Bitta o‘zgaruvchili funktsiyaning hosilasi.

Kirish.

Haqiqiy uslubiy ishlanmalar sanoat va qurilish fakulteti talabalari uchun mo'ljallangan. Ular "Bir o'zgaruvchining funksiyalarining differentsial hisobi" bo'limida matematika kursi dasturiga bog'liq holda tuzilgan.

Ishlanmalar yagona uslubiy qo'llanmani ifodalaydi, jumladan: qisqacha nazariy ma'lumotlar; Ushbu yechimlar uchun batafsil echimlar va tushuntirishlar bilan "standart" muammolar va mashqlar; test imkoniyatlari.

Har bir paragrafning oxirida qo'shimcha mashqlar mavjud. Ishlanmalarning bunday tuzilishi ularni o'qituvchining minimal yordami bilan bo'limni mustaqil o'zlashtirish uchun qulay qiladi.

§1. Tsiklning ta'rifi.

Mexanik va geometrik ma'no

hosila.

Tuzama tushunchasi matematik tahlilning eng muhim tushunchalaridan biri bo'lib, u 17-asrda paydo bo'lgan. Hosila tushunchasining shakllanishi tarixan ikkita muammo bilan bog'liq: o'zgaruvchan harakat tezligi muammosi va egri chiziqqa tegish muammosi.

Bu masalalar, ularning mazmuni turlicha bo'lishiga qaramay, funktsiyada bajarilishi kerak bo'lgan bir xil matematik operatsiyaga olib keladi. Funktsiyani differentsiallash operatsiyasi deyiladi. Differensiatsiya operatsiyasining natijasi hosila deyiladi.

Demak, y=f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi funksiya ortishining argument ortishiga nisbatining chegarasi (agar u mavjud bo‘lsa) bo‘ladi.
da
.

Hosil odatda quyidagicha ifodalanadi:
.

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra

Belgilar hosilalarni belgilash uchun ham ishlatiladi
.

Hosilning mexanik ma'nosi.

Agar s=s(t) - qonun to'g'ri chiziqli harakat moddiy nuqta, keyin
bu nuqtaning t vaqtidagi tezligi.

Hosilning geometrik ma'nosi.

Agar y=f(x) funksiya nuqtada hosilaga ega bo'lsa , Bu qiyalik nuqtadagi funksiya grafigiga teginish
teng
.

Misol.

Funktsiyaning hosilasini toping
nuqtada =2:

1) Keling, bir nuqtani beraylik =2 o'sish
. E'tibor bering, bu.

2) Funktsiyaning nuqtadagi o'sish qismini toping =2:

3) Funksiya ortishining argument ortishiga nisbatini yaratamiz:

da nisbat chegarasini topamiz
:

.

Shunday qilib,
.

§ 2. Ayrimlarning hosilalari

eng oddiy funktsiyalar.

Talaba xususiy funksiyalarning hosilalarini hisoblashni o‘rganishi kerak: y=x,y= va umuman = .

y=x funksiyaning hosilasi topilsin.

bular. (x)′=1.

Funktsiyaning hosilasi topilsin

Hosil

Mayli
Keyin

Quvvat funksiyasining hosilalarini ifodalashda naqshni sezish oson
n=1,2,3 bilan.

Demak,

. (1)

Bu formula har qanday haqiqiy n uchun amal qiladi.

Xususan, (1) formuladan foydalanib, bizda quyidagilar mavjud:

;

.

Misol.

Funktsiyaning hosilasini toping

.

.

Bu funksiya shakl funksiyasining alohida holatidir

da
.

Formuladan (1) foydalanib, biz bor

.

y=sin x va y=cos x funksiyalarning hosilalari.

y=sinx bo'lsin.

∆x ga bo'linadi, biz olamiz

∆x→0 chegarasiga o'tsak, biz bor

y=cosx bo'lsin.

∆x→0 chegarasiga o'tib, biz olamiz

;
. (2)

§3. Farqlashning asosiy qoidalari.

Keling, farqlash qoidalarini ko'rib chiqaylik.

