1-dars Dars mavzusi: “Kasrning maxrajida irratsionallikdan xalos bo'lish”.

Maqsadlar:

Tarbiyaviy:

Rivojlanayotgan:

Tarbiyaviy: ularning harakatlarida izchillikni ta'minlash.

Dars turi: yangi o'rganish

Dars standarti:

mantiqsizlikdan qutulish yo'lini topa bilish

"qo'shma ibora" ma'nosini tushunish

maxrajdagi mantiqsizlikdan qutula olish.

Uskunalar: mustaqil ish uchun kartalar.

Darslar davomida

Bir oz hazil:

Siz ildizlarni ajratib olasizmi? – deb so‘radi o‘qituvchi

Ha albatta. Siz o'simlikning poyasini qattiqroq tortib olishingiz kerak va uning ildizi tuproqdan olinadi.

Yo'q, men boshqa ildizni nazarda tutdim, masalan, to'qqizdan.

Bu "to'qqiz" bo'ladi, chunki "t" qo'shimchasidir.

Men kvadrat ildizni nazarda tutyapman.

Kvadrat ildizlar yo'q. Ular tolali va tayoqchali.

To'qqizning arifmetik kvadrat ildizi.

Ular shunday deyishadi! To'qqizning kvadrat ildizi = 3!

Siz ildizlarni qanday chiqarishni bilasizmi?

2. “Takrorlash – bilimning onasi”.

(8 daqiqa)

2.Chechking house/w№ 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8

3. Isitish. Qadamlarni bajaring (1-slayd). Soat miliga teskari aylana bo'ylab tekshirish.

1. Noma'lum multiplikatorni oling (2-slayd)

Guruhlarga bo'linish: tanlangan raqamlar bo'yicha.

O'zgaruvchan kompozitsiyani juftlik bilan tekshiring.

Ular yakka tartibda ishlaydilar va ballarda baholaydilar.

(1-ilova)

3. “Kitob bu kitob, lekin miyangizni harakatga keltiring” (5 daqiqa)

(3-slayd) Ikki do'st tenglamani yechdi
va turli javoblar oldi. Ulardan biri x = ni oldi tekshirish qildi. Ikkinchisi mahsulotni bo'lish orqali noma'lum omilni topdi
va x = oldi . Ulardan qaysi biri to'g'ri? mumkin chiziqli tenglama ikkita ildiz bormi? Hisoblash uchun eng qulayi maxrajda irratsionallikni o'z ichiga olmaydigan ifodadir.

Dars mavzusi(4-slayd) : Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan ozod qilish

Maqsadlar(5-slayd) : kasr maxrajlarida irratsionallikdan qutulish usullari bilan tanishing. Maxrajni mantiqsizlikdan ozod qilish qobiliyatini rivojlantirish;

O'rnini bosuvchi kompozitsiyani juftlab yeching va tekshiring.

Vaziyatni muhokama qiling va bir xulosaga keling.

Mavzuni yozing

Formalash maqsadlar: kasr maxrajlarida irratsionallikdan qutulish usullari bilan tanishing.

irratsionallikdan xalos bo'lish yo'lini aniqlash qobiliyatini rivojlantirish;

4. Yangi material ustida ishlash.

(10 daqiqa)

Maxrajdagi mantiqsizlikdan qanday qutulish mumkin? Bilmoqchimisiz?

Yangi material ustida guruhli ish

Guruh ishlashi

Konsolidatsiya (6-slayd)

Asosiy chiziq bilan ishlash. (2-ilova)

Misollarni yeching.

(3-ilova)

Ular ma'lumot almashadilar.

5. Zaryadlash (3 daqiqa)

Mashqlarni bajaring

6. Mustaqil ish

(10 daqiqa)

Ko'p darajali kartalar uchun

1 dyuym:

2 dyuym:

3 dyuym:

Yakka tartibda bajaring, daftarlarni boshqa guruh bilan almashtirish orqali tekshiring.

Ballar guruh ballari kartasiga kiritiladi.

