Eksponensial tengsizliklar misollarni yechish usullari. Ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarni yechish

Misolni ko'rib chiqing: tengsizlikni yeching (0,5) (7 - 3*x)< 4.

4 = (0,5) 2 ekanligini unutmang. Keyin tengsizlik (0,5)(7 - 3*x) ko'rinishini oladi.< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Biz olamiz: 7 - 3*x>-2.

Demak: x<3.

Javob: x<3.

Agar tengsizlikdagi asos birdan katta bo'lsa, asosdan qutulishda tengsizlik belgisini o'zgartirishga hojat qolmaydi.

Ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar ko'rsatkichda noma'lum bo'lgan tenglamalardir.

Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish ko'pincha a x = a b tenglamasini echishga to'g'ri keladi, bu erda a > 0, a ≠ 1, x noma'lum. Bu tenglama bitta ildizga ega x = b, chunki quyidagi teorema to'g'ri:

Teorema. Agar a > 0, a ≠ 1 va a x 1 = a x 2 bo'lsa, x 1 = x 2 bo'ladi.

Keling, ko'rib chiqilgan bayonotni asoslab beraylik.

Faraz qilaylik, x 1 = x 2 tengligi bajarilmaydi, ya'ni. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 bo'lsa, u holda ko'rsatkichli funktsiya y = a x ortadi va shuning uchun a x 1 tengsizlikni qondirish kerak.< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Ikkala holatda ham a x 1 = a x 2 shartiga qarama-qarshilik oldik.

Keling, bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

4 ∙ 2 x = 1 tenglamani yeching.

Yechim.

Tenglamani 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 ko'rinishda yozamiz, undan x + 2 = 0 ni olamiz, ya'ni. x = -2.

Javob. x = -2.

2 3x ∙ 3 x = 576 tenglamani yeching.

Yechim.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 bo'lgani uchun tenglamani 8 x ∙ 3 x = 24 2 yoki 24 x = 24 2 shaklida yozish mumkin.

Bu erdan biz x = 2 ni olamiz.

Javob. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 tenglamani yeching.

Yechim.

Chap tarafdagi qavslardan 3 x - 2 umumiy koeffitsientini olib, biz 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 ni olamiz,

buning uchun 3 x - 2 = 1, ya'ni. x – 2 = 0, x = 2.

Javob. x = 2.

3 x = 7 x tenglamani yeching.

Yechim.

7 x ≠ 0 bo'lgani uchun tenglamani 3 x /7 x = 1 shaklida yozish mumkin, bundan (3/7) x = 1, x = 0.

Javob. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 tenglamani yeching.

Yechim.

3 x = a ni almashtirish orqali berilgan tenglama ga tushadi kvadrat tenglama a 2 – 4a – 45 = 0.

Bu tenglamani yechib, uning ildizlarini topamiz: a 1 = 9, va 2 = -5, bundan 3 x = 9, 3 x = -5.

3 x = 9 tenglamaning 2 ildizi bor, 3 x = -5 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki ko'rsatkichli funktsiya manfiy qiymatlarni qabul qila olmaydi.

Javob. x = 2.

Eksponensial tengsizliklarni yechish ko‘pincha a x > a b yoki a x tengsizliklarini yechishga to‘g‘ri keladi.< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Keling, ba'zi muammolarni ko'rib chiqaylik.

3 x tengsizlikni yeching< 81.

Yechim.

Tengsizlikni 3 x ko'rinishda yozamiz< 3 4 . Так как 3 >1, u holda y = 3 x funksiya ortib bormoqda.

Shuning uchun, x uchun< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Shunday qilib, x da< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Javob. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 tengsizlikni yeching.

Yechim.

4 x = t ni belgilaymiz, u holda t2 + t – 2 > 0 kvadrat tengsizlikni olamiz.

Bu tengsizlik t uchun amal qiladi< -2 и при t > 1.

t = 4 x bo'lgani uchun biz ikkita 4 x tengsizlikni olamiz< -2, 4 х > 1.

Birinchi tengsizlikning yechimi yo'q, chunki barcha x € R uchun 4 x > 0.

Ikkinchi tengsizlikni 4 x > 4 0 shaklida yozamiz, bundan x > 0.

Javob. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 tenglamani grafik tarzda yeching.