Teorema1 . Agar u=u(x) va v=v(x) funksiyalar berilgan x nuqtada differentsiallansa, bu nuqtada ularning yig’indisi differentsiallanadi va yig’indining hosilasi hadlar hosilalari yig’indisiga teng bo’ladi. : (u+v)"=u"+v".(3 )

Isbot: y=f(x)=u(x)+v(x) funksiyani ko‘rib chiqamiz.

X argumentining ∆x ortishi u va v funksiyalarning ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) o’sishlariga mos keladi. Shunda y funksiyasi ortadi

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Demak,

Demak, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Agar u=u(x) va v=v(x) funksiyalar berilgan x nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, ularning ko’paytmasi bir nuqtada differentsial bo’ladi, bu holda hosilaning hosilasi quyidagi formula bo’yicha topiladi: ( uv)"=u"v+uv". (4)

Isbot: y=uv bo‘lsin, bu yerda u va v x ning ba’zi differentsiallanuvchi funksiyalari. X ga ∆x o'sish beraylik, u holda u ∆u, v ∆v, y esa ∆y o'sishni oladi.

Bizda y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), yoki bor

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Demak, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Bu yerdan

∆x→0 chegarasiga o'tsak va u va v ning ∆x ga bog'liq emasligini hisobga olsak, bizda shunday bo'ladi.

Teorema 3. Ikki funktsiyaning ko'paytmasining hosilasi kasrga teng bo'lib, uning maxraji bo'linuvchining kvadratiga teng bo'ladi va hisoblagich bo'linuvchining dividend hosilasi ko'paytmasi bilan bo'linuvchining ko'paytmasi o'rtasidagi farqdir. bo'luvchining hosilasi bo'yicha dividend, ya'ni.

Agar
Bu
(5)

Teorema 4. Doimiy miqdorning hosilasi nolga teng, ya'ni. agar y=C, bu erda C=const, u holda y"=0.

Teorema 5. Doimiy omil hosilaning belgisidan chiqarilishi mumkin, ya'ni. agar y=Cu(x), bu yerda C=const, u holda y"=Cu"(x).

1-misol.

Funktsiyaning hosilasini toping

.

Bu funktsiya shaklga ega
, bu erda u=x,v=cosx. Differensiatsiya qoidasini qo'llagan holda (4) topamiz

.

2-misol.

Funktsiyaning hosilasini toping

.

(5) formulani qo'llaymiz.

Bu yerga
;
.

Vazifalar.

hosilalarni toping quyidagi funktsiyalar:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Funktsiyaning hosilasi differentsial hisobda asosiy element deb ataladi. Bu element asl funktsiyaga nisbatan qandaydir o'ziga xos farqlash amalini qo'llashning o'ziga xos natijasidir.

Hosila tushunchasi

Hosila nima ekanligini tushunish uchun funktsiya nomi to'g'ridan-to'g'ri "hosil" so'zidan kelib chiqqanligini, ya'ni boshqa miqdordan hosil bo'lishini bilishingiz kerak. Shu bilan birga, ma'lum bir funktsiyaning hosilasini aniqlash jarayonining o'zi ham nomga ega - "differentsiatsiya".

Differensial hisoblashdan ancha keyin paydo bo'lganiga qaramay, chegaralar nazariyasini qo'llashda ifodalash va aniqlashning eng keng tarqalgan usuli. Ushbu nazariyaning ta'rifiga ko'ra, hosila - bu funktsiyalarning o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, agar shunday chegara mavjud bo'lsa va bu argument nolga moyil bo'lsa.

Quyida ko'rib chiqilgan kichik misol hosila nima ekanligini aniq tushunishga yordam beradi.

1. X nuqtada f funktsiyaning hosilasini topish uchun biz ushbu funktsiyaning qiymatlarini to'g'ridan-to'g'ri x nuqtada, shuningdek x + Dx nuqtasida aniqlashimiz kerak. Bundan tashqari, Dx - x argumentining o'sishi.
2. f(x+Dx) – f(x) ga teng bo‘lgan y funksiya uchun o‘sishni toping.
3. f’ = lim(f(x+Dx) – f(x))/Dx munosabat chegarasidan foydalanib hosilani yozing, uni Dx → 0 da hisoblang.

