Kvadrat tenglama eng ko'p ikkita ildizga ega. Kvadrat tenglamalarni yechish. To'liq kvadrat tenglamani qanday yechish mumkin

Umid qilamanki, ushbu maqolani o'rganib chiqqandan so'ng, siz to'liqlikning ildizlarini topishni o'rganasiz kvadrat tenglama.

Diskriminantdan foydalanib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish uchun faqat to'liq kvadrat tenglamalar echiladi, siz "To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish" maqolasida topasiz.

Qanday kvadrat tenglamalar to'liq deyiladi? Bu ax 2 + b x + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalar, bu erda a, b va c koeffitsientlari nolga teng emas. Demak, toʻliq kvadrat tenglamani yechish uchun D diskriminantini hisoblashimiz kerak.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantning qiymatiga qarab, biz javobni yozamiz.

Agar diskriminant manfiy raqam bo'lsa (D< 0),то корней нет.

Agar diskriminant bo'lsa nolga teng, keyin x = (-b)/2a. Diskriminant musbat son bo'lsa (D > 0),

keyin x 1 = (-b - √D)/2a va x 2 = (-b + √D)/2a.

Masalan. Tenglamani yeching x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Javob: 2.

2-tenglamani yeching x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Javob: ildiz yo'q.

2-tenglamani yeching x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Javob: – 3,5; 1.

Shunday qilib, keling, 1-rasmdagi diagrammadan foydalanib, to'liq kvadrat tenglamalarning yechimini tasavvur qilaylik.

Ushbu formulalar yordamida siz har qanday to'liq kvadrat tenglamani echishingiz mumkin. Siz shunchaki ehtiyot bo'lishingiz kerak tenglama standart ko'rinishdagi ko'phad sifatida yozildi

A x 2 + bx + c, aks holda siz xato qilishingiz mumkin. Masalan, x + 3 + 2x 2 = 0 tenglamasini yozishda siz noto'g'ri qaror qabul qilishingiz mumkin

a = 1, b = 3 va c = 2. Keyin

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 va keyin tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. Va bu haqiqat emas. (Yuqoridagi 2-misolning yechimiga qarang).

Shuning uchun, agar tenglama standart ko'rinishdagi ko'phad sifatida yozilmagan bo'lsa, birinchi navbatda to'liq kvadrat tenglama standart shakldagi ko'phad sifatida yozilishi kerak (eng katta ko'rsatkichga ega monom birinchi bo'lishi kerak, ya'ni A x 2 , keyin kamroq bilan – bx va keyin bepul a'zo Bilan.

Qisqartirilgan kvadrat tenglama va juft koeffitsientli kvadrat tenglamani ikkinchi hadda yechishda siz boshqa formulalardan foydalanishingiz mumkin. Keling, ushbu formulalar bilan tanishaylik. Agar to'liq kvadrat tenglamada ikkinchi hadning juft koeffitsienti (b = 2k) bo'lsa, unda siz 2-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalar yordamida tenglamani echishingiz mumkin.

Agar koeffitsient at bo'lsa, to'liq kvadrat tenglama qisqartirilgan deb ataladi x 2 birga teng va tenglama shaklni oladi x 2 + px + q = 0. Bunday tenglamani yechish uchun berish mumkin yoki tenglamaning barcha koeffitsientlarini koeffitsientga bo'lish yo'li bilan olish mumkin. A, da turgan x 2 .

3-rasmda qisqartirilgan kvadratni yechish sxemasi ko'rsatilgan
tenglamalar. Keling, ushbu maqolada muhokama qilingan formulalarni qo'llash misolini ko'rib chiqaylik.

Misol. Tenglamani yeching

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu tenglamani 1-rasmdagi diagrammada ko‘rsatilgan formulalar yordamida yechamiz.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Javob: –1 – √3; –1 + √3

Bu tenglamadagi x ning koeffitsienti juft son, ya'ni b = 6 yoki b = 2k, bundan k = 3 ekanligini ko'rishingiz mumkin. Keyin D rasmining diagrammasida ko'rsatilgan formulalar yordamida tenglamani echishga harakat qilaylik. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Javob: –1 – √3; –1 + √3. Ushbu kvadrat tenglamadagi barcha koeffitsientlar 3 ga bo'linishini ko'rib, bo'linishni bajarib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu tenglamani qisqartirilgan kvadrat uchun formulalar yordamida yeching.
tenglamalar 3-rasm.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Javob: –1 – √3; –1 + √3.

