Tekislikdagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash formulasi

Agar Ax + By + C = 0 chiziq tenglamasi berilgan bo'lsa, M(M x , M y) nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani quyidagi formula yordamida topish mumkin.

Tekislikdagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash masalalariga misollar

1-misol.

3x + 4y - 6 = 0 chiziq bilan M(-1, 3) nuqta orasidagi masofani toping.

Yechim. Chiziq koeffitsientlari va nuqta koordinatalarini formulaga almashtiramiz

Javob: nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa 0,6 ga teng.

vektorga perpendikulyar nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasi.Teklikning umumiy tenglamasi

Berilgan tekislikka perpendikulyar nolga teng bo'lmagan vektor deyiladi normal vektor (yoki qisqasi, normal ) bu samolyot uchun.

Koordinatali fazoda bo'lsin (in to'rtburchaklar tizimi koordinatalari) berilgan:

a) nuqta ;

b) nolga teng bo'lmagan vektor (4.8-rasm, a).

Nuqtadan o'tadigan tekislik uchun tenglamani yaratishingiz kerak vektorga perpendikulyar Dalilning oxiri.

Keling, endi ko'rib chiqaylik Har xil turlar tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamalari.

1) Tekislikning umumiy tenglamasiP .

Tenglamaning kelib chiqishidan shu narsa kelib chiqadiki, bir vaqtning o'zida A, B Va C 0 ga teng emas (sababini tushuntiring).

Nuqta samolyotga tegishli P faqat uning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantirsagina. Imkoniyatlarga qarab A, B, C Va D samolyot P u yoki bu pozitsiyani egallaydi:

- tekislik koordinatalar sistemasining boshi orqali o'tadi, - tekislik koordinatalar sistemasining boshi orqali o'tmaydi;

- o'qga parallel tekislik X,

X,

- o'qga parallel tekislik Y,

- tekislik o'qga parallel emas Y,

- o'qga parallel tekislik Z,

- tekislik o'qga parallel emas Z.

Bu gaplarni o'zingiz isbotlang.

(6) tenglama (5) tenglamadan osonlik bilan olinadi. Haqiqatan ham, nuqta samolyotda bo'lsin P. Keyin uning koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi (7) tenglamani (5) tenglamadan ayirib, hadlarni guruhlab, (6) tenglamani olamiz. Keling, mos ravishda koordinatali ikkita vektorni ko'rib chiqaylik. (6) formuladan ularning skalyar mahsuloti nolga teng ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun vektor vektorga perpendikulyar Oxirgi vektorning boshi va oxiri mos ravishda tekislikka tegishli nuqtalarda joylashgan P. Shuning uchun vektor tekislikka perpendikulyar P. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa P, umumiy tenglama qaysi formula bilan aniqlanadi Ushbu formulaning isboti nuqta va chiziq orasidagi masofa formulasining isbotiga butunlay o'xshaydi (2-rasmga qarang).
Guruch. 2. Tekislik va to‘g‘ri chiziq orasidagi masofa formulasini chiqarish.

Darhaqiqat, masofa d to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi teng

samolyotda yotgan nuqta qayerda. Bu yerdan 11-ma'ruzadagi kabi yuqoridagi formula olinadi. Ikki tekislik parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa. Bu yerdan biz ikkita tekislikning parallellik shartini olamiz - tekisliklarning umumiy tenglamalari koeffitsientlari. Ikki tekislik, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa, perpendikulyar bo'ladi, demak, agar ularning umumiy tenglamalari ma'lum bo'lsa, ikkita tekislikning perpendikulyarligi shartini olamiz.

Burchak f ikki tekislik orasidagi ularning normal vektorlari orasidagi burchakka teng (3-rasmga qarang) va shuning uchun formuladan foydalanib hisoblash mumkin.
Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlash.

(11)

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa va uni topish usullari

Nuqtadan masofa samolyot– nuqtadan shu tekislikka tushgan perpendikulyar uzunligi. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning kamida ikkita usuli mavjud: geometrik Va algebraik.

Geometrik usul bilan Avval nuqtadan tekislikka perpendikulyar qanday joylashganligini tushunishingiz kerak: ehtimol u qandaydir qulay tekislikda yotadi, ba'zi qulay (yoki unchalik qulay bo'lmagan) uchburchakdagi balandlikdir yoki bu perpendikulyar odatda qandaydir piramidadagi balandlikdir.

Ushbu birinchi va eng murakkab bosqichdan so'ng, muammo bir nechta aniq planimetrik muammolarga bo'linadi (ehtimol, turli tekisliklarda).

