Murakkab funktsiyaning hosilasi formuladan foydalanib hisoblanadi. Murakkab funktsiyani farqlash qoidasi. O'zingiz hal qilish uchun oddiyroq misol

Siz bu erga kelganingizdan beri, ehtimol siz ushbu formulani darslikda ko'rgansiz

va shunday yuz hosil qiling:

Do'stim, tashvishlanmang! Aslida, hamma narsa shunchaki g'alati. Siz, albatta, hamma narsani tushunasiz. Faqat bitta iltimos - maqolani o'qing asta-sekin, har bir qadamni tushunishga harakat qiling. Men iloji boricha sodda va aniq yozdim, lekin siz hali ham fikrni tushunishingiz kerak. Va maqoladagi vazifalarni hal qilishga ishonch hosil qiling.

Murakkab funktsiya nima?

Tasavvur qiling-a, siz boshqa kvartiraga ko'chib o'tmoqdasiz va shuning uchun narsalarni katta qutilarga joylashtirasiz. Aytaylik, siz ba'zi kichik narsalarni, masalan, maktab yozish materiallarini to'plashingiz kerak. Agar siz ularni shunchaki katta qutiga tashlasangiz, ular boshqa narsalar qatorida yo'qoladi. Bunga yo'l qo'ymaslik uchun avval ularni, masalan, sumkaga solib qo'ying, keyin uni qo'ying katta quti, shundan so'ng siz uni muhrlab qo'yasiz. Ushbu "murakkab" jarayon quyidagi diagrammada keltirilgan:

Ko'rinib turibdiki, matematikaning bunga qanday aloqasi bor? Ha, murakkab funktsiya AYNAN SHUNDAY tarzda tuzilganiga qaramay! Faqat biz daftar va ruchkalarni emas, balki \(x\) “to'playmiz”, “paketlar” va “qutilar” esa boshqacha.

Misol uchun, keling, x ni olaylik va uni funktsiyaga "to'playmiz":

Natijada, biz, albatta, \(\cos⁡x\) olamiz. Bu bizning "narsalar sumkamiz". Endi uni "qutiga" joylashtiramiz - masalan, kub funksiyasiga to'plang.

Oxiri nima bo'ladi? Ha, to'g'ri, "qutidagi narsalar sumkasi", ya'ni "X kubik kosinasi" bo'ladi.

Olingan dizayn murakkab funktsiyadir. Bu oddiy narsadan farq qiladi Bir X ga bir nechta "ta'sir" (paketlar) qo'llaniladi va bu "funktsiyadan funktsiya" - "qadoqdagi qadoqlash" bo'lib chiqadi.

Maktab kursida bunday "paketlarning" juda kam turlari mavjud, faqat to'rttasi:

Keling, X-ni avval asosi 7 bo'lgan eksponensial funktsiyaga, keyin esa trigonometrik funktsiyaga "to'playmiz". Biz olamiz:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Keling, X-ni ikki marta "to'playmiz" trigonometrik funktsiyalar, avval , keyin esa:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Oddiy, to'g'rimi?

Endi funksiyalarni o'zingiz yozing, bu erda x:
- avval u kosinusga, so'ngra \(3\) asosli eksponensial funktsiyaga "to'planadi";
- birinchi navbatda beshinchi darajaga, keyin esa teginishga;
- logarifmdan avval asosga \(4\) , keyin kuchga \(-2\).

Maqolaning oxirida ushbu vazifaga javoblarni toping.

X-ni ikki emas, uch marta “qadoqlash” mumkinmi? Hammasi joyida! Va to'rt, besh va yigirma besh marta. Bu erda, masalan, x \(4\) marta "qadoqlangan" funksiya:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ammo maktab amaliyotida bunday formulalar topilmaydi (o'quvchilar baxtliroq - ularniki murakkabroq bo'lishi mumkin☺).

Murakkab funktsiyani "ochish"

Oldingi funktsiyaga yana qarang. "Qadoqlash" ketma-ketligini aniqlay olasizmi? Avval nima X to'ldirilgan edi, keyin nima va oxirigacha. Ya'ni, qaysi funktsiya qaysi ichida joylashgan? Bir varaq qog'oz oling va nima deb o'ylaysiz, yozing. Buni yuqorida yozganimizdek yoki boshqa yo'l bilan o'qlar bilan zanjir bilan qilishingiz mumkin.

