У попередньому розділі, присвяченому розбору геометричного сенсупевного інтеграла, ми отримали низку формул для обчислення площі криволінійної трапеції:
S (G) = ∫ a b f (x) d x для безперервної та невід'ємної функції y = f (x) на відрізку [a; b ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x для безперервної та непозитивної функції y = f (x) на відрізку [a; b].
Ці формули застосовні для вирішення щодо простих завдань. Насправді ж нам частіше доведеться працювати з складнішими фігурами. У зв'язку з цим, цей розділ ми присвятимо розбору алгоритмів обчислення площі фігур, які обмежені функціями явно, тобто. як y = f(x) або x = g(y) .
ТеоремаНехай функції y = f 1 (x) та y = f 2 (x) визначені і безперервні на відрізку [a; b], причому f 1 (x) ≤ f 2 (x) для будь-якого значення x з [a; b]. Тоді формула для обчислення площі фігури G обмеженою лініями x = a , x = b , y = f 1 (x) і y = f 2 (x) матиме вигляд S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Схожа формула буде застосовна для площі фігури, обмеженої лініями y = c , y = d , x = g 1 (y) та x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y.
Доведення
Розберемо три випадки, котрим формула буде справедлива.
У першому випадку, враховуючи властивість адитивності площі, сума площ вихідної фігури G і криволінійної трапеції G 1 дорівнює площі фігури G 2 . Це означає що
Тому S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.
Виконати останній перехід ми можемо з використанням третьої якості певного інтеграла.
У другому випадку справедлива рівність: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x
Графічна ілюстрація матиме вигляд:
Якщо обидві функції непозитивні, отримуємо: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графічна ілюстрація матиме вигляд:
Перейдемо до розгляду загального випадку, коли y = f 1 (x) та y = f 2 (x) перетинають вісь O x .
Точки перетину ми позначимо як x i, i = 1, 2,. . . , n-1. Ці точки розбивають відрізок [a; b] на n частин x i-1; x i, i = 1, 2,. . . , n де α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Отже,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Останній перехід ми можемо здійснити з використанням п'ятої якості певного інтеграла.
Проілюструємо на графіку загальний випадок.
Формулу S(G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x можна вважати доведеною.
А тепер перейдемо до розбору прикладів обчислення площі фігур, які обмежені лініями y = f(x) та x = g(y) .
Розгляд будь-якого з прикладів ми починатимемо з побудови графіка. Зображення дозволить нам представляти складні фігури як об'єднання більше простих фігур. Якщо побудова графіків і фігур на них викликає у вас труднощі, можете вивчити розділ про основні елементарні функції, геометричне перетворення графіків функцій, а також побудову графіків під час дослідження функції.
Приклад 1
Необхідно визначити площу фігури, яка обмежена параболою y = - x 2 + 6 x - 5 і прямими лініями y = - 1 3 x - 1 2 x = 1 x = 4 .
Рішення
Зобразимо лінії на графіку в системі декартової координат.
На відрізку [1; 4 ] графік параболи y = - x 2 + 6 x - 5 розташований вище за пряму y = - 1 3 x - 1 2 . У зв'язку з цим для отримання відповіді використовуємо формулу, отриману раніше, а також спосіб обчислення певного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:
S(G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Відповідь: S(G) = 13
Розглянемо складніший приклад.
Приклад 2
Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена лініями y = x + 2, y = x, x = 7.
Рішення
В даному випадку ми маємо тільки одну пряму лінію, розташовану паралельно осі абсцис. Це x = 7. Це вимагає від нас знайти другу межу інтегрування самостійно.
Побудуємо графік та нанесемо на нього лінії, дані за умови завдання.
Маючи графік перед очима, ми легко можемо визначити, що нижньою межею інтегрування буде абсцис точки перетину графіка прямої y = x і напів параболи y = x + 2 . Для знаходження абсциси використовуємо рівності:
y = x + 2 О Д З З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (-1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З
Виходить, що абсцис точки перетину є x = 2 .
Звертаємо вашу увагу на той факт, що в загальному прикладі на кресленні лінії y = x + 2, y = x перетинаються в точці (2; 2), тому такі докладні обчислення можуть здатися зайвими. Ми привели тут таке докладне рішення лише тому, що у складніших випадках рішення може бути не таким очевидним. Це означає, що координати перетину ліній краще завжди обчислювати аналітично.