Algebraik usul bilan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topish uchun koordinatalar tizimiga kirish, nuqtaning koordinatalarini va tekislik tenglamasini topish, so'ngra nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa formulasini qo'llash kerak.

Sankt-Peterburg davlat dengiz texnika universiteti

Kompyuter grafikasi va axborot ta'minoti bo'limi

3-DARS

3-son AMALIY TOPSHIRIQ

Nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlash.

Nuqta va to‘g‘ri chiziq orasidagi masofani quyidagi konstruksiyalarni bajarish orqali aniqlashingiz mumkin (1-rasmga qarang):

· nuqtadan BILAN to'g'ri chiziqqa perpendikulyar tushiring A;

· nuqtani belgilang TO perpendikulyarning to'g'ri chiziq bilan kesishishi;

segment uzunligini o'lchang KS, uning boshlanishi berilgan nuqta, oxiri esa belgilangan kesishish nuqtasidir.

1-rasm. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Bunday turdagi muammolarni hal qilish uchun asos proyeksiya qoidasidir to'g'ri burchak: to'g'ri burchak, agar uning kamida bitta tomoni proyeksiya tekisligiga parallel bo'lsa, buzilishsiz proyeksiya qilinadi(ya'ni shaxsiy lavozimni egallaydi). Keling, aynan shunday holatdan boshlaylik va nuqtadan masofani aniqlash uchun konstruktsiyalarni ko'rib chiqamiz BILAN to'g'ri chiziq segmentiga AB.

Ushbu topshiriqda test misollari mavjud emas va individual topshiriqlarni bajarish variantlari keltirilgan 1-jadval va 2-jadval. Muammoning yechimi quyida tasvirlangan va mos keladigan konstruktsiyalar 2-rasmda ko'rsatilgan.

1. Nuqtadan ma'lum bir chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlash.

Birinchidan, nuqta va segmentning proyeksiyalari tuziladi. Proyeksiya A1B1 o'qiga parallel X. Bu segment degan ma'noni anglatadi AB tekislikka parallel P2. Agar nuqtadan BILAN ga perpendikulyar chizish AB, keyin to'g'ri burchak tekislikka buzilmasdan proyeksiya qilinadi P2. Bu nuqtadan perpendikulyar chizish imkonini beradi C2 proyeksiyaga A2B2.

Ochiladigan menyu Chizma-segment (Chizish- Chiziq) . Kursorni nuqtaga qo'ying C2 va uni segmentning birinchi nuqtasi sifatida tuzating. Kursorni segmentga normal yo'nalishda olib boring A2B2 va maslahat paydo bo'lgan paytda ikkinchi nuqtani o'rnating Oddiy (Perpendikulyar) . Tuzilgan nuqtani belgilang K2. Tartibni yoqish ORTO(ORTHO) , va nuqtadan K2 proyeksiya bilan kesishguncha vertikal ulanish chizig'ini chizish A1 B1. Kesishish nuqtasini belgilang K1. Nuqta TO, segmentda yotgan AB, nuqtadan chizilgan perpendikulyarning kesishish nuqtasi BILAN, segment bilan AB. Shunday qilib, segment KS nuqtadan chiziqgacha bo'lgan talab qilinadigan masofa.

Qurilishlardan ko'rinib turibdiki, segment KS umumiy pozitsiyani egallaydi va shuning uchun uning proektsiyalari buziladi. Masofa haqida gapirganda, biz doimo nazarda tutamiz segmentning haqiqiy qiymati, masofani ifodalash. Shuning uchun biz segmentning haqiqiy qiymatini topishimiz kerak KS, uni ma'lum bir joyga aylantirish orqali, masalan, KS|| P1. Qurilishlarning natijasi 2-rasmda ko'rsatilgan.

2-rasmda ko'rsatilgan konstruktsiyalardan xulosa qilishimiz mumkin: chiziqning o'ziga xos pozitsiyasi (segment parallel. P1 yoki P2) nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofaning proyeksiyalarini tezda qurish imkonini beradi, lekin ular buziladi.

2-rasm. Nuqtadan ma'lum bir chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlash.

2. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlash umumiy pozitsiya.

Segment har doim ham boshlang'ich holatda ma'lum bir pozitsiyani egallamaydi. Umumiy boshlang'ich pozitsiyasi bilan nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun quyidagi konstruktsiyalar bajariladi:

a) chizmani o'zgartirish usulidan foydalanib, segmentni umumiy holatdan ma'lum biriga aylantiring - bu masofa proektsiyalarini (buzilgan) yaratishga imkon beradi;

b) yana usuldan foydalanib, kerakli masofaga mos keladigan segmentni ma'lum bir pozitsiyaga aylantiring - biz masofaning haqiqiyga teng bo'lgan kattalikdagi proektsiyasini olamiz.