Endi to'g'ri javob: birinchi navbatda, x \(4\) darajaga "qadoqlangan", keyin natija sinusga o'ralgan, u o'z navbatida logarifmaga \(2\) asosga joylashtirilgan. , va oxir-oqibat, bu butun qurilish kuch beshga to'ldirilgan edi.

Ya'ni, siz ketma-ketlikni teskari TARTIBDA yechishingiz kerak. Va buni qanday qilib osonroq qilish haqida maslahat: darhol X ga qarang - siz undan raqsga tushishingiz kerak. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Masalan, bu erda quyidagi funksiya mavjud: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Biz X ga qaraymiz - birinchi navbatda u bilan nima sodir bo'ladi? Undan olingan. Undan keyin? Natijaning tangensi olinadi. Bu ketma-ketlik bir xil bo'ladi:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Yana bir misol: \(y=\cos⁡((x^3))\). Keling, tahlil qilaylik - avval biz X ni kub qildik, so'ngra natijaning kosinusini oldik. Bu ketma-ketlik quyidagicha bo'lishini anglatadi: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). E'tibor bering, funktsiya birinchisiga o'xshaydi (u erda rasmlar mavjud). Ammo bu butunlay boshqacha funktsiya: bu erda kubda x (ya'ni, \(\cos⁡((x·x·x)))\), kubda esa kosinus \(x\) ( ya'ni \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu farq turli xil "qadoqlash" ketma-ketliklaridan kelib chiqadi.

Oxirgi misol (bilan muhim ma'lumotlar unda): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Ko'rinib turibdiki, bu erda ular dastlab x bilan arifmetik amallar bajargan, keyin natijaning sinusini olgan: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Va bu muhim nuqta: arifmetik amallar o'z-o'zidan funksiya emasligiga qaramay, bu erda ular "qadoqlash" usuli sifatida ham ishlaydi. Keling, ushbu noziklikni biroz chuqurroq o'rganaylik.

Yuqorida aytib o'tganimdek, oddiy funktsiyalarda x bir marta, murakkab funktsiyalarda esa ikki yoki undan ko'p "qadoqlangan". Bundan tashqari, oddiy funktsiyalarning har qanday birikmasi (ya'ni, ularning yig'indisi, ayirmasi, ko'paytirish yoki bo'linishi) ham oddiy funktsiyadir. Masalan, \(x^7\) oddiy funksiya va \(ctg x\) ham shunday. Bu ularning barcha kombinatsiyalari oddiy funktsiyalar ekanligini anglatadi:

\(x^7+ ctg x\) - oddiy,
\(x^7· karyola x\) - oddiy,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – oddiy va h.k.

Biroq, agar bunday kombinatsiyaga yana bitta funktsiya qo'llanilsa, u murakkab funktsiyaga aylanadi, chunki ikkita "paket" bo'ladi. Diagrammaga qarang:

Mayli, hozir davom et. "O'rash" funktsiyalari ketma-ketligini yozing:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Javoblar yana maqolaning oxirida.

Ichki va tashqi funktsiyalar

Nima uchun biz funktsiyani joylashtirishni tushunishimiz kerak? Bu bizga nima beradi? Gap shundaki, bunday tahlilsiz biz yuqorida muhokama qilingan funktsiyalarning hosilalarini ishonchli topa olmaymiz.

Va davom etish uchun bizga yana ikkita tushuncha kerak bo'ladi: ichki va tashqi funktsiyalar. Bu juda oddiy narsa, bundan tashqari, aslida biz ularni yuqorida tahlil qildik: agar biz boshida o'xshatishimizni eslasak, ichki funktsiya "paket", tashqi funktsiya esa "quti" dir. Bular. X birinchi "o'ralgan" narsa ichki funktsiyadir va ichki funktsiya "o'ralgan" narsa allaqachon tashqidir. Xo'sh, nima uchun aniq - u tashqarida, bu tashqi degan ma'noni anglatadi.

Bu misolda: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) funksiyasi ichki va
- tashqi.

Va bunda: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ichki va
- tashqi.

Murakkab funktsiyalarni tahlil qilishning so'nggi amaliyotini yakunlang va nihoyat biz boshlagan narsaga o'tamiz - biz murakkab funktsiyalarning hosilalarini topamiz:

Jadvaldagi bo'sh joylarni to'ldiring:

Murakkab funktsiyaning hosilasi

Bravo, biz nihoyat ushbu mavzuning "xo'jayini" ga etib keldik - aslida hosila murakkab funktsiya, va xususan, maqola boshidan o'sha dahshatli formulaga.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ushbu formula quyidagicha o'qiydi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi tashqi funktsiyaning doimiy ichki funktsiyaga nisbatan hosilasi va ichki funktsiya hosilasiga teng.