Odatda lotin apostrof bilan belgilanadi - to'g'ridan-to'g'ri differentsiallanayotgan funktsiyaning tepasida "'". Bitta apostrof ko'rinishidagi yozuv birinchi hosilani, ikkitasi ko'rinishida esa ikkinchisini bildiradi. Hosil eng yuqori tartib Tegishli raqamni ko'rsatish odatiy holdir, masalan, f ^ (n) - n-tartibli hosila nimani anglatadi, bu erda "n" harfi butun sondir, qaysi? 0. Nol tartibli hosila differensiallanuvchi funksiyaning o‘zi.

Murakkab funktsiyalarni farqlashni osonlashtirish uchun funktsiyalarni farqlash uchun ma'lum qoidalar ishlab chiqilgan va qabul qilingan:

• C’ = 0, bu yerda C doimiyning belgilanishi;
• x' 1 ga teng;
• (f + g)’ f’ + g’ ga teng;
• (C*f)’ C*f’ ga teng va hokazo.
• N katlamli differentsiallash uchun Leybnits formulasidan quyidagi ko'rinishda foydalanish qulayroqdir: (f*g) (n) = S C(n) k *f (n-k) *g k, bunda C(n) k. binomial koeffitsientlarni belgilash.

Hosil va geometriya

Hosilning geometrik tushunchasi shundan iboratki, agar f funktsiya x nuqtada chekli hosilaga ega bo'lsa, u holda bu hosilaning qiymati shu nuqtadagi f funktsiyaga teginish qiyaligining tangensiga teng bo'ladi.

Funksiya nuqtada va uning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin. Argumentga shunday o'sish beraylikki, nuqta funktsiyani aniqlash sohasiga to'g'ri keladi. Shundan so'ng funktsiya oshiriladi.

TA'RIF. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi bu nuqtadagi funktsiya o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi deb ataladi, at (agar bu chegara mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa), ya'ni.

Belgilang: ,,,.

Funktsiyaning o'ngdagi nuqtadagi hosilasi (chap) chaqirdi

(agar bu chegara mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa).

Belgilangan: , – o‘ngdagi nuqtada hosila,

, chapdagi nuqtadagi hosiladir.

Shubhasiz, quyidagi teorema to'g'ri.

TEOREMA. Funktsiya nuqtada hosilaga ega bo'ladi, agar shu nuqtada funktsiyaning o'ng va chap tomonidagi hosilalari mavjud bo'lsa va bir-biriga teng bo'lsa. Bundan tashqari

Quyidagi teorema funktsiyaning bir nuqtada hosilasi mavjudligi bilan funksiyaning shu nuqtadagi uzluksizligi o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadi.

TEOREMA (funksiyaning bir nuqtada hosilasi mavjudligining zaruriy sharti). Agar funktsiya nuqtada hosilasi bo'lsa, u holda bu nuqtadagi funktsiya uzluksizdir.

ISLOV

U mavjud bo'lsin. Keyin

,

qaerda cheksiz kichik.

Izoh

funktsiyaning hosilasi va belgilang

funktsiyani farqlash .

GEOMETRIK VA Jismoniy manosi

1) Hosilning fizik ma'nosi. Agar funktsiya va uning argumentlari bo'lsa jismoniy miqdorlar, keyin hosila o'zgaruvchining nuqtadagi o'zgaruvchiga nisbatan o'zgarish tezligidir. Masalan, agar - masofa, nuqta orqali o'tgan vaqt o'tishi bilan, keyin uning hosilasi vaqt momentidagi tezlikdir. Agar orqali o'tadigan elektr miqdori ko'ndalang kesim bir vaqtning o'zida o'tkazgich, keyin bir vaqtning o'zida elektr miqdorining o'zgarish tezligi, ya'ni. bir vaqtning o'zida joriy kuch.