Bir nuqtadan masofani aniqlash uchun konstruktsiyalar ketma-ketligini ko'rib chiqing A umumiy holatdagi segmentga Quyosh(3-rasm).

Birinchi aylanishda segmentning muayyan pozitsiyasini olish kerak INC. Buni qatlamda qilish uchun TMR nuqtalarni ulash kerak AT 2, C2 Va A2. Buyruqdan foydalanish O'zgartirish-aylantirish (O'zgartirish – Aylantirish) uchburchak V2S2A2 nuqta atrofida aylantiring C2 yangi proyeksiya joylashgan joyga B2*C2 qat'iy gorizontal holatda joylashgan bo'ladi (nuqta BILAN harakatsiz va shuning uchun uning yangi proyeksiyasi asl va belgiga to'g'ri keladi C2* Va C1* chizmada ko'rsatilmasligi mumkin). Natijada segmentning yangi prognozlari olinadi B2*C2 va nuqtalar: A2*. Nuqtalardan keyingi A2* Va AT 2* vertikal bo'lganlar amalga oshiriladi va nuqtalardan IN 1 Va A1 gorizontal aloqa liniyalari. Tegishli chiziqlarning kesishishi yangi gorizontal proyeksiya nuqtalarining o'rnini aniqlaydi: segment B1*C1 va nuqtalar A1*.

Olingan aniq pozitsiyada biz buning uchun masofa proyeksiyalarini qurishimiz mumkin: nuqtadan A1* normal holat B1*C1. Ularning o'zaro kesishish nuqtasi K1*. Bu nuqtadan proyeksiya bilan kesishguncha vertikal bog'lanish chizig'i o'tkaziladi B2*C2. Bir nuqta belgilangan K2*. Natijada segmentning proektsiyalari olindi AK, bu nuqtadan talab qilinadigan masofa A to'g'ri chiziq segmentiga Quyosh.

Keyinchalik, dastlabki holatda masofa proyeksiyalarini qurish kerak. Buni nuqtadan qilish uchun K1* gorizontal chiziqni proyeksiya bilan kesishguncha chizish qulay V1S1 va kesishish nuqtasini belgilang K1. Keyin nuqta quriladi K2 segmentning frontal proyeksiyasida va proyeksiyalar amalga oshiriladi A1K1 Va A2K2. Qurilishlar natijasida masofaning proektsiyalari olingan, ammo segmentning boshlang'ich va yangi qisman holatida ham. quyosh, chiziq segmenti AK umumiy pozitsiyani egallaydi va bu uning barcha proyeksiyalari buzilganligiga olib keladi.

Ikkinchi aylanishda segmentni aylantirish kerak AK ma'lum bir pozitsiyaga, bu bizga masofaning haqiqiy qiymatini - proektsiyani aniqlashga imkon beradi A2*K2**. Barcha konstruktsiyalarning natijasi 3-rasmda ko'rsatilgan.

Vazifa № 3-1. BILAN segment tomonidan belgilangan muayyan pozitsiyaning to'g'ri chizig'iga AB. Javobni mm bilan bering (1-jadval).Proyeksiya linzalarini olib tashlang

1-jadval

3-2-sonli topshiriq. Bir nuqtadan haqiqiy masofani toping M segment tomonidan berilgan umumiy holatda to'g'ri chiziqqa ED. Javobni mm bilan bering (2-jadval).

jadval 2

Bajarilgan 3-son topshiriqni tekshirish va topshirish.

Ushbu maqola mavzu haqida gapiradi « nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa », Nuqtadan chiziqgacha bo‘lgan masofani aniqlashni koordinatalar usuli yordamida tasvirlangan misollar bilan muhokama qiladi. Har bir nazariy blok oxirida shunga o'xshash muammolarni hal qilish misollarini ko'rsatdi.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofani aniqlash orqali topiladi. Keling, batafsil ko'rib chiqaylik.

Berilgan chiziqqa tegishli bo'lmagan a chiziq va M 1 nuqta bo'lsin. U orqali a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar joylashgan b to'g'ri chiziqni o'tkazamiz. Chiziqlarning kesishish nuqtasini H 1 deb olaylik. Biz M 1 H 1 M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar ekanligini olamiz.

Ta'rif 1

M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa M 1 va H 1 nuqtalari orasidagi masofa deyiladi.

Perpendikulyar uzunligini o'z ichiga olgan ta'riflar mavjud.