(1-ilova)

7.Ijodiy vazifa

(2 daqiqa)

Maymun - apelsin sotuvchisi, (Slayd 7)

Bir marta o'z dachasiga kelib,

Men u erda radikallar bilan muammo topdim.

Ularning hammasini ketma-ket tarqata boshladilar.

Sizdan so'raymiz, qizlar va o'g'il bolalar,

Maymunning dumidagi muammoni hal qiling.

Sizningcha, biz ushbu mavzuni o'rganishni qanday yakunladik? Keyingi darsda davom etamiz.

Ular keyingi darsda nimani o'rganishlarini muhokama qiling.

8. Uyga vazifa: (2 daqiqa)

P.19 (Slayd 7)

1-daraja: №170 (1-6)

2-daraja: № 170 (1-6 va 9.12)

Ijodiy vazifa: Maymun vazifasi.

yozib qo'ying

9. Dars natijasi. Reflektsiya

(3 daqiqa)

Tanlangan kulgichga ikkita yulduz va tilak stikerlarga biriktirilgan (7-slayd)

Ballar baholashga aylantiriladi va guruhning baholash kartochkasi o‘qituvchiga topshiriladi.

1-ILOVA

Guruh ko'rsatkichlari kartasi.

0-8 ball

Multiplikatorni oling

0-8 ball

Yangi material ustida guruhli ish

0-5 ball

O'zim. Ish

0-5 ball

Darsdagi faollik

0-5 ball

2-ILOVA

Referat referat

Agar algebraik kasrning maxraji belgisi bo'lsa kvadrat ildiz, u holda maxrajda irratsionallik mavjud deyiladi. Ifodani kasrning maxrajida belgilari bo'lmaydigan shaklga o'tkazish kvadrat ildizlar, chaqirildi maxrajdagi irratsionallikdan qutulish

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan ozod qilish

2015-06-13

Konjugatli irratsional ifoda

Maxrajida irratsional ifoda yozilgan kasrli algebraik ifodani o'zgartirishda odatda kasrni uning maxraji ratsional bo'ladigan tarzda ifodalashga harakat qilinadi. Agar $A, B, C, D, \cdots$ ba'zi algebraik ifodalar bo'lsa, u holda shakl ifodalarining maxrajidagi radikal belgilardan xalos bo'lish qoidalarini ko'rsatish mumkin.

$\frac(A)(\sqrt[n](B)), \frac(A)(B+C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D) )), \frac(A)( \sqrt(B) \pm \sqrt(C))$ va boshqalar.

Bu barcha hollarda kasrning ayiruvchisi va maxrajini uning kasrning maxrajiga ko'paytmasi ratsional bo'lishi uchun tanlangan omilga ko'paytirish orqali irratsionallik yo'q qilinadi.

1) $A/ \sqrt[n](B)$ koʻrinishdagi kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos boʻlish uchun ayiruvchi va maxrajni $\sqrt[n](B^(n-1)) ga koʻpaytiring. $.
$\frac(A)(\sqrt[n](B)) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(\sqrt[n](B) \sqrt[n] (B^(n-1))) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(B)$.

1-misol. $\frac(4a^(2)b)(\sqrt(2ac)) = \frac(4a^(2)b \sqrt(4a^(2)c^(2)(2ac) = \frac(2ab)(c) \sqrt(4a^(2)c^(2))$.

$\frac(A)(B+ C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D))$ koʻrinishdagi kasrlar boʻlsa, pay va maxrajni koʻpaytiring. irratsional omil bilan
$B - C \sqrt(D)$ yoki $\sqrt(B) - c \sqrt(D)$
mos ravishda, ya'ni konjugatli irratsional ifodaga.

Oxirgi harakatning ma'nosi shundan iboratki, maxrajda yig'indi va ayirmaning ko'paytmasi kvadratlar ayirmasiga aylanadi, bu allaqachon ratsional ifoda bo'ladi.

2-misol. Ifodaning maxrajidagi irratsionallikdan qutuling:
a) $\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x)$; b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3))$.