На інтервалі [2; 7] графік функції y = x розташований вище за графік функції y = x + 2 . Застосуємо формулу для обчислення площі:
S(G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Відповідь: S(G) = 59 6
Приклад 3
Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена графіками функцій y = 1 x та y = - x 2 + 4 x - 2 .
Рішення
Нанесемо лінії на графік.
Визначимося з межами інтегрування. Для цього визначимо координати точок перетину ліній, прирівнявши вирази 1 x - x 2 + 4 x - 2 . За умови, що x не дорівнює нулю, рівність 1 x = - x 2 + 4 x - 2 стає еквівалентним рівнянню третього ступеня - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 із цілими коефіцієнтами. Освіжити в пам'яті алгоритм вирішення таких рівнянь ми можете, звернувшись до розділу «Рішення кубічних рівнянь».
Коренем цього рівняння є х = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0 .
Розділивши вираз - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на двочлен x - 1 отримуємо: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Коріння, що залишилося, ми можемо знайти з рівняння x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (-3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Ми знайшли інтервал x ∈ 1; 3 + 13 2 , на якому фігура G укладена вище синій і нижче червоної лінії. Це допомагає нам визначити площу фігури:
S(G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Відповідь: S(G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Приклад 4
Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена кривими y = x 3 , y = - log 2 x + 1 і віссю абсцис.
Рішення
Нанесемо усі лінії на графік. Ми можемо отримати графік функції y = - log 2 x + 1 з графіка y = log 2 x якщо розташуємо його симетрично щодо осі абсцис і піднімемо на одну одиницю вгору. Рівняння осі абсцис у = 0.
Позначимо точки перетину ліній.
Як очевидно з малюнка, графіки функцій y = x 3 і y = 0 перетинаються у точці (0 ; 0) . Так виходить тому, що х = 0 є єдиним дійсним коренем рівняння х 3 = 0 .
x = 2 є єдиним коренем рівняння - log 2 x + 1 = 0 тому графіки функцій y = - log 2 x + 1 і y = 0 перетинаються в точці (2 ; 0) .
x = 1 є єдиним коренем рівняння x 3 = - log 2 x + 1. У зв'язку з цим графіки функцій y = x 3 і y = - log 2 x + 1 перетинаються в точці (1; 1). Останнє твердження може бути неочевидним, але рівняння x 3 = - log 2 x + 1 не може мати більше одного кореня, так як функція y = x 3 є строго зростаючою, а функція y = - log 2 x + 1 строго спадаючою.
Подальше рішення передбачає кілька варіантів.
Варіант №1
Фігуру G ми можемо представити як суму двох криволінійних трапецій, розташованих вище за осі абсцис, перша з яких розташовується нижче середньої лініїна відрізку x ∈ 0; 1 , а друга нижче за червону лінію на відрізку x ∈ 1 ; 2 . Це означає, що площа дорівнює S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Варіант №2
Фігуру G можна представити як різницю двох фігур, перша з яких розташована вище за осі абсцис і нижче за синю лінію на відрізку x ∈ 0 ; 2 , а друга між червоною та синьою лініями на відрізку x ∈ 1 ; 2 . Це дозволяє нам знайти площу наступним чином:
S(G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
В цьому випадку для знаходження площі доведеться використовувати формулу виду S (G) = c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y . Фактично, лінії, які обмежують фігуру, можна подати у вигляді функцій від аргументу y .
Дозволимо рівняння y = x 3 і - log 2 x + 1 щодо x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Отримаємо потрібну площу:
S(G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Відповідь: S(G) = 1 ln 2 - 1 4
Приклад 5
Необхідно обчислити площу фігури, обмежену лініями y = x , y = 2 3 x - 3 , y = - 1 2 x + 4 .
Рішення
Червоною лінією нанесемо на графік лінію, задану функцією y = x. Синім кольором нанесемо лінію y = -1 2 x + 4, чорним кольором позначимо лінію y = 2 3 x - 3.
Зазначимо точки перетину.
Знайдемо точки перетину графіків функцій y = x та y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 О Д З З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 П о верка: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 · 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 не я в л я т с я р е ш е н ня му р а в н е н і я x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н н я е м у р а в н і н я ⇒ (4 ; 2) т о к а п е р е с е н і я y = x та y = - 1 2 x + 4
Знайдемо точку перетину графіків функцій y = x та y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 - 729 8 = 9 4 Перевірка: x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н н е м у р а в н е н я ⇒ (9 ; 3) т о к а перес е ч а н я y = x і y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я ет с я р е ш е н н ня м у р я в н е ня
Знайдемо точку перетину ліній y = - 1 2 x + 4 і y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) точка перес е чення і = - 1 2 x + 4 і y = 2 3 x - 3
Спосіб №1
Представимо площу шуканої фігури як суму площ окремих фігур.