Ta'rif 2

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa berilgan nuqtadan berilgan chiziqqa chizilgan perpendikulyar uzunligi.

Ta'riflar ekvivalentdir. Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Ma'lumki, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa barcha mumkin bo'lganlarning eng kichikidir. Keling, buni bir misol bilan ko'rib chiqaylik.

Agar a to'g'ri chiziqda yotgan, M 1 nuqtaga to'g'ri kelmaydigan Q nuqtani olsak, M 1 Q segmenti M 1 dan a to'g'ri chiziqqa tushirilgan qiya segment deb ataladiganiga erishamiz. M 1 nuqtadan perpendikulyar nuqtadan to'g'ri chiziqqa chizilgan boshqa har qanday qiya chiziqdan kichik ekanligini ko'rsatish kerak.

Buni isbotlash uchun M 1 Q 1 H 1 uchburchakni ko'rib chiqamiz, bu erda M 1 Q 1 gipotenuzadir. Ma'lumki, uning uzunligi har doim oyoqlarning uzunligidan kattaroqdir. Bu shuni anglatadiki, bizda M 1 H 1 bor< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Nuqtadan chiziqqa topish uchun dastlabki ma'lumotlar bir nechta yechim usullaridan foydalanishga imkon beradi: Pifagor teoremasi orqali, sinus, kosinus, burchak tangensini aniqlash va boshqalar. Ushbu turdagi vazifalarning aksariyati maktabda geometriya darslarida hal qilinadi.

Agar nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topishda to'rtburchaklar koordinatalar tizimini kiritish mumkin bo'lsa, u holda koordinata usuli qo'llaniladi. Ushbu paragrafda biz ma'lum bir nuqtadan kerakli masofani topishning asosiy ikkita usulini ko'rib chiqamiz.

Birinchi usul masofani M 1 dan a to'g'ri chiziqqa chizilgan perpendikulyar sifatida qidirishni o'z ichiga oladi. Ikkinchi usulda kerakli masofani topish uchun a to'g'ri chiziqning normal tenglamasidan foydalaniladi.

Agar tekislikda koordinatalari M 1 (x 1 , y 1) boʻlgan nuqta boʻlsa, toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasida joylashgan a toʻgʻri chiziq boʻlsa va M 1 H 1 masofani topish kerak boʻlsa, hisobni ikki yoʻnalishda bajarish mumkin. yo'llari. Keling, ularga qaraylik.

Birinchi yo'l

Agar H 1 nuqtaning x 2, y 2 ga teng koordinatalari mavjud bo'lsa, u holda nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) formulasi bo'yicha koordinatalar yordamida hisoblanadi. - y 1) 2.

Endi H 1 nuqtaning koordinatalarini topishga o'tamiz.

Ma'lumki, O x y dagi to'g'ri chiziq tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasiga mos keladi. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yoki burchak koeffitsientli tenglamani yozish orqali a to'g'ri chiziqni aniqlash usulini olaylik. Berilgan a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz. To'g'ri chiziqni b harfi bilan belgilaymiz. H 1 - a va b chiziqlarining kesishish nuqtasi, bu ikki chiziqning kesishish nuqtalarining koordinatalari bilan shug'ullanadigan maqoladan foydalanishingiz kerak bo'lgan koordinatalarni aniqlashni anglatadi.

Ko'rinib turibdiki, berilgan M 1 (x 1, y 1) nuqtadan a to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish algoritmi nuqtalar bo'yicha amalga oshiriladi:

Ta'rif 3

• A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ko'rinishga ega bo'lgan a to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yoki burchak koeffitsienti y = k 1 x + b 1 ko'rinishga ega bo'lgan tenglamani topish;
• A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ko'rinishga ega b chiziqning umumiy tenglamasini yoki burchak koeffitsienti y = k 2 x + b 2 bo'lgan tenglamani olish, agar b chiziq M 1 nuqtani kesib o'tsa va unga perpendikulyar bo'lsa. berilgan chiziq a;
• a va b ning kesishish nuqtasi bo'lgan H 1 nuqtaning x 2, y 2 koordinatalarini aniqlash, buning uchun tizim hal qilinadi. chiziqli tenglamalar A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 yoki y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 formulasi yordamida nuqtadan chiziqqa kerakli masofani hisoblash.

Ikkinchi yo'l

Teorema tekislikdagi berilgan nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani topish haqidagi savolga javob berishga yordam beradi.