Va nima ekanligini tushunish uchun darhol "so'zma-so'z" tahlil diagrammasiga qarang:

Umid qilamanki, "hosil" va "mahsulot" atamalari hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. "Murakkab funktsiya" - biz uni allaqachon saralab oldik. "hosildagi" tutqich tashqi funktsiya o'zgarmagan ichki holatga ko'ra." Bu nima?

Javob: Bu tashqi funktsiyaning odatiy hosilasi bo'lib, unda faqat tashqi funktsiya o'zgaradi va ichki funktsiya bir xil bo'lib qoladi. Hali ham aniq emasmi? Mayli, keling, misol keltiraylik.

Bizga \(y=\sin⁡(x^3)\) funksiyasi bo'lsin. Bu erda ichki funktsiya \(x^3\) va tashqi ekanligi aniq
. Keling, doimiy ichki qismga nisbatan tashqi ko'rinish hosilasini topamiz.

Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasi yordamida hosilalarni hisoblashga misollar keltirilgan.

Tarkib

Shuningdek qarang: Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasini isbotlash

Asosiy formulalar

Bu erda biz hosilalarni hisoblash misollarini keltiramiz quyidagi funktsiyalar:
; ; ; ; .

Agar funktsiyani kompleks funksiya sifatida ifodalash mumkin bo'lsa quyidagi shakl:
,
u holda uning hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
Quyidagi misollarda biz ushbu formulani quyidagicha yozamiz:
.
Qayerda.
Bu yerda hosila belgisi ostida joylashgan yoki pastki belgisi farqlash amalga oshiriladigan o'zgaruvchilarni bildiradi.

Odatda, hosilalar jadvallarida x o'zgaruvchidan funksiyalarning hosilalari beriladi. Biroq, x rasmiy parametrdir. X o'zgaruvchisi istalgan boshqa o'zgaruvchi bilan almashtirilishi mumkin. Shuning uchun funktsiyani o'zgaruvchidan farqlashda biz hosilalar jadvalidagi x o'zgaruvchisini shunchaki u o'zgaruvchiga o'zgartiramiz.

Oddiy misollar

1-misol

Murakkab funksiyaning hosilasini toping
.

Keling, yozamiz berilgan funksiya ekvivalent shaklda:
.
Sanoat jadvalida biz quyidagilarni topamiz:
;
.

Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasiga ko'ra, bizda:
.
Bu yerga .

2-misol

Hosilini toping
.

Biz doimiy 5 ni hosila belgisidan olamiz va hosilalar jadvalidan topamiz:
.

.
Bu yerga .

3-misol

Hosilini toping
.

Biz doimiyni chiqaramiz -1 hosila belgisi uchun va hosilalar jadvalidan topamiz:
;
Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
.

Murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz:
.
Bu yerga .

Keyinchalik murakkab misollar

Murakkabroq misollarda biz murakkab funktsiyani farqlash qoidasini bir necha marta qo'llaymiz. Bunday holda biz lotinni oxiridan hisoblaymiz. Ya'ni, funksiyani uning tarkibiy qismlariga ajratamiz va undan foydalanib, eng oddiy qismlarning hosilalarini topamiz hosilalar jadvali. Biz ham foydalanamiz summalarni farqlash qoidalari, mahsulotlar va fraksiyalar. Keyin almashtirishlarni amalga oshiramiz va murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.

4-misol

Hosilini toping
.

Formulaning eng oddiy qismini tanlaymiz va uning hosilasini topamiz. .

.
Bu erda biz belgidan foydalandik
.

Olingan natijalardan foydalanib, asl funktsiyaning keyingi qismining hosilasini topamiz. Yig'indini farqlash qoidasini qo'llaymiz:
.

Yana bir bor murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.

.
Bu yerga .

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping
.

Formulaning eng oddiy qismini tanlaymiz va hosilalar jadvalidan hosilasini topamiz. .

Biz murakkab funksiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.
.
Bu yerga
.

Keling, farq qilaylik keyingi qism, olingan natijalarni qo'llash.
.
Bu yerga
.

Keling, keyingi qismni farqlaylik.

.
Bu yerga
.

Endi biz kerakli funksiyaning hosilasini topamiz.

.
Bu yerga
.

Shuningdek qarang:

Eslash juda oson.

