себе.
десятковий логарифм
Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву і позначення.
Десятковий логарифм від аргументу x - це логарифм по підставі 10, тобто ступінь, в яку треба звести число 10, щоб отримати число x. Позначення: lg x.
Наприклад, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - І т.д.
Відтепер, коли в підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його завжди можна переписати:
lg x \u003d log 10 x
Все, що вірно для звичайних логарифмів, вірно і для десяткових.
натуральний логарифм
Існує ще один логарифм, який має власне позначення. У певному сенсі, він навіть важливіший, ніж десятковий. Йдеться про натуральний логарифм.
Натуральний логарифм від аргументу x - це логарифм по підставі e, тобто ступінь, в яку треба звести число e, щоб отримати число x. Позначення: ln x.
Багато запитають: що ще за число e? Це ірраціональне число, його точне значення знайти і записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e \u003d +2,718281828459 ...
Не будемо заглиблюватися, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифма:
ln x \u003d log e x
Таким чином, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 - ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа ірраціональний. Крім, зрозуміло, одиниці: ln 1 \u003d 0.
Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які вірні для звичайних логарифмів.
Одним з елементів алгебри примітивного рівня є логарифм. Назва походить з грецької мови від слова "число" або "ступінь" і означає ступінь, в яку необхідно звести число, що знаходиться в підставі, для знаходження підсумкового числа.
види логарифмів
- log a b - логарифм числа b по підставі a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0);
- lg b - десятковий логарифм (логарифм за основою 10, a \u003d 10);
- ln b - натуральний логарифм (логарифм за основою e, a \u003d e).
Як вирішувати логарифми?
Логарифм числа b по підставі a є показником ступеня, яка вимагає, щоб до числа b звели підставу а. Отриманий результат вимовляється так: "логарифм b по підставі а". Рішення логарифмічних завдань полягає в тому, що вам необхідно визначити даний ступінь по числам за вказаними числах. Існують деякі основні правила, щоб визначити чи вирішити логарифм, а також перетворити саму запис. Використовуючи їх, проводиться рішення логарифмічних рівнянь, знаходяться похідні, вирішуються інтеграли і здійснюються багато інших операцій. В основному, рішенням самого логарифма є його спрощена запис. Нижче наведені основні формули і властивості:
Для будь-яких a; a\u003e 0; a ≠ 1 і для будь-яких x; y\u003e 0.
- a log a b \u003d b - основне логарифмічна тотожність
- log a 1 \u003d 0
- log a a \u003d 1
- log a (x · y) \u003d log a x + log a y
- log a x / y \u003d log a x - log a y
- log a 1 / x \u003d -log a x
- log a x p \u003d p log a x
- log a k x \u003d 1 / k · log a x, при k ≠ 0
- log a x \u003d log a c x c
- log a x \u003d log b x / log b a - формула переходу до нового основи
- log a x \u003d 1 / log x a
Як вирішувати логарифми - покрокова інструкція рішення
- Для початку запишіть необхідне рівняння.
Зверніть увагу: якщо в логарифм за основою коштує 10, то запис коротшає, виходить десятковий логарифм. Якщо стоїть натуральне число е, то записуємо, скорочуючи до натурального логарифма. Мається на увазі, що результат всіх логарифмів - ступінь, до якої зводиться число підстави до отримання числа b.
Безпосередньо, рішення і полягає в обчисленні цього ступеня. До того як вирішити вираз з логарифмом, його необхідно спростити за правилом, тобто, користуючись формулами. Основні тотожності ви зможете знайти, повернувшись трохи назад в статті.
Складаючи і віднімаючи логарифми з двома різними числами, але з однаковими підставами, замінюйте одним логарифмом з твором або розподілом чисел b і с відповідно. В такому випадку можна застосувати формулу переходу до іншого підстави (див. Вище).
Якщо ви використовуєте вираження для спрощення логарифма, то необхідно враховувати деякі обмеження. А то є: підстава логарифма а - тільки позитивне число, але не рівне одиниці. Число b, як і а, має бути більше нуля.
Є випадки, коли спростивши вираз, ви не зможете обчислити логарифм в числовому вигляді. Буває, що такий вислів не має сенсу, адже багато ступеня - числа ірраціональні. За такої умови залиште ступінь числа у вигляді запису логарифма.
Сьогодні ми поговоримо про формулах логарифмів і дамо показові приклади розв'язання.
Самі по собі мають на увазі шаблони рішення згідно основних властивостей логарифмів. Перш застосовувати формули логарифмів для вирішення нагадаємо для вас, спочатку все властивості:
Тепер на основі цих формул (властивостей), покажемо приклади розв'язання логарифмів.
Приклади розв'язання логарифмів на підставі формул.
логарифм позитивного числа b по підставі a (позначається log a b) - це показник ступеня, в яку треба звести a, щоб отримати b, при цьому b\u003e 0, a\u003e 0, а 1.
Згідно визначення log a b \u003d x, що рівносильно a x \u003d b, тому log a a x \u003d x.
логарифми, Приклади:
log 2 8 \u003d 3, тому що 2 3 \u003d 8
log 7 49 \u003d 2, тому що 7 2 \u003d 49
log 5 1/5 \u003d -1, тому що 5 -1 \u003d 1/5
десятковий логарифм - це звичайний логарифм, в основі якого знаходиться 10. Позначається як lg.
log 10 100 \u003d 2, тому що 10 2 \u003d 100
натуральний логарифм - також звичайний логарифм логарифм, але вже з повним правом е (е \u003d 2,71828 ... - ірраціональне число). Позначається як ln.
Формули або властивості логарифмів бажано запам'ятати, тому що вони знадобляться нам надалі при вирішенні логарифмів, логарифмічних рівнянь і нерівностей. Давайте ще раз відпрацюємо кожну формулу на прикладах.