Yechish, a) Kasrning son va maxrajini ga ko‘paytiramiz
ifoda $\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x$. Biz olamiz ($y \neq 0$ deb faraz qilsak)
$\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x) = \frac(xy (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)) ((x^(2) + y^(2)) – x^(2)) = \frac(x)(y) (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)$ ;
b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3)) = \frac(2(\sqrt(5) + \sqrt(3)(5 - 3) = \sqrt(5) ) + \sqrt(3)$.
3) kabi iboralarda
$\frac(A)(B \pm C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) \pm C \sqrt(D))$
maxraj yig'indisi (farq) sifatida ko'rib chiqiladi va kublar yig'indisini (farq) olish uchun ayirmaning (sumning) to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytiriladi. Numerator ham xuddi shu omilga ko'paytiriladi.

3-misol. Ifodalar maxrajidagi irratsionallikdan qutuling:
a)$\frac(3)(\sqrt(5) + 1)$; b)$\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b))$

Yechish, a) Bu kasrning maxrajini $\sqrt(5)$ va $1$ sonlarining yig‘indisi deb hisoblab, pay va maxrajni shu sonlar ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytiramiz:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3 (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) +1))((\sqrt(5) + 1) (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) + 1)) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))((\sqrt(5))^ (3) +1)$,
yoki nihoyat:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))(6) = \frac(\sqrt(25) - \ sqrt(5) + 1)(2)$
b) $\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b)) = \frac(\sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^( 2)))((\sqrt(a))^(3) – (2 \sqrt(b))^(3)) = \frac( \sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^(2)))(a-8b)$.

Ba'zi hollarda qarama-qarshi xarakterdagi o'zgarishlarni amalga oshirish talab qilinadi: kasrni hisoblagichdagi irratsionallikdan ozod qilish. U xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi.

4-misol. $\frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b)$ hisobidagi mantiqsizlikdan xalos bo'ling.
Qaror. $ \frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b) = \frac((a+b) - (a-b))(2b(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b) ))) = \frac(1)(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b))$

Maxrajida irratsional ifoda yozilgan kasrli algebraik ifodani o'zgartirishda odatda kasrni uning maxraji ratsional bo'ladigan tarzda ifodalashga harakat qilinadi. Agar A,B,C,D,... ba'zi algebraik ifodalar bo'lsa, u holda shakl ifodalarining maxrajidagi radikal belgilardan qutulish mumkin bo'lgan qoidalarni ko'rsatish mumkin.

Bu barcha hollarda kasrning ayiruvchisi va maxrajini uning kasrning maxrajiga ko'paytmasi ratsional bo'lishi uchun tanlangan omilga ko'paytirish orqali irratsionallik yo'q qilinadi.

1) Shaklning kasr maxrajidagi irratsionallikdan qutulish uchun . Numerator va maxrajni ko'paytiring

1-misol.

2) shaklning kasrlari holatida . Numerator va maxrajni irratsional koeffitsientga ko'paytiring

mos ravishda, ya'ni konjugatli irratsional ifodaga.

Oxirgi harakatning ma'nosi shundan iboratki, maxrajda yig'indi va ayirmaning ko'paytmasi kvadratlar ayirmasiga aylanadi, bu allaqachon ratsional ifoda bo'ladi.

2-misol. Ifodaning maxrajidagi irratsionallikdan qutuling:

Yechish, a) Kasrning son va maxrajini ifodaga ko‘paytiramiz. Biz olamiz (agar shunday bo'lsa)

3) kabi iboralarda

maxraj yig'indisi (farq) sifatida ko'rib chiqiladi va ((20.11), (20.12)) kublarning yig'indisini (farq) olish uchun farqning (sumning) to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytiriladi. Numerator ham xuddi shu omilga ko'paytiriladi.