Xo'sh, uzoqqa bormaylik, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqaylik. Qaysi funksiya ko‘rsatkichli funktsiyaga teskari funksiya hisoblanadi? Logarifm:

Bizning holatda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Bu nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

Funktsiyaning hosilasini toping.
Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Eksponensial va natural logarifm hosila nuqtai nazaridan juda oddiy funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Nima qoidalari? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Ana xolos. Bu jarayonni bir so'z bilan yana nima deb atash mumkin? Hosil emas... Matematiklar differensialni funksiyaning bir xil o'sish qismi deb atashadi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Bizga ularning o'sishi uchun formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - ba'zi doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Bo'lsin, yoki oddiyroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

bir nuqtada;
bir nuqtada;
bir nuqtada;
nuqtada.

Yechimlar:

(hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki bu chiziqli funksiya, esingizdami?);

Mahsulotning hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: keling, yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

va funksiyalarining hosilalarini toping;
Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichlarni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (bu nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, qandaydir raqam qaerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga keltirishga harakat qilaylik:

Buning uchun biz foydalanamiz oddiy qoida: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: u xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu shunchaki hisoblagichsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni boshqa yozib bo'lmaydi. oddiy shaklda. Shuning uchun biz uni javobda ushbu shaklda qoldiramiz.

E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz mos keladigan farqlash qoidasini qo'llaymiz:

Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Bu erda ham xuddi shunday: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, boshqa asosli ixtiyoriy logarifmni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga qisqartirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat hozir uning o'rniga yozamiz:

Maxraj oddiygina doimiy (o‘zgarmas son, o‘zgaruvchisiz). lotin juda oddiy olinadi:

Ko'rsatkichlarning hosilalari va logarifmik funktsiyalar Yagona davlat imtihonida deyarli ko'rinmaydi, lekin ularni bilish zarar qilmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, arktangent emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz logarifmni qiyin deb bilsangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va siz yaxshi bo'lasiz), lekin matematik nuqtai nazardan, "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Natijada kompozitsion ob'ekt paydo bo'ladi: shokolad bari o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini eyish uchun teskari bosqichlarni teskari tartibda bajarish kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda biz sonning kosinusini topamiz, so'ngra olingan sonning kvadratini olamiz. Shunday qilib, bizga raqam (shokolad) beriladi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (uni lenta bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni to'g'ridan-to'g'ri o'zgaruvchi bilan, so'ngra ikkinchi amalni birinchisidan kelib chiqqan holda bajaramiz.

Boshqa so'z bilan, murakkab funksiya - bu argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funktsiya: .

Bizning misolimiz uchun, .

Xuddi shu amallarni teskari tartibda bemalol bajarishimiz mumkin: avval siz uni kvadratga aylantirasiz, keyin esa hosil bo'lgan sonning kosinusini qidiraman: . Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Muhim xususiyat murakkab funktsiyalar: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Oxirgi qilgan amalimiz chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchilarni o'zgartirishga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

Biz birinchi navbatda qanday harakat qilamiz? Birinchidan, sinusni hisoblab chiqamiz va shundan keyingina uni kubga aylantiramiz. Bu shuni anglatadiki, bu ichki funktsiya, lekin tashqi funktsiyadir.
Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: .
Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: .
Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: .
Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: .

Biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokolad barimizni ajratib olamiz va hosilani qidiramiz. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Ilova qilingan asl misol bu shunday ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozircha uni kesishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqmaydi, esingizdami?)

3) Ichki: ;

Tashqi: ;

Bu uch darajali murakkab funktsiya ekanligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiyadir va biz undan ildizni ham chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'rashga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: biz hali ham bu funktsiyani odatdagidek tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifoda qiymatini hisoblash uchun qanday tartibda amallarni bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi avvalgisiga o'xshaydi:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Funktsiyaning hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

Yig'indining hosilasi:

Mahsulot hosilasi:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Matematikada fizik masalalar yoki misollarni yechish hosila va uni hisoblash usullarini bilmasdan turib mutlaqo mumkin emas. Hosila matematik tahlildagi eng muhim tushunchalardan biridir. Bu asosiy mavzu bugungi maqolamizni bag'ishlashga qaror qildik. hosila nima, uning jismoniy va nima geometrik ma'no funktsiyaning hosilasini qanday hisoblash mumkin? Bu savollarning barchasini bittaga birlashtirish mumkin: lotinni qanday tushunish kerak?