Yechim.

1) y = (1/3) x va y = x – 2/3 funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.

2) Bizning rasmimizga asoslanib, ko'rib chiqilayotgan funksiyalarning grafiklari x ≈ 1 abscissa bilan nuqtada kesishadi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Tekshirish shuni isbotlaydiki

x = 1 - bu tenglamaning ildizi:

(1/3) 1 = 1/3 va 1 - 2/3 = 1/3.

Boshqacha qilib aytganda, biz tenglamaning ildizlaridan birini topdik.

3) Boshqa ildizlarni topamiz yoki yo'qligini isbotlaymiz. (1/3) x funksiyasi kamaymoqda, y = x – 2/3 funksiyasi esa ortib bormoqda. Shuning uchun, x > 1 uchun birinchi funktsiyaning qiymatlari 1/3 dan kichik, ikkinchisi esa 1/3 dan ortiq; x da< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 va x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Javob. x = 1.

E'tibor bering, bu masalani yechishdan, xususan, (1/3) x > x - 2/3 tengsizlik x uchun qanoatlantiriladi.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Bu darsda biz eng oddiy eksponensial tengsizliklarni yechish texnikasi asosida turli ko‘rsatkichli tengsizliklarni ko‘rib chiqamiz va ularni yechish usullarini o‘rganamiz.

1. Ko‘rsatkichli funksiya ta’rifi va xossalari

Ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifi va asosiy xususiyatlarini eslaylik. Barcha ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarni yechish shu xossalarga asoslanadi.

Eksponensial funktsiya shaklning funksiyasi , bu erda asos daraja va bu erda x mustaqil o'zgaruvchi, argument; y - bog'liq o'zgaruvchi, funktsiya.

Guruch. 1. Ko‘rsatkichli funksiya grafigi

Grafikda o'sish va kamayish ko'rsatkichlari ko'rsatilgan, asosi mos ravishda birdan katta va birdan kichik, lekin noldan katta bo'lgan eksponensial funktsiyani tasvirlaydi.

Ikkala egri chiziq (0;1) nuqtadan o'tadi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning xossalari:

Domen: ;

Qiymatlar diapazoni: ;

Funktsiya monotonik bo'lib, bilan ortadi, bilan kamayadi.

Monotonik funktsiya bitta argument qiymati berilgan holda o'zining har bir qiymatini oladi.

Qachonki, argument minusdan ortiqcha cheksizlikka ko'tarilganda, funktsiya noldan inklyuzivdan ortiqcha cheksizlikka ko'tariladi, ya'ni argumentning berilgan qiymatlari uchun biz monoton ravishda ortib borayotgan funktsiyaga ega bo'lamiz (). Aksincha, argument minusdan plyus cheksizgacha oshganda, funktsiya cheksizlikdan nolga o'z ichiga oladi, ya'ni argumentning berilgan qiymatlari uchun biz monoton ravishda kamayuvchi funktsiyaga ega bo'lamiz ().

2. Eng oddiy darajali tengsizliklar, yechish usuli, misol

Yuqoridagilarga asoslanib, biz oddiy eksponensial tengsizliklarni yechish usulini taqdim etamiz:

Tengsizliklarni yechish texnikasi:

Darajalar asoslarini tenglashtiring;

Tengsizlik belgisini teskarisiga saqlab yoki o'zgartirib, ko'rsatkichlarni solishtiring.

Murakkab ko'rsatkichli tengsizliklarni hal qilish odatda ularni eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarga kamaytirishdan iborat.

Darajaning asosi birdan katta, ya'ni tengsizlik belgisi saqlanib qoladi:

Keling, o'ng tomonni darajaning xususiyatlariga ko'ra aylantiramiz:

Darajaning asosi birdan kichik, tengsizlik belgisi teskari bo'lishi kerak:

Kvadrat tengsizlikni yechish uchun tegishli kvadrat tenglamani yechamiz:

Vieta teoremasidan foydalanib, biz ildizlarni topamiz:

Parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan.

Shunday qilib, biz tengsizlikka yechim topamiz:

O'ng tomonni nol ko'rsatkichli kuch sifatida ko'rsatish mumkinligini taxmin qilish oson:

Darajaning asosi birdan katta, tengsizlik belgisi o'zgarmaydi, biz olamiz:

Keling, bunday tengsizliklarni echish texnikasini eslaylik.