3-misol. Ifodalar maxrajidagi irratsionallikdan qutuling:

Yechish, a) Berilgan kasrning maxrajini sonlar va 1 ning yig‘indisi deb hisoblab, pay va maxrajni shu sonlar orasidagi ayirmaning to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytiramiz:

yoki nihoyat:

Ba'zi hollarda qarama-qarshi xarakterdagi o'zgarishlarni amalga oshirish talab qilinadi: kasrni hisoblagichdagi irratsionallikdan ozod qilish. U xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi.

4-misol. Kasr sonidagi irratsionallikdan qutuling.

Ifodalar, ifoda konvertatsiyasi

Maxrajdagi mantiqsizlikdan qanday qutulish mumkin? Yo'llar, misollar, echimlar

8-sinfda algebra darslarida irratsional ifodalarni o'zgartirish mavzusi doirasida suhbat o'tkaziladi. kasrning maxrajidagi irratsionallikdan ozodlik. Ushbu maqolada biz bu qanday transformatsiya ekanligini tahlil qilamiz, qanday harakatlar kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon berishini ko'rib chiqamiz va batafsil tushuntirishlar bilan tipik misollarga yechim beramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qutulish nimani anglatadi?

Avval siz maxrajdagi irratsionallik nima ekanligini va kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qutulish nimani anglatishini aniqlashingiz kerak. Bunda bizga maktab darsliklaridagi ma'lumotlar yordam beradi. Quyidagi fikrlar e'tiborga loyiqdir.

Kasr yozuvida maxrajda ildiz belgisi (radikal) mavjud bo'lsa, ular maxrajni o'z ichiga oladi, deyishadi. mantiqsizlik. Buning sababi, ehtimol, ildiz belgilari bilan yozilgan raqamlar ko'pincha . Misol tariqasida kasrlarni olaylik, , , , aniqki, ularning har birining maxrajlarida ildiz belgisi, demak, irratsionallik mavjud. O'rta maktabda kasrlar bilan uchrashish muqarrar, maxrajlarning irratsionalligi nafaqat kvadrat ildiz belgilari, balki kub ildizlari, to'rtinchi darajali ildizlar va boshqalar bilan ham kiritiladi. Mana shunday fraktsiyalarga misollar: .

Yuqoridagi ma'lumotlarni va "ozod qilish" so'zining ma'nosini hisobga olgan holda, quyidagi ta'rif juda tabiiy ravishda qabul qilinadi:

Ta'rif.

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan ozod qilish- bu maxrajda irratsional bo'lgan kasr maxrajda ildiz belgilari bo'lmagan bir xil teng kasr bilan almashtiriladigan transformatsiya.

Ko'pincha ular o'zlarini ozod qilma, balki kasr maxrajidagi mantiqsizlikdan xalos bo'l, deganlarini eshitishingiz mumkin. Ma'nosi o'zgarmaydi.

Masalan, kasrdan qiymati asl kasrning qiymatiga teng bo'lgan va maxrajida ildiz belgisi bo'lmagan kasrga o'tsak, kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lganimizni aytishimiz mumkin. . Yana bir misol: kasrni bir xil teng kasr bilan almashtirish kasrning maxrajida irratsionallikdan ozodlik mavjud.

Shunday qilib, dastlabki ma'lumotlar olinadi. Kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan xalos bo'lish uchun nima qilish kerakligini aniqlash qoladi.

Mantiqsizlikdan xalos bo'lish yo'llari, misollar

Odatda, kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan qutulish uchun ikkita kasr konvertatsiyalari: Numerator va maxrajni nolga teng bo'lmagan son yoki ifodaga ko'paytiring va maxrajdagi ifodani aylantiring. Quyida biz kasr maxrajidagi irratsionallikdan qutulishning asosiy usullarining bir qismi sifatida bu kasr o'zgarishlaridan qanday foydalanilishini ko'rib chiqamiz. Keling, quyidagi holatlarni ko'rib chiqaylik.

Eng oddiy hollarda ifodani maxrajga aylantirish kifoya. Masalan, maxraji to'qqizning ildizi bo'lgan kasr. Bunday holda, uni 3 qiymatiga almashtirish maxrajni irratsionallikdan ozod qiladi.