Тоді площа фігури дорівнює:
S(G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Спосіб №2
Площа вихідної фігури можна як суму двох інших фігур.
Тоді розв'яжемо рівняння лінії щодо x , а тільки після цього застосуємо формулу обчислення площі фігури.
y = x ⇒ x = y 2 до р а з н а я л і н і я y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 с і н я л і н і я
Таким чином, площа дорівнює:
S(G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Як бачите, значення збігаються.
Відповідь: S(G) = 11 3
Підсумки
Для знаходження площі фігури, яка обмежена заданими лініями, нам необхідно побудувати лінії на площині, знайти точки їх перетину, застосувати формулу для знаходження площі. У цьому розділі ми розглянули варіанти завдань, що найчастіше зустрічаються.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Обчислення площі фігури– це, мабуть, одне з найскладніших завдань теорії площ. У шкільній геометрії вчать знаходити площі основних геометричних фігуртаких як, наприклад, трикутник, ромб, прямокутник, трапеція, коло тощо. Однак найчастіше доводиться стикатися з обчисленням площ складніших фігур. Саме під час вирішення таких завдань дуже зручно використовувати інтегральне числення.
Визначення.
Криволінійною трапецієюназивають деяку фігуру G, обмежену лініями y = f(x), у = 0, х = а та х = b, причому функція f(x) безперервна на відрізку [а; b] і не змінює на ньому свій знак (Рис. 1).Площу криволінійної трапеції можна позначити S(G).
Певний інтеграл а b f(x)dx для функції f(x), що є безперервною і невід'ємною на відрізку [а; b], і є площу відповідної криволінійної трапеції.
Тобто, щоб знайти площу фігури G, обмеженою лініями y = f(x), у = 0, х = а та х = b, необхідно обчислити певний інтеграл ʃ а b f(x)dx.
Таким чином, S(G) = а b f(x)dx.
У разі якщо функція y = f(x) не позитивна на [а; b], то площа криволінійної трапеції може бути знайдена за формулою S(G) = -b b(x)dx.
приклад 1.
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = х3; у = 1; х = 2.
Рішення.
Задані лінії утворюють фігуру АВС, яка показана штрихуванням на Мал. 2.
Шукана площа дорівнює різниці між площами криволінійної трапеції DACE та квадрата DABE.
Використовуючи формулу S = b (x)dx = S(b) – S(a), знайдемо межі інтегрування. Для цього вирішимо систему двох рівнянь:
(у = х 3
(У = 1.
Таким чином, маємо х 1 = 1 – нижню межу та х = 2 – верхню межу.
Отже, S = S DACE - S DABE = 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 / 4 | 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. од.).
Відповідь: 11/4 кв. од.
приклад 2.
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = √х; у = 2; х = 9.
Рішення.
Задані лінії утворюють фігуру АВС, яка обмежена зверху графіком функції
у = √х, а знизу графіком функції у = 2. Отримана фігура показана штрихуванням на Мал. 3.
Площу, що шукається, дорівнює S = ʃ а b (√x – 2). Знайдемо межі інтегрування: b = 9, для знаходження а, розв'яжемо систему двох рівнянь:
(у = √х,
(У = 2.
Таким чином, маємо, що х = 4 = а – це нижня межа.
Отже, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√х| 4 9 - 2х | 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. од.).
Відповідь: S = 2 2/3 кв. од.
приклад 3.
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = х 3 - 4х; у = 0; х ≥ 0.
Рішення.
Побудуємо графік функції у = х 3 – 4х при х ≥ 0. Для цього знайдемо похідну у':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критичні точки.
Якщо зобразити критичні точки на числовій осі і розставити знаки похідної, то отримаємо, що функція зменшується від нуля до 2/3 і зростає від 2/3 до плюс нескінченності. Тоді х = 2/√3 – точка мінімуму, мінімальне значення функції min = -16/(3√3) ≈ -3.
Визначимо точки перетину графіка з осями координат:
якщо х = 0, то у = 0, отже, А(0; 0) – точка перетину з віссю Оу;
якщо у = 0, то х 3 - 4х = 0 або х (х 2 - 4) = 0, або х (х - 2) (х + 2) = 0, звідки х 1 = 0, х 2 = 2, х 3 = -2 (не підходить, тому що х ≥ 0).