2) Hosilning geometrik ma'nosi.

Qandaydir egri chiziq bo'lsin, egri chiziqdagi nuqta bo'lsin.

Eng kamida ikkita nuqtani kesib o'tuvchi har qanday to'g'ri chiziq deyiladi sekant .

Bir nuqtadagi egri chiziqqa tangens Agar nuqta egri chiziq bo'ylab harakatlansa, sekantning chegara holati deb ataladi.

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, agar egri chiziqqa tegish nuqtada mavjud bo'lsa, u yagonadir.

Egri chiziqni (ya'ni, funktsiya grafigini) ko'rib chiqing. Bir nuqtada vertikal bo'lmagan tangensga ega bo'lsin. Uning tenglamasi: (nuqtadan o'tuvchi va burchak koeffitsientiga ega bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi).

Nishabning ta'rifi bo'yicha

to'g'ri chiziqning o'qqa moyillik burchagi qayerda.

Sekantning o'qga moyillik burchagi bo'lsin, bu erda. Chunki tangens, keyin qachon

Demak,

Shunday qilib, biz buni oldik – nuqtadagi funksiya grafigiga tegishning burchak koeffitsienti (geometrik ma'no nuqtadagi funktsiyaning hosilasi). Demak, bir nuqtadagi egri chiziqqa teginish tenglamasini shaklda yozish mumkin

Izoh . Nuqtadagi egri chiziqqa chizilgan tangensga perpendikulyar nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq deyiladi nuqtadagi egri chiziqqa normal . Perpendikulyar to'g'ri chiziqlarning burchak koeffitsientlari o'zaro bog'liqlik bilan bog'liq bo'lganligi sababli, bir nuqtadagi egri chiziqning normal tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi.

, Agar .

Agar bo'lsa, u holda nuqtadagi egri chiziqqa tegish ko'rinishga ega bo'ladi

va normal.

TANGENT VA NORMAL TENGLAMALAR

Tangens tenglamasi

Funktsiya tenglama bilan berilgan bo'lsin y=f(x), tenglamani yozishingiz kerak tangens nuqtada x 0. Hosila ta’rifidan:

y/(x)=limD x→0Δ yΔ x

Δ y=f(x+Δ x)−f(x).

Tenglama tangens funktsiya grafigiga: y=kx+b (k,b=const). Hosilning geometrik ma'nosidan: f/(x 0)=tgα= k Chunki x 0 va f(x 0)∈ to'g'ri chiziq, keyin tenglama tangens quyidagicha yoziladi: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0), yoki

y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.

Oddiy tenglama

Oddiy- ga perpendikulyar tangens(rasmga qarang). Shu asosda:

tgβ= tg(2p−a)= ctg a=1 tg a=1 f/(x 0)

Chunki normalning qiyalik burchagi b1 burchak bo'lsa, bizda:

tg b1= tg(π−β)=− tg b=−1 f/(x).

nuqta ( x 0,f(x 0))∈ normal, tenglama quyidagi shaklni oladi:

y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).

ISLOV

U mavjud bo'lsin. Keyin

,

qaerda cheksiz kichik.

Ammo bu uning bir nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi (uzluksizlikning geometrik ta'rifiga qarang). ∎

Izoh . Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi bu funksiyaning hosilasining nuqtada mavjudligi uchun yetarli shart emas. Masalan, funktsiya uzluksiz, lekin nuqtada hosilasi yo'q. Haqiqatan ham,

va shuning uchun mavjud emas.

Shubhasiz, yozishmalar ba'zi bir to'plamda aniqlangan funktsiyadir. Uni chaqirishadi funktsiyaning hosilasi va belgilang

Funksiyaning hosila funksiyasini topish operatsiyasi deyiladi funktsiyani farqlash .