Murakkab holatlarda kasrning hisoblagichi va maxrajini nolga teng bo'lmagan raqam yoki ifoda bilan oldindan ko'paytirish kerak bo'ladi, bu esa keyinchalik kasrning maxrajini ildiz belgilari bo'lmagan shaklga aylantirish imkonini beradi. Masalan, kasrning soni va maxraji ga ko'paytirilgandan so'ng, kasr bo'ladi. , keyin esa maxrajdagi ifoda ildizlarning belgilarisiz x+1 ifoda bilan almashtirilishi mumkin. Shunday qilib, maxrajdagi irratsionallikdan ozod bo'lgandan so'ng, kasr shaklni oladi.

Agar umumiy holat haqida gapiradigan bo'lsak, unda kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lish uchun har xil qabul qilinadigan o'zgarishlarga murojaat qilish kerak, ba'zan esa juda aniq.

Va endi batafsil.

Ifodani kasrning maxrajiga aylantirish

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lish usullaridan biri maxrajni o'zgartirishdir. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan xalos bo'ling .

Qaror.

Maxrajdagi qavslarni kengaytirib, ifodaga kelamiz . Keling, kasrlarga o'tamiz . Ildiz belgilari ostidagi qiymatlarni hisoblashda biz bor . Shubhasiz, natijada ifodada, 1/16 ga teng bo'lgan kasrni beradigan mumkin. Shunday qilib, biz maxrajdagi mantiqsizlikdan xalos bo'ldik.

Odatda yechim tushuntirishsiz qisqacha yoziladi, chunki bajarilgan harakatlar juda oddiy:

Javob:

.

Misol.

Qaror.

Irratsional ifodalarni ildizlarning xossalari yordamida o‘zgartirish haqida gapirganda, hatto n uchun har qanday A ifodasi uchun (bizning holatda n=2 ) ifodani |A| ifoda bilan almashtirish mumkinligini ta’kidladik. original ifoda uchun o'zgaruvchilarning butun ODZ bo'yicha. Shunday qilib, siz berilgan kasrni quyidagi o'zgartirishni amalga oshirishingiz mumkin: , bu maxrajdagi irratsionallikdan ozod qiladi.

Javob:

.

Numerator va maxrajni ildizga ko'paytirish

Kasrning maxrajidagi ifoda A ko'rinishiga ega bo'lsa, bu erda A ifoda ildiz belgilarini o'z ichiga olmaydi, u holda pay va maxrajni ko'paytirish maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon beradi. Bu harakat mumkin, chunki u asl ifoda uchun o'zgaruvchilarning ODZ-da yo'qolmaydi. Bunday holda, maxrajda ildiz belgilarisiz shaklga aylantirish oson bo'lgan ifoda olinadi: . Biz ushbu yondashuvning qo'llanilishini misollar bilan ko'rsatamiz.

Misol.

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qutuling: a), b).

Qaror.

a) Kasrning soni va maxrajini uchta kvadrat ildizga ko'paytirsak, biz hosil bo'lamiz .

b) maxrajdagi kvadrat ildiz belgisidan xalos bo'lish uchun kasrning soni va maxrajini ga ko'paytiramiz, shundan so'ng maxrajdagi o'zgarishlarni bajaramiz:

Javob:

a), b) .

Agar maxrajda omillar yoki bo'lsa, bu erda m va n ba'zi natural sonlar bo'lsa, pay va maxraj shunday ko'paytmaga ko'paytirilishi kerak, shundan so'ng maxrajdagi ifoda yoki ko'rinishiga aylantirilishi mumkin, bu erda k biroz natural son, mos ravishda. Keyin maxrajda irratsionalliksiz kasrga o'tish oson. Biz misollar yordamida maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lishning tavsiflangan usulini qo'llashni ko'rsatamiz.

Misol.

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qutuling: a), b).