Teorema

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasi O x y nuqtaga ega M 1 (x 1, y 1), undan tekislikka to'g'ri chiziq o'tkaziladi, tekislikning normal tenglamasi bilan berilgan, cos a x + cos b y ko'rinishga ega. - p = 0, ga teng X = x 1, y = y 1 da hisoblangan chiziqning normal tenglamasining chap tomonida olingan mutlaq qiymat M 1 H 1 = cos a · x 1 + cos b ekanligini bildiradi. · y 1 - p.

Isbot

a chiziq cos a x + cos b y - p = 0 ko'rinishga ega bo'lgan tekislikning normal tenglamasiga to'g'ri keladi, keyin n → = (cos a, cos b) chiziqdan uzoqda joylashgan a chiziqning normal vektori hisoblanadi. p birliklari bilan a chiziqqa kelib chiqish. Rasmdagi barcha ma'lumotlarni ko'rsatish, koordinatalari M 1 (x 1, y 1) bo'lgan nuqtani qo'shish kerak, bu erda M 1 nuqtaning radius vektori - O M 1 → = (x 1, y 1). Bir nuqtadan to'g'ri chiziqqa to'g'ri chiziq chizish kerak, biz uni M 1 H 1 deb belgilaymiz. M 1 va H 2 nuqtalarning M 2 va H 2 proyeksiyalarini n → = (cos a, cos b) ko'rinishdagi yo'nalish vektori bilan O nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqqa ko'rsatish va ni belgilash kerak. vektorning O M 1 → = (x 1, y 1) n → = (cos a , cos b) yo‘nalishiga n p n → O M 1 → ko‘rinishidagi sonli proyeksiyasi.

O'zgarishlar M1 nuqtasining o'zi joylashgan joyga bog'liq. Keling, quyidagi rasmga qaraylik.

Natijalarni M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p formulasi yordamida tuzatamiz. Keyin n p n → O M → 1 = cos a · x 1 + cos b · y 1 ni olish uchun M 1 H 1 = cos a · x 1 + cos b · y 1 - p tenglikni shu ko‘rinishga keltiramiz.

Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi natijasida n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → koordinatali ko‘rinishdagi o‘zgartirilgan formula hosil bo‘ladi. n →, O M 1 → = cos a · x 1 + cos b · y 1 ko‘rinishidagi. Bu shuni anglatadiki, biz n p n → O M 1 → = cos a · x 1 + cos b · y 1 ni olamiz. Bundan kelib chiqadiki, M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos a · x 1 + cos b · y 1 - p. Teorema isbotlangan.

Tekislikdagi M 1 (x 1 , y 1) nuqtadan a toʻgʻri chiziqgacha boʻlgan masofani topish uchun bir nechta amallarni bajarish kerakligini aniqlaymiz:

Ta'rif 4

• a cos a · x + cos b · y - p = 0 to'g'ri chiziqning normal tenglamasini olish, agar u vazifada bo'lmasa;
• cos a · x 1 + cos b · y 1 - p ifodasini hisoblash, bunda olingan qiymat M 1 H 1 ni oladi.

Keling, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishga oid masalalarni yechish uchun ushbu usullarni qo'llaymiz.

1-misol

Koordinatalari M 1 (- 1, 2) nuqtadan 4 x - 3 y + 35 = 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping.

Yechim

Keling, hal qilish uchun birinchi usuldan foydalanamiz.

Buning uchun 4 x - 3 y + 35 = 0 chiziqqa perpendikulyar bo'lgan M 1 (- 1, 2) nuqtadan o'tuvchi b chiziqning umumiy tenglamasini topish kerak. Shartdan ko'rinib turibdiki, b chiziq a chiziqqa perpendikulyar, u holda uning yo'nalishi vektori (4, - 3) ga teng koordinatalarga ega. Shunday qilib, biz tekislikka b chiziqning kanonik tenglamasini yozish imkoniyatiga ega bo'lamiz, chunki b chiziqqa tegishli M 1 nuqtaning koordinatalari mavjud. b to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini aniqlaymiz. Biz x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 ni olamiz. Olingan kanonik tenglama umumiy tenglamaga aylantirilishi kerak. Keyin biz buni olamiz

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Keling, H 1 belgisi sifatida qabul qiladigan chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalarini topamiz. Transformatsiyalar quyidagicha ko'rinadi:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Yuqorida yozilganlardan H 1 nuqtaning koordinatalari (- 5; 5) ga teng ekanligini aniqladik.

M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash kerak. Bizda M 1 (- 1, 2) va H 1 (- 5, 5) nuqtalarining koordinatalari bor, keyin masofani topish uchun ularni formulaga almashtiramiz va shu narsani olamiz.

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Ikkinchi yechim.