Hosilning geometrik va fizik ma'nosi

Funktsiya bo'lsin f(x) , ma'lum bir oraliqda ko'rsatilgan (a, b) . X va x0 nuqtalari shu intervalga tegishli. X o'zgarganda, funktsiyaning o'zi o'zgaradi. Argumentni o'zgartirish - uning qiymatlaridagi farq x-x0 . Bu farq quyidagicha yoziladi delta x va argument ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'zgarishi yoki ortishi - bu funktsiyaning ikki nuqtadagi qiymatlari orasidagi farq. lotin ta'rifi:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu funksiyaning ma'lum nuqtadagi o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, ikkinchisi nolga intiladi.

Aks holda shunday yozilishi mumkin:

Bunday chegarani topishning nima keragi bor? Va bu nima:

nuqtadagi funktsiyaning hosilasi OX o'qi orasidagi burchak tangensiga va berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginishga teng.

Jismoniy ma'no hosila: yo'lning vaqtga nisbatan hosilasi to'g'ri chiziqli harakat tezligiga teng.

Darhaqiqat, maktab davridan beri hamma tezlikni o'ziga xos yo'l ekanligini biladi x=f(t) va vaqt t . o'rtacha tezlik ma'lum bir vaqt uchun:

Bir vaqtning o'zida harakat tezligini aniqlash t0 limitni hisoblashingiz kerak:

Birinchi qoida: doimiyni o'rnating

Konstantani hosila belgisidan chiqarish mumkin. Bundan tashqari, buni qilish kerak. Matematikadan misollarni yechayotganda, uni qoida sifatida qabul qiling - Agar siz ifodani soddalashtira olsangiz, uni soddalashtirishga ishonch hosil qiling .

Misol. Keling, hosilani hisoblaylik:

Ikkinchi qoida: funksiyalar yig'indisining hosilasi

Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga teng. Xuddi shu narsa funksiyalar farqining hosilasi uchun ham amal qiladi.

Biz bu teoremaning isbotini keltirmaymiz, balki amaliy misolni ko'rib chiqamiz.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Uchinchi qoida: funksiyalar mahsulotining hosilasi

Ikki differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Misol: funktsiyaning hosilasini toping:

Yechim:

Bu yerda murakkab funksiyalarning hosilalarini hisoblash haqida gapirish muhim. Murakkab funktsiyaning hosilasi bu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasi va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasi ko'paytmasiga teng.

Yuqoridagi misolda biz quyidagi iboraga duch kelamiz:

Bunday holda, oraliq argument beshinchi darajaga 8x. Bunday ifodaning hosilasini hisoblash uchun birinchi navbatda tashqi funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini hisoblab chiqamiz, so'ngra mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiramiz.

To'rtinchi qoida: ikkita funktsiya bo'limining hosilasi

Ikki funktsiya bo'limining hosilasini aniqlash formulasi:

Biz noldan dummies uchun derivativlar haqida gapirishga harakat qildik. Bu mavzu ko'rinadigan darajada oddiy emas, shuning uchun ogohlantiring: misollarda ko'pincha tuzoqlar mavjud, shuning uchun lotinlarni hisoblashda ehtiyot bo'ling.

Ushbu va boshqa mavzular bo'yicha har qanday savollar bilan siz talabalar xizmatiga murojaat qilishingiz mumkin. Qisqa vaqt ichida biz sizga eng qiyin testni hal qilishda va vazifalarni tushunishda yordam beramiz, hatto siz ilgari hech qachon lotin hisob-kitoblarini qilmagan bo'lsangiz ham.

Dastlabki artilleriya tayyorgarligidan so'ng, 3-4-5 funktsiyalarni o'rnatish misollari kamroq qo'rqinchli bo'ladi. Ehtimol, quyidagi ikkita misol ba'zilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin, lekin agar siz ularni tushunsangiz (kimdir azoblanadi), unda qolgan deyarli hamma narsa differensial hisob Bu bolaning haziliga o'xshaydi.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Yuqorida aytib o'tilganidek, murakkab funktsiyaning hosilasini topishda, birinchi navbatda, kerak To'g'ri Investitsiyalaringizni TUSHUNING. Shubhalar mavjud bo'lsa, men sizga foydali texnikani eslataman: biz, masalan, "x" ning eksperimental qiymatini olamiz va bu qiymatni "dahshatli ifoda" ga almashtirishga harakat qilamiz (aqliy yoki qoralama).

1) Avval biz ifodani hisoblashimiz kerak, ya'ni yig'indi eng chuqur joylashuvdir.