Kasr-ratsional funktsiyani ko'rib chiqing:

Ta'rif sohasini topamiz:

Funktsiyaning ildizlarini topish:

Funktsiya bitta ildizga ega,

Biz doimiy ishorali intervallarni tanlaymiz va har bir oraliqda funktsiyaning belgilarini aniqlaymiz:

Guruch. 2. Belgining doimiylik intervallari

Shunday qilib, biz javob oldik.

Javob:

3. Standart ko‘rsatkichli tengsizliklarni yechish

Ko'rsatkichlari bir xil, ammo asoslari har xil bo'lgan tengsizliklarni ko'rib chiqaylik.

Ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlaridan biri shundaki, argumentning har qanday qiymati uchun u qat'iy musbat qiymatlarni oladi, ya'ni uni eksponensial funktsiyaga bo'lish mumkin. Berilgan tengsizlikni uning o‘ng tomoniga ajratamiz:

Darajaning asosi birdan katta, tengsizlik belgisi saqlanadi.

Keling, yechimni tasvirlab beraylik:

6.3-rasmda funksiyalarning grafiklari va . Shubhasiz, argument noldan katta bo'lsa, funktsiyaning grafigi yuqori bo'ladi, bu funktsiya kattaroq bo'ladi. Argument qiymatlari salbiy bo'lsa, funktsiya pastga tushadi, u kichikroq bo'ladi. Argument teng bo'lsa, funksiyalar teng bo'ladi, demak, bu nuqta ham berilgan tengsizlikning yechimidir.

Guruch. 3. Tasvir, misol uchun 4

Berilgan tengsizlikni daraja xossalariga ko‘ra o‘zgartiramiz:

Mana bir nechta o'xshash atamalar:

Keling, ikkala qismni ham ajratamiz:

Endi biz 4-misolga o'xshash tarzda echishni davom ettiramiz, ikkala qismni quyidagilarga ajratamiz:

Darajaning asosi birdan katta, tengsizlik belgisi qoladi:

4. Ko‘rsatkichli tengsizliklarning grafik yechimi

6-misol – Tengsizlikni grafik usulda yeching:

Keling, chap va o'ng tomonlardagi funktsiyalarni ko'rib chiqamiz va ularning har biri uchun grafik tuzamiz.

Funktsiya eksponensial bo'lib, uning butun ta'rif sohasi bo'ylab, ya'ni argumentning barcha haqiqiy qiymatlari uchun ortadi.

Funktsiya chiziqli bo'lib, butun ta'rif sohasi bo'ylab, ya'ni argumentning barcha haqiqiy qiymatlari uchun kamayadi.

Agar bu funksiyalar kesishsa, ya'ni tizim yechimga ega bo'lsa, unda bunday yechim yagona bo'lib, uni osongina taxmin qilish mumkin. Buning uchun biz butun sonlarni () takrorlaymiz.

Ushbu tizimning ildizi quyidagilardan iborat ekanligini ko'rish oson.

Shunday qilib, funksiyalarning grafiklari bir ga teng argumentga ega bo'lgan nuqtada kesishadi.

Endi biz javob olishimiz kerak. Berilgan tengsizlikning ma'nosi shundaki, ko'rsatkich dan katta yoki teng bo'lishi kerak chiziqli funksiya, ya'ni yuqoriroq bo'lish yoki unga to'g'ri kelishi. Javob aniq: (6.4-rasm)

Guruch. 4. Tasvir, misol uchun 6

Shunday qilib, biz turli xil standart eksponensial tengsizliklarni echishni ko'rib chiqdik. Keyinchalik murakkab ko'rsatkichli tengsizliklarni ko'rib chiqishga o'tamiz.

Adabiyotlar ro'yxati

Mordkovich A. G. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. - M .: Mnemosin. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra va matematik analizning boshlanishi. - M .: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu va boshqalar Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. - M.: Ma'rifat.

Matematika. md. Matematika - takrorlash. com. Diffur. kemsu. ru.

Uy vazifasi

1. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-11 sinflar (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsin) 1990 yil, No 472, 473;

2. Tengsizlikni yeching:

3. Tengsizlikni yeching.