Qaror.

a) 3 dan katta va 5 ga bo'linadigan eng yaqin natural son 5 ga teng. Oltining ko'rsatkichi beshga teng bo'lishi uchun maxrajdagi ifodani ko'paytirish kerak. Binobarin, kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lish son va maxrajni ko'paytirish kerak bo'lgan ifoda bilan osonlashadi:

b) Ko'rinib turibdiki, 15 dan katta va 4 ga qoldiqsiz bo'linadigan eng yaqin natural son 16 dir. Maxrajdagi ko'rsatkich 16 ga teng bo'lishi uchun u erda joylashgan ifodani ko'paytirish kerak. Shunday qilib, asl kasrning payini va maxrajini (esda tutingki, bu ifodaning qiymati haqiqiy x uchun nolga teng emas) ko'paytirilsa, maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'ladi:

Javob:

a) , b) .

Qo‘shma ifoda orqali ko‘paytirish

Kasr maxrajidagi irratsionallikdan qutulishning keyingi usuli maxrajda , , , yoki shaklidagi ifodalarni o'z ichiga olgan holatlarni qamrab oladi. Bunday hollarda kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lish uchun kasrning sonini va maxrajini deb ataluvchiga ko'paytirish kerak bo'ladi. konjugativ ifoda.

Yuqoridagilar uchun qaysi iboralar konjugat ekanligini aniqlash qoladi. Ifoda uchun qo'shma ibora , ifoda uchun esa qo'shma ifoda . Xuddi shunday, ifoda uchun konjugat , ifoda uchun esa konjugat . Va ifoda uchun qo'shma - , ifoda uchun esa - . Demak, bu iboraga qo`shma ibora ikkinchi haddan oldingi belgisi bilan undan farq qiladi.

Keling, ifodani uning konjugat ifodasiga ko'paytirish natijasi qanday bo'lishini ko'rib chiqaylik. Masalan, mahsulotni ko'rib chiqing . Uni kvadratlar farqi bilan almashtirish mumkin, ya'ni ildiz belgilarini o'z ichiga olmaydigan a−b ifodasiga o'tish mumkin.

Endi kasrning soni va maxrajini maxrajga konjugat ifodasi bilan ko'paytirish kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon berishi aniq bo'ladi. Keling, odatiy misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ifodani kasr shaklida ifodalang, uning maxraji radikalni o'z ichiga olmaydi: a), b).

Qaror.

a) maxrajga qo‘shilgan ifoda . Biz unga hisoblagich va maxrajni ko'paytiramiz, bu kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon beradi:

b) ifoda uchun konjugat . Numerator va maxrajni unga ko'paytirsak, biz olamiz

Avval maxrajdan minus belgisini olib tashlash mumkin edi va shundan keyingina hisoblagich va maxrajni maxrajga konjugat ifodasi bilan ko'paytiring:

Javob:

a) , b) .

Iltimos, diqqat qiling: kasrning soni va maxrajini maxrajga konjugatsiyalangan o'zgaruvchilari bo'lgan ifodaga ko'paytirishda, u asl ifoda uchun DPV dan hech qanday o'zgaruvchan qiymatlar to'plami uchun yo'qolmasligiga e'tibor berish kerak.

Misol.

Kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan xalos bo'ling.

Qaror.

Boshlash uchun, x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari (ODZ) maydonini topamiz. U x≥0 va shartlari bilan aniqlanadi, shundan biz ODZ x≥0 to'plam degan xulosaga kelamiz.

Maxrajning konjugat ifodasi . ODZ bo'yicha x≠16 shartga ekvivalent bo'lishi sharti bilan kasrning soni va maxrajini unga ko'paytirishimiz mumkin. Shu bilan birga, bizda ham bor

Va x=16 uchun bizda bor .

Shunday qilib, ODZ dan x o'zgaruvchining barcha qiymatlari uchun, x=16 dan tashqari, , va x=16 uchun bizda mavjud.