Boshqa usulda yechish uchun chiziqning normal tenglamasini olish kerak. Biz normallashtiruvchi omilning qiymatini hisoblaymiz va tenglamaning ikkala tomonini 4 x - 3 y + 35 = 0 ga ko'paytiramiz. Bu erdan biz normallashtiruvchi omil - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 ga teng ekanligini va normal tenglama - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ko'rinishida bo'lishini olamiz. ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0.

Hisoblash algoritmiga ko'ra, chiziqning normal tenglamasini olish va uni x = - 1, y = 2 qiymatlari bilan hisoblash kerak. Keyin biz buni olamiz

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Bundan M 1 (- 1, 2) nuqtadan berilgan 4 x - 3 y + 35 = 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa - 5 = 5 qiymatga ega ekanligini bilib olamiz.

Javob: 5 .

ichida ekanligi aniq bu usul Chiziqning oddiy tenglamasidan foydalanish muhim, chunki bu usul eng qisqa hisoblanadi. Lekin birinchi usul qulay, chunki u ko'proq hisoblash nuqtalariga ega bo'lsa-da, izchil va mantiqiydir.

2-misol

Tekislikda M 1 (8, 0) nuqta va y = 1 2 x + 1 to'g'ri chiziqli O x y to'rtburchaklar koordinatalar tizimi mavjud. Berilgan nuqtadan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani toping.

Yechim

Birinchi yechim quyishni o'z ichiga oladi berilgan tenglama tenglamaga qiyaligi bilan umumiy ko'rinish. Ishlarni soddalashtirish uchun siz boshqacha qilishingiz mumkin.

Agar perpendikulyar chiziqlarning burchak koeffitsientlari ko'paytmasi - 1 qiymatga ega bo'lsa, u holda berilgan biriga perpendikulyar bo'lgan chiziqning burchak koeffitsienti y = 1 2 x + 1 2 qiymatga ega bo'ladi. Endi koordinatalari M 1 (8, 0) bo'lgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini olamiz. Bizda y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 bor.

H 1 nuqtaning koordinatalarini, ya'ni y = - 2 x + 16 va y = 1 2 x + 1 kesishish nuqtalarini topishga o'tamiz. Biz tenglamalar tizimini tuzamiz va olamiz:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Bundan kelib chiqadiki, M 1 (8, 0) koordinatali nuqtadan y = 1 2 x + 1 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa M 1 (8, 0) koordinatali boshlang'ich va yakuniy nuqtadan masofaga tengdir. H 1 (6, 4). Hisoblab chiqamiz va M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 ekanligini topamiz.

Ikkinchi usulda yechim koeffitsientli tenglamadan uning normal shakliga o'tishdir. Ya'ni, y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 ni olamiz, u holda normallashtiruvchi omilning qiymati - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, chiziqning normal tenglamasi - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 ko'rinishini oladi. M 1 8, 0 nuqtadan - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 ko'rinishdagi chiziqqa qadar hisoblashni amalga oshiramiz. Biz olamiz:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Javob: 2 5 .

3-misol

M 1 (- 2, 4) koordinatalari bo'lgan nuqtadan 2 x - 3 = 0 va y + 1 = 0 chiziqlarigacha bo'lgan masofani hisoblash kerak.

Yechim

2 x - 3 = 0 to'g'ri chiziqning normal shaklining tenglamasini olamiz:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Keyin M 1 - 2, 4 nuqtadan x - 3 2 = 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblashga o'tamiz. Biz olamiz:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

y + 1 = 0 to'g'ri chiziq tenglamasi qiymati -1 ga teng bo'lgan normallashtiruvchi omilga ega. Demak, tenglama - y - 1 = 0 ko'rinishini oladi. M 1 (- 2, 4) nuqtadan - y - 1 = 0 to'g'ri chiziqqa masofani hisoblashga o'tamiz. Biz uni - 4 - 1 = 5 ga teng ekanligini topamiz.

Javob: 3 1 2 va 5.

Keling, tekislikning berilgan nuqtasidan O x va O y koordinata o'qlarigacha bo'lgan masofani topishni batafsil ko'rib chiqaylik.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasida O o'qi y to'liq bo'lmagan va x = 0, O x - y = 0 ko'rinishga ega bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasiga ega. Tenglamalar koordinata o'qlari uchun normal bo'lib, u holda koordinatalari M 1 x 1, y 1 bo'lgan nuqtadan chiziqlargacha bo'lgan masofani topish kerak. Bu M 1 H 1 = x 1 va M 1 H 1 = y 1 formulalari asosida amalga oshiriladi. Keling, quyidagi rasmga qaraylik.