Точки А(0; 0) та В(2; 0) – точки перетину графіка з віссю Ох.
Задані лінії утворюють фігуру ОАВ, яка показана штрихуванням на Мал. 4.
Так як функція у = х 3 - 4х приймає на (0; 2) негативне значення, то
S = | 0 2 (x 3 - 4x) dx |.
Маємо: 0 2 (x 3 - 4х) dx = (x 4 / 4 - 4х 2 / 2) | 0 2 = -4, звідки S = 4 кв. од.
Відповідь: S = 4 кв. од.
приклад 4.
Знайти площу фігури, обмеженої параболою у = 2х 2 – 2х + 1, прямими х = 0, у = 0 і щодо до даної параболі в точці з абсцисою х 0 = 2.
Рішення.
Спочатку складемо рівняння дотичної до параболи у = 2х 2 – 2х + 1 у точці з абсцисою х₀ = 2.
Оскільки похідна y' = 4x – 2, то за х 0 = 2 отримаємо k = y'(2) = 6.
Знайдемо ординату точки дотику: у 0 = 2 · 2 2 - 2 · 2 + 1 = 5.
Отже, рівняння дотичної має вигляд: у - 5 = 6 (х - 2) або у = 6х - 7.
Побудуємо фігуру, обмежену лініями:
у = 2х 2 - 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х - 7.
Г у = 2х2 - 2х + 1 - парабола. Крапки перетину з осями координат: А(0; 1) – з віссю Оу; з віссю Ох – немає точок перетину, т.к. рівняння 2х 2 – 2х + 1 = 0 немає рішень (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, тобто вершина параболи точка має координати В(1/2; 1/2).
Отже, фігура, площу якої потрібно визначити, показана штрихуванням на Мал. 5.
Маємо: S О A В D = S OABC - S ADBC.
Знайдемо координати точки D із умови:
6х - 7 = 0, тобто. х = 7/6, отже DC = 2 - 7/6 = 5/6.
Площа трикутника DBC знайдемо за формулою S ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким чином,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. од.
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2х + 1)dx = (2x 3 /3 – 2х 2 /2 + х)| 0 2 = 10/3 (кв. од.).
Остаточно отримаємо: S О A В D = S OABC - S ADBC = 10/3 - 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. од.).
Відповідь: S = 1 1/4 кв. од.
Ми розібрали приклади знаходження площ фігур, обмежених заданими лініями. Для успішного вирішення подібних завдань потрібно вміти будувати на площині лінії та графіки функцій, знаходити точки перетину ліній, застосовувати формулу для знаходження площі, що має на увазі наявність умінь та навичок обчислення певних інтегралів.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
На цьому уроці будемо вчитися обчислювати площі плоских фігурякі називаються криволінійними трапеціями .
Приклади таких фігур – на малюнку нижче.
З одного боку, знайти площу плоскої фігури за допомогою певного інтеграла дуже просто. Йдеться про площу фігури, яку зверху обмежує деяка крива, знизу – вісь абсцис ( Ox), а ліворуч і праворуч - деякі прямі. Простота у тому, що певний інтеграл функції, якій задана крива, і є площа такої фігури(Криволінійної трапеції).
Для обчислення площі фігури нам знадобляться:
- Певний інтеграл від функції, що задає криву яка обмежує криволінійну трапецію зверху. І тут виникає перший суттєвий нюанс: криволінійна трапеція може бути обмежена кривою не тільки зверху, а й знизу . Як діяти у цьому випадку? Просто, але важливо запам'ятати: інтеграл у разі береться зі знаком мінус .
- Межі інтегрування aі b, які знаходимо з рівнянь прямих, що обмежують фігуру ліворуч і праворуч: x = a , x = b, де aі b- Числа.
Окремо ще про деякі нюанси.
Крива, яка обмежує криволінійну трапецію зверху (або знизу) має бути графіком безперервної та невід'ємної функції y = f(x) .
Значення "ікса" повинні належати відрізку [a, b]. Тобто не враховуються такі, наприклад, лінії, як розріз гриба, у якого ніжка цілком вписується в цей відрізок, а капелюшок набагато ширший.
Бічні відрізки можуть вироджуватись у крапки . Якщо ви побачили таку фігуру на кресленні, це не повинно вас бентежити, тому що ця точка завжди має своє значення на осі "іксів". А значить із межами інтегрування все гаразд.