Yig'indi va ayirmaning hosilasi

Bizga hosilalari ma’lum bo‘lgan f(x) va g(x) funksiyalar berilsin. Misol uchun, siz yuqorida muhokama qilingan elementar funktsiyalarni olishingiz mumkin. Keyin ushbu funktsiyalarning yig'indisi va farqining hosilasini topishingiz mumkin:

(f + g) ' = f ' + g '

(f − g)’ = f ’ − g ’

Demak, ikki funktsiya yig‘indisining (farqining) hosilasi hosilalarning yig‘indisiga (farqiga) teng bo‘ladi. Ko'proq shartlar bo'lishi mumkin. Masalan, (f + g + h)' = f' + g' + h'.

Qat'iy aytganda, algebrada "ayirish" tushunchasi yo'q. "Salbiy element" tushunchasi mavjud. Shuning uchun f - g farqini f + (−1) g yig'indisi sifatida qayta yozish mumkin va keyin faqat bitta formula qoladi - yig'indining hosilasi.

Eslash juda oson.

Xo'sh, uzoqqa bormaylik, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqaylik. Qaysi funksiya ko‘rsatkichli funktsiyaga teskari funksiya hisoblanadi? Logarifm:

Bizning holatda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Bu nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Eksponensial va natural logarifm hosila nuqtai nazaridan juda oddiy funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Nima qoidalari? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Ana xolos. Bu jarayonni bir so'z bilan yana nima deb atash mumkin? Hosil emas... Matematiklar differensialni funksiyaning bir xil o'sish qismi deb atashadi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizga formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Bo'lsin, yoki oddiyroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

1. bir nuqtada;
2. bir nuqtada;
3. bir nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki bu chiziqli funksiya, esingizdami?);

Mahsulotning hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: keling, yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

1. va funksiyalarining hosilalarini toping;
2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichlarni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (bu nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, qandaydir raqam qaerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga qisqartirishga harakat qilaylik:

Buning uchun biz foydalanamiz oddiy qoida: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: u xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu shunchaki hisoblagichsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni boshqa yozib bo'lmaydi. oddiy shaklda. Shuning uchun biz uni javobda ushbu shaklda qoldiramiz.

E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz mos keladigan farqlash qoidasini qo'llaymiz:

Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Bu erda ham xuddi shunday: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, boshqa asosli ixtiyoriy logarifmni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga qisqartirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Buning o'rniga faqat hozir yozamiz:

Maxraj oddiygina doimiy (o‘zgarmas son, o‘zgaruvchisiz). lotin juda oddiy olinadi:

Ko'rsatkichlarning hosilalari va logarifmik funktsiyalar Yagona davlat imtihonida deyarli hech qachon ko'rinmaydi, lekin ularni bilish zarar qilmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

Nima bo'ldi " murakkab funktsiya"? Yo'q, bu logarifm emas, arktangent emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz logarifmni qiyin deb bilsangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va siz yaxshi bo'lasiz), lekin matematik nuqtai nazardan, "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Natijada kompozitsion ob'ekt paydo bo'ladi: shokolad bari o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari qadamlarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda biz sonning kosinusini topamiz, so'ngra olingan sonning kvadratini olamiz. Shunday qilib, bizga raqam (shokolad) beriladi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni to'g'ridan-to'g'ri o'zgaruvchi bilan, so'ngra ikkinchi amalni birinchisidan kelib chiqqan holda bajaramiz.

Boshqa so'z bilan, murakkab funksiya - bu argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funksiya: .

Bizning misolimiz uchun, .

Xuddi shu amallarni teskari tartibda bemalol bajarishimiz mumkin: avval siz uni kvadratga aylantirasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman: . Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Muhim xususiyat murakkab funktsiyalar: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Oxirgi qilgan amalimiz chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchilarni o'zgartirishga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

1. Biz birinchi navbatda qanday harakat qilamiz? Birinchidan, sinusni hisoblab chiqamiz va shundan keyingina uni kubga aylantiramiz. Bu shuni anglatadiki, bu ichki funktsiya, lekin tashqi funktsiya.
   Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
2. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
3. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
4. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
5. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .

Biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokolad barimizni ajratib olamiz va hosilani qidiramiz. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Ilova qilingan asl misol bu shunday ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozircha uni kesishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqmaydi, esingizdami?)