Javob:

Kublar yig'indisi va kublar ayirmasi formulalaridan foydalanish

Oldingi paragrafdan bildikki, kasrning sonini va maxrajini maxrajga konjugat ifodasi bilan ko'paytirish kvadratlar formulasining farqini yanada qo'llash va shu bilan maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Ba'zi hollarda, boshqa qisqartirilgan ko'paytirish formulalari ham maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lish uchun foydalidir. Masalan, kublarning farqi formulasi a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) kasrning maxrajida shaklning kub ildizlari bo'lgan iboralar mavjud bo'lsa, irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon beradi. , bu erda A va B ba'zi raqamlar yoki ifodalar. Buning uchun kasrning soni va maxraji yig'indining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytiriladi. yoki mos ravishda farq. Kublar yig'indisi formulasi ham xuddi shunday sinab ko'riladi a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2).

Misol.

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'ling: a), b) .

Qaror.

a) Taxmin qilish osonki, bu holda maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lish pay va maxrajni sonlar yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirish imkonini beradi va , chunki kelajakda bu bizga ifodani o'zgartirishga imkon beradi. kublarning formulasi farqiga ko'ra maxraj:

b) Kasrning maxrajidagi ifodasi sifatida ifodalanishi mumkin , shundan aniq ko'rinib turibdiki, bu 2 va raqamlar orasidagi farqning to'liq bo'lmagan kvadrati. Shunday qilib, agar kasrning numeratori va maxraji yig'indiga ko'paytirilsa, u holda maxraj kublar yig'indisi formulasiga ko'ra aylantirilishi mumkin, bu esa kasrning maxrajidagi irratsionallikdan xalos bo'lishga imkon beradi. Bu shartga ekvivalent bo'lgan shart ostida amalga oshirilishi mumkin va bundan keyin x≠−8:

Va x=−8 ni asl kasrga almashtirganda, biz bor .

Shunday qilib, dastlabki kasr uchun ODZ dan barcha x uchun (bu holda, bu R to'plami), x=−8 dan tashqari, bizda mavjud , va x=8 uchun bizda mavjud .

Javob:

Turli usullardan foydalanish

Murakkabroq misollarda, maxrajdagi mantiqsizlikdan xalos bo'lish odatda bitta harakatda ishlamaydi, lekin siz ketma-ket usuldan keyin, shu jumladan yuqorida muhokama qilinganlarni ham qo'llashingiz kerak. Ba'zida ba'zi nostandart echimlar talab qilinishi mumkin. Yetarli qiziqarli vazifalar muhokama qilinayotgan mavzu bo'yicha Yu. N. Kolyagin muallifligidagi darslikda tanishish mumkin. Adabiyotlar ro'yxati.

1. Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ma'rifat, 2010.- 368 b. : Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Arifmetik kvadrat ildizlarni o'z ichiga olgan ifodalarni aylantirish

Darsning maqsadi: ko'nikmalarni shakllantirish uchun sharoit yaratish, smenali guruhlarda ishlash jarayonida arifmetik kvadrat ildizlarni o'z ichiga olgan ifodalarni soddalashtirish.

Dars maqsadlari: o‘quvchilarning nazariy tayyorgarligini tekshirish, sonning kvadrat ildizini ajratib olish, bilim va ko‘nikmalarini to‘g‘ri takrorlash ko‘nikmalarini shakllantirish, hisoblash ko‘nikmalarini rivojlantirish, juftlikda ishlash qobiliyatini va umumiy ish uchun mas’uliyatni tarbiyalash.

Darslar davomida.

I. Tashkiliy vaqt. "TAYYORLIK JADVALI»

Darsning boshlanishiga tayyorgarlik darajasini aniqlash.

25 qizil kartochka (5 ball), sariq rang(4 ball), ko'k

ranglar (3 ball).

Tayyorlik jadvali

5 ball (bilish, qilish, qaror qilish)

4 ball (men borishga tayyorman)

3 ball (men o'zimni yaxshi his qilmayapman, materialni tushunmayapman, menga yordam kerak)

II . Shaxsiy ish kartalar orqali

1-karta

Ildiz belgisi ostidan multiplikatorni oling:

2-karta

Ildiz belgisi ostida multiplikator kiriting:

Karta 3

Soddalashtiring:
a)
b)
ichida)

(Uy vazifasini tekshirgandan keyin tekshiring)

III . Uy vazifasini tekshirish.