4-misol

M 1 (6, - 7) nuqtadan O x y tekislikda joylashgan koordinata chiziqlarigacha bo'lgan masofani toping.

Yechim

y = 0 tenglama O x to'g'ri chiziqqa tegishli ekan, formuladan foydalanib, berilgan koordinatali M 1 dan ushbu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish mumkin. Biz 6 = 6 ni olamiz.

x = 0 tenglama O y to'g'ri chiziqqa tegishli ekan, formula yordamida M 1 dan bu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish mumkin. Keyin biz buni olamiz - 7 = 7.

Javob: M 1 dan O x gacha bo'lgan masofa 6 ga, M 1 dan O y gacha bo'lgan masofa 7 ga teng.

Uch o'lchovli fazoda koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) bo'lgan nuqtaga ega bo'lganimizda, A nuqtadan a to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish kerak.

Kosmosda joylashgan nuqtadan to to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash imkonini beruvchi ikkita usulni ko'rib chiqamiz. Birinchi holatda M 1 nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa ko'rib chiqiladi, bu erda chiziqdagi nuqta H 1 deb ataladi va M 1 nuqtadan a chiziqqa chizilgan perpendikulyarning asosi hisoblanadi. Ikkinchi holat shuni ko'rsatadiki, bu tekislikning nuqtalarini parallelogramm balandligi sifatida izlash kerak.

Birinchi yo'l

Ta'rifdan biz a to'g'ri chiziqda joylashgan M 1 nuqtadan masofa perpendikulyar M 1 H 1 uzunligi ekanligini bilib oldik, keyin H 1 nuqtaning topilgan koordinatalari bilan bilib olamiz, keyin M 1 orasidagi masofani topamiz ( x 1, y 1, z 1 ) va H 1 (x 1 , y 1 , z 1) formulasi asosida M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Biz butun yechim M 1 dan a to'g'ri chiziqqa o'tkazilgan perpendikulyar asosning koordinatalarini topishga borishini aniqlaymiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: H 1 - berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik bilan a to'g'ri chiziq kesishgan nuqta.

Bu shuni anglatadiki, M 1 nuqtadan (x 1, y 1, z 1) fazodagi a chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlash algoritmi bir nechta nuqtalarni nazarda tutadi:

Ta'rif 5

• ch tekislikning tenglamasini chiziqqa perpendikulyar joylashgan berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi sifatida tuzish;
• a to'g'ri chiziq va ch tekislikning kesishish nuqtasi bo'lgan H 1 nuqtaga tegishli (x 2, y 2, z 2) koordinatalarini aniqlash;
• M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 formulasi yordamida nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash.

Ikkinchi yo'l

Shartdan biz a to'g'ri chiziqqa egamiz, u holda koordinatalari x 3, y 3, z 3 bo'lgan a → = a x, a y, a z yo'nalish vektorini va a to'g'ri chiziqqa tegishli ma'lum M 3 nuqtani aniqlashimiz mumkin. Agar sizda M 1 (x 1, y 1) va M 3 x 3, y 3, z 3 nuqtalarining koordinatalari mavjud bo'lsa, M 3 M 1 → ni hisoblashingiz mumkin:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

M 3 nuqtadan a → = a x, a y, a z va M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektorlarini chetga surib, ularni birlashtirib, parallelogramma shaklini olishimiz kerak. . M 1 H 1 - parallelogrammning balandligi.

Keling, quyidagi rasmga qaraylik.

Bizda M 1 H 1 balandligi kerakli masofa, keyin uni formuladan foydalanib topish kerak. Ya'ni, biz M 1 H 1 ni qidiramiz.

A → = (a x, a y, a z) va M 3 M 1 → = x 1 - x 3 vektoridan foydalangan holda formula bo'yicha topilgan parallelogrammning maydonini S harfi bilan belgilaymiz. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Maydon formulasi S = a → × M 3 M 1 → . Shuningdek, rasmning maydoni uning tomonlari uzunligi va balandligining mahsulotiga teng, biz S = a → · M 1 H 1 ni a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 bilan olamiz, bu a → = (a x, a y, a z) vektorining uzunligi, borliq teng tomoni parallelogramma. Bu shuni anglatadiki, M 1 H 1 nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa. M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → formulasi yordamida topiladi.

Koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan fazoda a to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani topish uchun algoritmning bir necha bosqichlarini bajarish kerak:

Ta'rif 6

• a - a → = (a x, a y, a z) to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini aniqlash;
• yo'nalish vektorining uzunligini hisoblash a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• a to'g'ri chiziqda joylashgan M 3 nuqtaga tegishli x 3 , y 3 , z 3 koordinatalarini olish;
• M 3 M 1 vektorining koordinatalarini hisoblash → ;
• topish vektor mahsuloti a → (a x, a y, a z) va M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektorlari a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 a → × M 3 M 1 → formuladan foydalanib uzunlikni olish;
• nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Fazoda berilgan nuqtadan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani topish masalalarini yechish

5-misol

Koordinatalari M 1 2, - 4, - 1 bo‘lgan nuqtadan x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 chiziqgacha bo‘lgan masofani toping.

Yechim

Birinchi usul M 1 dan o'tuvchi va berilgan nuqtaga perpendikulyar bo'lgan ch tekislik tenglamasini yozishdan boshlanadi. Biz quyidagi kabi ifodani olamiz:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Shart bilan belgilangan chiziqqa ch tekislik bilan kesishish nuqtasi bo'lgan H 1 nuqtaning koordinatalarini topish kerak. Siz kanonik ko'rinishdan kesishgan ko'rinishga o'tishingiz kerak. Keyin biz quyidagi shakldagi tenglamalar tizimini olamiz:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z) + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Tizimni hisoblash kerak x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 Kramer usuli bo'yicha 2 x - y + 5 z = 3, keyin biz buni olamiz:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = z0 - 60 = 0

Bu erdan biz H 1 (1, - 1, 0) ga ega bo'lamiz.

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Ikkinchi usul kanonik tenglamada koordinatalarni qidirishdan boshlanishi kerak. Buning uchun kasrning maxrajlariga e'tibor berish kerak. U holda a → = 2, - 1, 5 chiziqning yo'nalish vektori x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. A → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 formulasi yordamida uzunlikni hisoblash kerak.

Ko'rinib turibdiki, x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 to'g'ri chiziq M 3 (- 1 , 0 , - 5) nuqtani kesib o'tadi, demak, koordinatali M 3 (- 1 ,) bo'lgan vektorga ega bo'lamiz. 0 , - 5) va uning M 1 2, - 4, - 1 nuqtadagi uchi M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. a → = (2, - 1, 5) va M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) vektor mahsulotini toping.

a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · ko‘rinishdagi ifodani olamiz. j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

vektor mahsulotining uzunligi a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 ga teng ekanligini topamiz.

To'g'ri chiziq uchun nuqtadan masofani hisoblash uchun formuladan foydalanish uchun bizda barcha ma'lumotlar mavjud, shuning uchun uni qo'llaymiz va olamiz:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Javob: 11 .

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Kirish

Ushbu kurs ishida men "nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa" mavzusini ko'rib chiqdim: nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofaning ta'rifi berilgan va grafik tasvirlar berilgan. Koordinata usuli yordamida tekislikdagi va fazodagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topish muhokama qilinadi. Har bir nazariy blokdan keyin nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topish uchun misollar va masalalarning batafsil echimlari ko'rsatilgan.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa - ta'rif

a to'g'ri va a to'g'rida yotmagan M 1 nuqta tekislikda yoki uch o'lchamli fazoda berilgan bo'lsin. M 1 nuqta orqali a chiziqqa perpendikulyar b chiziq o'tkazamiz. a va b chiziqlarning kesishish nuqtasini H 1 deb belgilaymiz. M 1 H 1 segmenti M 1 nuqtadan a chiziqqa chizilgan perpendikulyar deyiladi.

Ta'rif.

M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa M 1 va H 1 nuqtalari orasidagi masofadir.

Biroq, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofaning eng keng tarqalgan ta'rifi perpendikulyar uzunligidir.

Ta'rif.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa - berilgan nuqtadan berilgan chiziqqa o'tkazilgan perpendikulyar uzunligi.

Bu ta'rif nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofaning birinchi ta'rifiga teng.

1-rasm

E'tibor bering, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa bu nuqtadan berilgan chiziqdagi nuqtalargacha bo'lgan masofalarning eng kichiki hisoblanadi. Keling, ko'rsataylik.

a to'g'rida M 1 nuqtaga to'g'ri kelmaydigan Q nuqtani olaylik. M 1 Q segmenti M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqqa tortilgan qiya segment deyiladi. M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqqa o'tkazilgan perpendikulyar M 1 nuqtadan a to'g'ri chiziqqa o'tkazilgan har qanday qiyalikdan kichik ekanligini ko'rsatishimiz kerak. Bu to'g'ri: uchburchak M 1 QH 1 gipotenuza M 1 Q bilan to'g'ri burchakli va gipotenuzaning uzunligi har doim oyoqlarning har qanday uzunligidan kattaroqdir, shuning uchun.