3) Ichki: ;

Tashqi: ;

Bu uch darajali murakkab funktsiya ekanligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiyadir va biz undan ildizni ham chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'rashga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: biz hali ham bu funktsiyani odatdagidek tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifodaning qiymatini hisoblash uchun amallarni qanday tartibda bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kechroq bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi avvalgidek:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Funktsiyaning hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

Yig'indining hosilasi:

Mahsulot hosilasi:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
2. Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Reja:

1. Funksiyaning hosilasi

2. Differensial funksiya

3. Differensial hisoblashni funksiyalarni o‘rganishda qo‘llash

Bitta o‘zgaruvchili funktsiyaning hosilasi

Funktsiya ma'lum bir intervalda aniqlansin. Argumentga o'sish sur'atini beramiz: , keyin funktsiya o'sishni oladi. Bu nisbatning chegarasini topamiz. Agar bu chegara mavjud bo'lsa, u funktsiyaning hosilasi deyiladi. Funktsiyaning hosilasi bir nechta belgilarga ega: . Baʼzan hosila yozuvida hosila qaysi oʻzgaruvchiga nisbatan olinganligini koʻrsatuvchi indeks qoʻllaniladi.

Ta'rif. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu argumentning o'sishi nolga moyil bo'lganda (agar bu chegara mavjud bo'lsa):

Ta'rif. Intervalning har bir nuqtasida hosilasi bo'lgan funksiya deyiladi farqlanadigan bu oraliqda.

Ta'rif. Funktsiyaning hosilasini topish operatsiyasi deyiladi farqlash.

Funksiya hosilasining nuqtadagi qiymati quyidagi belgilardan biri bilan belgilanadi: .

Misol. Funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi hosilasini toping.

Yechim. Biz qiymatga o'sish beramiz. Funktsiyaning nuqtadagi o'sishini topamiz: . Keling, munosabatlarni yarataylik. Keling, chegaraga o'tamiz: . Shunday qilib, .

Hosilning mexanik ma'nosi. Chunki yoki, ya'ni. moddiy nuqtaning vaqt lahzasidagi to'g'ri chiziqli harakati tezligi vaqtga nisbatan yo'lning hosilasidir. Bu hosilaning mexanik ma'nosi .

Agar funktsiya har qanday fizik jarayonni tavsiflasa, hosila bu jarayonning sodir bo'lish tezligidir. Bu jismoniy ma'no hosila .

Hosilning geometrik ma'nosi. Bir nuqtada vertikal bo'lmagan tangensga ega bo'lgan uzluksiz egri chiziqning grafigini ko'rib chiqing. Uning burchak koeffitsientini topamiz, bu erda o'q bilan teginish burchagi. Buning uchun nuqta va grafik orqali sekant chiziq chiziladi (1-rasm).

Sekant va o'q orasidagi burchakni - bilan belgilaymiz. Rasmda sekantning burchak koeffitsienti teng ekanligini ko'rsatadi

Qachonki, funktsiyaning uzluksizligi tufayli o'sish ham nolga intiladi; shuning uchun nuqta egri chiziq bo'ylab nuqtaga cheksiz yaqinlashadi va sekant nuqta atrofida aylanib, tangensga aylanadi. Burchak, ya'ni. . Demak, , demak, tangensning qiyaligi ga teng.

Tangensning egri chiziqqa qiyaligi

Keling, bu tenglikni quyidagi shaklda qayta yozamiz: , ya'ni. nuqtadagi hosila abtsissasi teng bo'lgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginish qiyaligiga teng. Bu hosilaning geometrik ma'nosi .

Agar teginish nuqtasi koordinatalariga ega bo'lsa (2-rasm), teginishning burchak koeffitsienti quyidagilarga teng: .

Berilgan nuqtadan ma'lum yo'nalishda o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega.

Keyin tangens tenglamasi shaklida yoziladi: .

Ta'rif. Aloqa nuqtasida tangensga perpendikulyar to'g'ri chiziq deyiladi egri chiziqqa normal.