2) Keyin logarifmni hisoblashingiz kerak:

4) Keyin kosinusni kubga aylantiring:

5) Beshinchi bosqichda farq:

6) Va nihoyat, eng tashqi funktsiya kvadrat ildizdir:

Murakkab funktsiyani farqlash formulasi teskari tartibda, eng tashqi funktsiyadan eng ichkigacha qo'llaniladi. Biz qaror qilamiz:

Bu xatosiz ko'rinadi:

1) Kvadrat ildizning hosilasini oling.

2) Qoida yordamida ayirma hosilasini oling

3) Uchlik hosilasi nolga teng. Ikkinchi muddatda biz darajaning hosilasini olamiz (kub).

4) Kosinusning hosilasini oling.

6) Va nihoyat, biz eng chuqur joylashtirishning hosilasini olamiz.

Bu juda qiyin tuyulishi mumkin, ammo bu eng shafqatsiz misol emas. Misol uchun, Kuznetsovning kollektsiyasini oling va tahlil qilingan lotinning barcha go'zalligi va soddaligini qadrlaysiz. Men shuni payqadimki, ular talaba murakkab funktsiyaning hosilasini qanday topishni tushunadimi yoki tushunmaydimi yoki yo'qligini tekshirish uchun imtihonda shunga o'xshash narsani berishni yaxshi ko'radilar.

Quyidagi misol siz o'zingiz hal qilishingiz mumkin.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Maslahat: Avval chiziqlilik qoidalari va mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Kichikroq va chiroyliroq narsaga o'tish vaqti keldi.
Misol uchun ikkita emas, balki uchta funktsiyaning mahsulotini ko'rsatish odatiy hol emas. Uch omil mahsulotining hosilasi qanday topiladi?

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Avval qaraymiz, uchta funktsiyaning mahsulotini ikkita funktsiyaning mahsulotiga aylantirish mumkinmi? Misol uchun, agar mahsulotda ikkita polinom bo'lsa, biz qavslarni ochishimiz mumkin. Ammo ko'rib chiqilayotgan misolda barcha funktsiyalar boshqacha: daraja, ko'rsatkich va logarifm.

Bunday hollarda kerak ketma-ket mahsulotni farqlash qoidasini qo'llang ikki marta

Ayyorlik shundan iboratki, "y" bilan biz ikkita funktsiyaning mahsulotini belgilaymiz: va "ve" bilan logarifmni belgilaymiz: . Nima uchun buni qilish mumkin? Buni iloji bormi - bu ikki omilning mahsuli emas va qoida ishlamaydi?! Hech qanday murakkab narsa yo'q:

Endi qoidani ikkinchi marta qo'llash qoladi qavsga:

Siz ham buralib, qavs ichidan biror narsani qo'yishingiz mumkin, ammo bu holda javobni aynan shu shaklda qoldirgan ma'qul - tekshirish osonroq bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan misolni ikkinchi usulda hal qilish mumkin:

Ikkala yechim ham mutlaqo ekvivalentdir.

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu birinchi usul yordamida hal qilingan namunadagi mustaqil yechim uchun misol;

Keling, kasrlar bilan o'xshash misollarni ko'rib chiqaylik.

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu yerga bir necha usul bilan borishingiz mumkin:

Yoki shunday:

Lekin birinchi navbatda qismni differentsiallash qoidasidan foydalansak, yechim yanada ixchamroq yoziladi , butun hisoblagich uchun:

Asos sifatida, misol hal qilinadi va agar u shunday qoldirilsa, bu xato bo'lmaydi. Ammo vaqtingiz bo'lsa, javobni soddalashtirish mumkinmi yoki yo'qligini bilish uchun har doim qoralamani tekshirish tavsiya etiladi?

Numeratorning ifodasini qisqartiramiz umumiy maxraj va uch qavatli fraksiyadan xalos bo'ling:

Qo'shimcha soddalashtirishlarning kamchiligi shundaki, hosilani topishda emas, balki maktabdagi oddiy o'zgarishlar paytida xato qilish xavfi mavjud. Boshqa tomondan, o'qituvchilar ko'pincha topshiriqni rad etadilar va lotinni "yodiga keltirishni" so'rashadi.

O'zingiz hal qilish uchun oddiyroq misol:

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz hosilani topish usullarini o'zlashtirishni davom ettirmoqdamiz va endi farqlash uchun "dahshatli" logarifm taklif qilingan odatiy holatni ko'rib chiqamiz.