- Основна логарифмічна тотожність
a log a b \u003d b8 2log 8 3 \u003d (8 2log 8 3) 2 \u003d 3 2 \u003d 9
- Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів
log a (bc) \u003d log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 \u003d log 3 (8,1 * 10) \u003d log 3 81 \u003d 4
- Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів
log a (b / c) \u003d log a b - log a c9 log 5 50/9 log 5 2 \u003d 9 log 5 50 log 5 2 \u003d 9 log 5 25 \u003d 9 2 \u003d 81
- Властивості ступеня логаріфміруемого числа і підстави логарифма
Показник ступеня логаріфміруемого числа log a b m \u003d mlog a b
Показник ступеня підстави логарифма log a n b \u003d 1 / n * log a b
log a n b m \u003d m / n * log a b,
якщо m \u003d n, отримаємо log a n b n \u003d log a b
log 4 9 \u003d log 2 + 2 3 2 \u003d log 2 3
- Перехід до нового основи
log a b \u003d log c b / log c a,якщо c \u003d b, отримаємо log b b \u003d 1
тоді log a b \u003d 1 / log b a
log 0,8 3 * log 3 1,25 \u003d log 0,8 3 * log 0,8 1,25 / log 0,8 3 \u003d log 0,8 1,25 \u003d log 4/5 5/4 \u003d -1
Як бачите, формули логарифмів не такі складні як здаються. Тепер розглянувши приклади розв'язання логарифмів ми можемо переходити до логарифмическим рівнянням. Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь ми більш детально розглянемо в статті: "". НЕ пропустіть!
Якщо у вас залишилися питання щодо вирішення, пишіть їх в коментарях до статті.
Замітка: вирішили здобути освіту іншого класу навчання за кордоном як варіант розвитку подій.
(Від грецького λόγος - «слово», «ставлення» і ἀριθμός - «число») числа b по підставі a (Log α b) Називається таке число c, і b= a c, Тобто записи log α b=c і b \u003d a c еквівалентні. Логарифм має сенс, якщо a\u003e 0, а ≠ 1, b\u003e 0.
Говорячи іншими словами логарифм числа b по підставі аформулюється як показник ступеня, в яку треба звести число a, Щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).
З цього формулювання випливає, що обчислення x \u003d log α b, Рівнозначно рішенням рівняння a x \u003d b.
наприклад:
log 2 8 \u003d 3 тому, що 8 \u003d 2 3.
Виділимо, що зазначена формулювання логарифма дає можливість відразу визначити значення логарифма, Коли число під знаком логарифма виступає деяким ступенем підстави. І в правду, формулювання логарифма дає можливість обґрунтувати, що якщо b \u003d a з, То логарифм числа b по підставі a дорівнює з. Також ясно, що тема логарифмирования тісно взаємопов'язана з темою ступеня числа.
Обчислення логарифма називають логарифмування. Логарифмування - це математична операція взяття логарифма. При логарифмування, твори співмножників трансформується в суми членів.
потенціювання - це математична операція зворотна логарифмуванню. При потенціюванні заданий підставу зводиться до степеня вираження, над яким виконується потенцирование. При цьому суми членів трансформуються в твір співмножників.
Досить часто використовуються речові логарифми з підставами 2 (двійковий), е число Ейлера e ≈ 2,718 (натуральний логарифм) і 10 (десятковий).
На даному етапі доцільно розглянути зразки логарифмівlog 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
А записи lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не мають сенсу, так як в першій з них під знаком логарифма поміщено негативне число, в другій - негативне число в підставі, а в третій - і негативне число під знаком логарифма і одиниця в підставі.
Умови визначення логарифма.
Варто окремо розглянути умови a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0.прі яких дається визначення логарифма. Розглянемо, чому взяті ці обмеження. У цей нам допоможе рівність виду x \u003d log α b , Зване основним логарифмическим тотожністю, яке безпосередньо випливає з даного вище визначення логарифма.
візьмемо умова a ≠ 1. Оскільки одиниця в будь-якого ступеня дорівнює одиниці, то рівність x \u003d log α b може існувати лише при b \u003d 1, Але при цьому log 1 + 1 буде будь-яким дійсним числом. Для виключення цієї неоднозначності і береться a ≠ 1.
Доведемо необхідність умови a\u003e 0. при a \u003d 0 за формулюванням логарифма може існувати тільки при b \u003d 0. І відповідно тоді log 0 0може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, так як нуль в будь-який відмінною від нуля ступеня є нуль. Виключити цю неоднозначність дає умова a ≠ 0. А при a<0 нам би довелося відкинути розбір раціональних і ірраціональних значень логарифма, оскільки ступінь з раціональним і ірраціональним показником визначена лише для невід'ємних підстав. Саме з цієї причини і обумовлено умова a\u003e 0.
І остання умова b\u003e 0 випливає з нерівності a\u003e 0, Оскільки x \u003d log α b, А значення ступеня з позитивним підставою a завжди позитивно.
Особливості логарифмів.
логарифми характеризуються відмінними особливостями, Які зумовили їх повсюдне вживання для значного полегшення кропітких розрахунків. При переході «в світ логарифмів» множення трансформується на значно більш легке складання, розподіл - на віднімання, а зведення в ступінь і добування кореня трансформуються відповідне в множення і ділення на показник ступеня.
Формулювання логарифмів і таблицю їх значень (для тригонометричних функцій) вперше видав в 1614 році шотландський математик Джон Непер. Логарифмічні таблиці, збільшені і деталізовані іншими вченими, широко використовувалися при виконанні наукових і інженерних обчислень, і залишалися актуальними поки не стали застосовуватися електронні калькулятори і комп'ютери.