Normalning burchak koeffitsienti teng: (chunki normal tangensga perpendikulyar).

Oddiy tenglama quyidagi shaklga ega:, Agar .

Topilgan qiymatlarni almashtirib, biz tangens tenglamalarni olamiz, ya'ni. .

Oddiy tenglama: yoki .

Agar funktsiya nuqtada chekli hosilaga ega bo'lsa, u o'sha nuqtada differentsiallanadi. Agar funktsiya oraliqning har bir nuqtasida differentsiallanadigan bo'lsa, u o'sha oraliqda differentsiallanadi.

6.1 teorema Agar funktsiya qaysidir nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u erda uzluksizdir.

Qarama-qarshi teorema to'g'ri emas. Uzluksiz funktsiyaning hosilasi bo'lmasligi mumkin.

Misol. Funksiya oraliqda uzluksizdir (3-rasm).

Yechim.

Ushbu funktsiyaning hosilasi quyidagilarga teng:

Bir nuqtada - funktsiyani differentsiallash mumkin emas.

Izoh. Amalda, ko'pincha siz murakkab funktsiyalarning hosilalarini topishingiz kerak. Shuning uchun, differentsiatsiya formulalari jadvalida argument oraliq argument bilan almashtiriladi.

Hosilalar jadvali

Doimiy

Quvvat funktsiyasi:

2) xususan;

Eksponensial funktsiya:

3) xususan;

Logarifmik funktsiya:

4) xususan;

Trigonometrik funktsiyalar:

Teskari trigonometrik funktsiyalar , , , :

Funksiyani differensiallash uning hosilasini topish, ya’ni chegarani hisoblash demakdir: . Biroq, ko'p hollarda chegarani aniqlash mashaqqatli vazifadir.

Agar siz asosiyning hosilalarini bilsangiz elementar funktsiyalar va bu funksiyalar bo‘yicha arifmetik amallar natijalarini farqlash qoidalarini bilsangiz, maktab kursidan yaxshi ma’lum bo‘lgan hosilalarni aniqlash qoidalariga asosan istalgan elementar funksiyalarning hosilalarini osongina topishingiz mumkin.

Funktsiyalar va ma'lum bir oraliqda ikkita differentsiallanuvchi funktsiya bo'lsin.

6.2 teorema Ikki funktsiya yig'indisining (farqining) hosilasi ushbu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga (farqiga) teng: .

Teorema har qanday cheklangan sonli hadlar uchun amal qiladi.

Misol. Funktsiyaning hosilasini toping.

Yechim.

6.3 teorema Ikki funktsiya hosilasining hosilasi birinchi koeffitsientning hosilasi va ikkinchi ko'paytmaning birinchi koeffitsienti va ikkinchisining hosilasi ko'paytmasiga teng: .

Misol. Funktsiyaning hosilasini toping .

Yechim.

6.4 teorema Ikki funktsiya bo'limining hosilasi, agar kasrga teng bo'lsa, uning soni kasrning maxraji va hosilasi va kasrning hosilasi va kasrning hosilasi o'rtasidagi ayirma bo'lsa; maxraj esa oldingi maxrajning kvadrati: .

Misol. Funktsiyaning hosilasini toping .

Yechim. .

Murakkab funktsiyaning hosilasini topish uchun ushbu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini mustaqil argumentga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytirish kerak.

Agar bir nechta oraliq argumentlar mavjud bo'lsa, bu qoida o'z kuchida qoladi. Demak, agar , , , bo'lsa

Keling va, keyin - oraliq argumentli va mustaqil argumentli murakkab funktsiya.

6.5 teorema Agar funktsiyaning nuqtada hosilasi bo'lsa va funktsiyaning tegishli nuqtasida hosilasi bo'lsa, u holda kompleks funktsiya nuqtada hosilasi bo'lib, formula bo'yicha topiladi. , Funktsiyaning hosilasini toping, tenglama bilan berilgan: .

Yechim. Funktsiya bilvosita ko'rsatilgan. ga nisbatan tenglamani farqlaylik, buni eslaylik: . Keyin topamiz: .