166, 167-sonli og'zaki frontal

(signal kartalari yordamida o'z-o'zini baholash: yashil - hamma narsa to'g'ri, qizil - xatolik bor)

IV . Yangi materialni o'rganish. Smenali guruhlarda ishlash.

Guruh a’zolariga keyinroq tushuntira olish uchun materialni mustaqil o‘rganish. Sinf 4 kishidan 6 ta guruhga bo'lingan.

1, 2 va 3 guruhlar - o'rtacha qobiliyatli talabalar

Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qanday qutulish mumkin? Umumiy holatni va aniq misollarni ko'rib chiqing.

Agar maxrajdagi kvadrat ildiz belgisi ostidagi son yoki ifoda omillardan biri bo‘lsa, maxraj va ayiruvchidagi irratsionallikdan, kasrning maxrajidan xalos bo‘lish uchun shu sonning kvadrat ildiziga ko‘paytiramiz yoki ifoda:

Misollar.

1) ;

2) .

4, 5 va 6-guruhlar - o'rtachadan yuqori qobiliyatli talabalar.

Agar kasrning maxraji kvadrat ildizga ega bo'lgan ikkita ifodaning yig'indisi yoki ayirmasi bo'lsa, maxrajdagi irratsionallikdan xalos bo'lish uchun biz sonni ham, maxrajni ham konjugat radikaliga ko'paytiramiz:

Misollar. Kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan xalos bo'ling:

Yangi guruhlarda ishlash (6 kishilik 4 guruh, har bir guruhdan 1 kishi).

Yangi guruh a'zolariga o'rganilgan materialni tushuntirish. (Tengdoshlarni baholash - o'quvchining materialni tushuntirishiga sharh)

V . Nazariy materialning o'zlashtirilishini tekshirish.Savollarga nazariy materialning ushbu qismini tushuntirmagan talabalar javob beradilar.

1) maxrajdagi kvadrat ildiz belgisi ostidagi son yoki ifoda omillardan biri bo‘lsa, kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qanday qutulish mumkin?

2) Kasrning maxraji tarkibida kvadrat ildiz bo‘lgan ikkita ifodaning yig‘indisi yoki ayirmasi bo‘lsa, kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qanday qutulish mumkin?

3) kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qanday qutulish mumkin

4) Kasrning maxrajidagi irratsionallikdan qanday qutulish mumkin

VI . O'rganilgan materialni birlashtirish. Mustaqil ishlarni tekshirish.

81-son (“Algebra” 8-sinf, A. Abilqosymova, I. Bekboev, A. Abdiev, Z, Jumagulova)

170-son (1,2,3,5,6) (“Algebra” 8-sinf, A.Shinibekov)

Baholash mezonlari:

A darajasi - № 81 misollar 1-5 "3" bahosi

B darajasi - 81-sonli misollar 6-8 va 170-sonli misollar 5,6 “4” bahosi.

C darajasi - № 170 misollar 1-6 "5" bahosi

(o'z-o'zini baholash, flipchartni tekshirish)

VII . Uy vazifasi.

№ 218

VIII. Reflektsiya. "Telegram"

Hamma telegramma shaklini to'ldirishga taklif qilinadi, shu bilan birga quyidagi ko'rsatma olinadi: “O'tgan dars haqida nima deb o'ylaysiz? Siz uchun nima muhim edi? Siz nimani o'rgandingiz? Sizga nima yoqdi? Nima noaniq qolmoqda? Qaysi yo'nalishda oldinga siljishimiz kerak? Iltimos, menga bu haqda qisqa xabar yozing - 11 so'zdan iborat telegramma. Kelgusi ishda hisobga olish uchun sizning fikringizni bilmoqchiman.

Darsning qisqacha mazmuni.