Тепер можна переходити до формул та обчислень. Отже, площа sкриволінійної трапеції може бути обчислена за формулою
Якщо ж f(x) ≤ 0 (графік функції розташований нижче осі Ox), то площа криволінійної трапеціїможе бути обчислена за формулою
Є ще випадки, коли і верхня, і нижня межі фігури – функції, відповідно y = f(x) і y = φ (x) , то площа такої фігури обчислюється за формулою
. (3)
Вирішуємо завдання разом
Почнемо з випадків, коли площа фігури може бути розрахована за формулою (1).
приклад 1.Ox) та прямими x = 1 , x = 3 .
Рішення. Так як y = 1/x> 0 на відрізку , то площу криволінійної трапеції знаходимо за формулою (1):
.
приклад 2.Знайти площу фігури, обмеженої графіком функції x= 1 і віссю абсцис ( Ox ).
Рішення. Результат застосування формули (1):
Якщо то s= 1/2; якщо то s= 1/3 і т.д.
приклад 3.Знайти площу фігури, обмеженої графіком функції , віссю абсцис ( Ox) і прямий x = 4 .
Рішення. Фігура, що відповідає умові завдання - криволінійна трапеція, у якої лівий відрізок виродився у крапку. Межами інтегрування служать 0 і 4. Оскільки за формулою (1) знаходимо площу криволінійної трапеції:
.
приклад 4.Знайти площу фігури, обмеженої лініями , , і що у 1-ї чверті.
Рішення. Щоб скористатися формулою (1), представимо площу фігури, заданої умовами прикладу, у вигляді суми площ трикутника OABта криволінійної трапеції ABC. При обчисленні площі трикутника OABмежами інтегрування є абсциси точок Oі A, а для фігури ABC- абсциси точок Aі C (Aє точкою перетину прямою OAі параболи, а C- точкою перетину параболи з віссю Ox). Вирішуючи спільно (як систему) рівняння прямої та параболи, отримаємо (абсцис точки A) та (абсцису іншої точки перетину прямої та параболи, яка для вирішення не потрібна). Аналогічно отримаємо, (абсциси точок Cі D). Тепер у нас є все для знаходження площі фігури. Знаходимо:
Приклад 5.Знайти площу криволінійної трапеції ACDBякщо рівняння кривої CDта абсциси Aі Bвідповідно 1 та 2.
Рішення. Висловимо дане рівняннякривою через ігрек: Площа криволінійної трапеції знаходимо за формулою (1):
.
Переходимо до випадків, коли площа фігури може бути обчислена за формулою (2).
Приклад 6.Знайти площу фігури, обмеженою параболою та віссю абсцис ( Ox ).
Рішення. Ця фігура розташована нижче осі абсцис. Тож обчислення її площі скористаємося формулою (2). Межами інтегрування є абсциси та точок перетину параболи з віссю Ox. Отже,
Приклад 7.Знайти площу, укладену між віссю абсцис ( Ox) та двома сусідніми хвилями синусоїди.
Рішення. Площу цієї фігури можемо знайти за формулою (2):
.
Знайдемо окремо кожен доданок:
.
.
Остаточно знаходимо площу:
.
Приклад 8.Знайти площу фігури, укладеної між параболою та кривою .
Рішення. Виразимо рівняння ліній через ігрек:
Площу за формулою (2) отримаємо як
,
де aі b- абсциси точок Aі B. Знайдемо їх, вирішуючи спільно рівняння:
Остаточно знаходимо площу:
І, нарешті, випадки, коли площа фігури може бути розрахована за формулою (3).
Приклад 9.Знайти площу фігури, укладеної між параболами 
та .
Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленняТому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, та гіперболу.
Криволінійною трапецією називається плоска фігура, обмежена віссю , прямими , і безперервною графіком на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:
Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст.
З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.
Тобто,певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа певної постаті. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площівідповідної криволінійної трапеції.
Приклад 1
Це типове формулювання завдання. Перший і найважливіший моментрішення - побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.
При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім- параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково.
У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):
На відрізку графік функції розташований над віссютому:
Відповідь:
Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшла, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, зрозуміло, десь допущена помилка - у розглянуту постать 20 клітинок вочевидь не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.
Приклад 3
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.
Рішення: Виконаємо креслення:
Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, Не вищеданої осі), то її площу можна знайти за формулою:
В даному випадку:
Увага! Не слід плутати два типи завдань:
1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.
2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.
На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній напівплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.
Приклад 4
Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .
Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:
Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.
Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.
Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.
Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:
А зараз робоча формула : Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:
Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю чи під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.
У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти
Завершення рішення може мати такий вигляд:
Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:
Відповідь:
Приклад 4
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .
Рішення: Спочатку виконаємо креслення:
Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!
Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів.
Дійсно:
1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;
2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.
Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:
Як обчислити об'єм тіла обертанняза допомогою певного інтегралу?
Подайте деяку плоску фігуру на координатній площині. Її площу ми вже знаходили. Але, крім того, цю фігуру можна ще й крутити, причому крутити двома способами:
Навколо осі абсцис;
Навколо осі ординат .
У цій статті будуть розібрані обидва випадки. Особливо цікавий другий спосіб обертання, він викликає найбільші труднощі, але насправді рішення практично таке саме, як і в більш поширеному обертанні навколо осі абсцис.
Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.
Додаток інтеграла до вирішення прикладних завдань
Обчислення площі
Певний інтеграл безперервної невід'ємної функції f(x) чисельно дорівнюєплощі криволінійної трапеції, обмеженої кривою y = f(x), віссю Ох і прямими х = а і х = b. Відповідно до цього формула площі записується так:
Розглянемо деякі приклади на обчислення площ плоских фігур.
Завдання № 1. Обчислити площу, обмежену лініями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Рішення.Побудуємо фігуру, площу якої ми маємо обчислити.
y = x 2 + 1 – це парабола гілки якої спрямовані вгору, і парабола зміщена щодо осі O y вгору одну одиницю (рисунок 1).
Малюнок 1. Графік функції y = x 2 + 1
Завдання № 2. Обчислити площу, обмежену лініями y = x 2 – 1, y = 0 у межах від 0 до 1.
 |
Рішення.Графіком даної функції є парабола гілки, якої спрямовані вгору, і парабола зміщена щодо осі O y вниз одну одиницю (рисунок 2).
Малюнок 2. Графік функції y = x 2 – 1
Завдання № 3. Зробіть креслення та обчисліть площу фігури, обмеженою лініями
y = 8 + 2x - x 2 і y = 2x - 4.
Рішення.Перша з цих двох ліній – парабола, спрямована гілками вниз, оскільки коефіцієнт при x 2 негативний, а друга лінія – пряма, що перетинає обидві осі координат.
Для побудови параболи знайдемо координати її вершини: y=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцис вершини; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – її ордината, N(1;9) – вершина.
Тепер знайдемо точки перетину параболи та прямий, розв'язавши систему рівнянь:
Прирівнюючи праві частини рівняння, ліві частини яких рівні.
Отримаємо 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 або x 2 - 12 = 0, звідки 
.
Отже, точки – точки перетину параболи та прямий (рисунок 1).
Малюнок 3 Графіки функцій y = 8 + 2x – x 2 та y = 2x – 4
Побудуємо пряму y = 2x - 4. Вона проходить через точки (0; -4), (2; 0) на осях координат.
Для побудови параболи можна ще її точки перетину з віссю 0x, тобто коріння рівняння 8 + 2x – x 2 = 0 або x 2 – 2x – 8 = 0. За теоремою Вієта легко знайти його коріння: x 1 = 2, x 2 = 4.
На малюнку 3 зображено фігуру (параболічний сегмент M 1 N M 2), обмежений даними лініями.
Друга частина завдання полягає у знаходженні площі цієї фігури. Її площу можна знайти за допомогою певного інтегралу за формулою 
.
Стосовно цієї умови отримаємо інтеграл: 
2 Обчислення об'єму тіла обертання
Обсяг тіла, отриманого від обертання кривої y = f(x) навколо осі Ох, обчислюється за формулою:
При обертанні навколо осі О y формула має вигляд:
Завдання №4. Визначити об'єм тіла, отриманого від обертання криволінійної трапеції, обмеженої прямими х = 0 х = 3 та кривою y = навколо осі О х.
Рішення.Побудуємо рисунок (рисунок 4).
Малюнок 4. Графік функції y =
Обсяг, що шукається, дорівнює 
Завдання №5. Обчислити обсяг тіла, отриманого від обертання криволінійної трапеції, обмеженою кривою y = x 2 і прямими y = 0 і y = 4 навколо осі O y .
Рішення.Маємо:
Запитання для повторення