Ko'rib turganimizdek, bu tenglamani yechishda turli formulalar biz ham xuddi shunday javob oldik. Shuning uchun, 1-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalarni puxta o'zlashtirib, siz har doim har qanday to'liq kvadrat tenglamani yecha olasiz.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Biz mavzuni o'rganishda davom etamiz " tenglamalarni yechish" Biz allaqachon chiziqli tenglamalar bilan tanishdik va ular bilan tanishishga o'tamiz kvadrat tenglamalar.

Avval kvadrat tenglama nima ekanligini va u qanday yozilganligini ko'rib chiqamiz umumiy ko'rinish, va tegishli ta'riflarni bering. Shundan so'ng, biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini batafsil tekshirish uchun misollardan foydalanamiz. Keyinchalik, biz to'liq tenglamalarni echishga o'tamiz, ildiz formulasini olamiz, kvadrat tenglamaning diskriminanti bilan tanishamiz va tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz. Nihoyat, ildizlar va koeffitsientlar orasidagi bog'lanishlarni kuzatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kvadrat tenglama nima? Ularning turlari

Avval kvadrat tenglama nima ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Shuning uchun kvadrat tenglamalar haqida suhbatni kvadrat tenglamaning ta'rifi, shuningdek, tegishli ta'riflar bilan boshlash mantiqan to'g'ri keladi. Shundan so'ng siz kvadrat tenglamalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishingiz mumkin: qisqartirilgan va qisqartirilmagan, shuningdek to'liq va to'liq bo'lmagan tenglamalar.

Kvadrat tenglamalarning ta’rifi va misollari

Ta'rif.

Kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir a x 2 +b x+c=0, bu erda x - o'zgaruvchi, a, b va c - ba'zi sonlar, a esa nolga teng emas.

Darhol aytaylik, kvadrat tenglamalar ko'pincha ikkinchi darajali tenglamalar deb ataladi. Bu kvadrat tenglamaning bo'lishi bilan bog'liq algebraik tenglama ikkinchi daraja.

Belgilangan ta'rif kvadrat tenglamalarga misollar keltirish imkonini beradi. Demak, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 va hokazo. Bular kvadrat tenglamalar.

Ta'rif.

Raqamlar a, b va c deyiladi kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a·x 2 +b·x+c=0, va a koeffitsienti birinchi yoki eng yuqori deyiladi yoki x 2 koeffitsienti, b ikkinchi koeffitsient yoki x koeffitsienti, c esa erkin haddir. .

Masalan, 5 x 2 −2 x −3=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani olaylik, bu yerda yetakchi koeffitsient 5 ga, ikkinchi koeffitsient −2 ga, erkin had esa −3 ga teng. Iltimos, shuni yodda tutingki, b va/yoki c koeffitsientlari manfiy bo'lganda, yuqoridagi misoldagi kabi, kvadrat tenglamaning qisqa shakli 5 x 2 +(−2 ) emas, balki 5 x 2 −2 x−3=0 ni tashkil qiladi. ·x+(−3)=0 .

Shuni ta'kidlash kerakki, a va/yoki b koeffitsientlari 1 yoki -1 ga teng bo'lganda, ular odatda kvadrat tenglamada aniq mavjud emas, bu bunday yozishning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq. Masalan, y 2 −y+3=0 kvadrat tenglamada yetakchi koeffitsient bitta, y koeffitsienti esa −1 ga teng.

Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Etakchi koeffitsientning qiymatiga qarab qisqartirilgan va kamaytirilmagan kvadrat tenglamalar farqlanadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Etakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi berilgan kvadrat tenglama. Aks holda kvadrat tenglama bo'ladi tegmagan.

Ga binoan bu ta'rif, kvadrat tenglamalar x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 va hokazo. – berilgan, ularning har birida birinchi koeffitsient birga teng. 5 x 2 −x−1=0 va boshqalar. - qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar, ularning yetakchi koeffitsientlari 1 dan farq qiladi.

Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamadan ikkala tomonni etakchi koeffitsientga bo'lish orqali siz qisqartirilganga o'tishingiz mumkin. Bu harakat ekvivalent o'zgartirishdir, ya'ni shu yo'l bilan olingan qisqartirilmagan kvadrat tenglama boshlang'ich qisqartirilmagan kvadrat tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki shunga o'xshash hech qanday ildizga ega emas.

Keling, qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilgan tenglamaga o'tish qanday amalga oshirilishiga misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

3 x 2 +12 x−7=0 tenglamadan mos keladigan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'ting.

Yechim.

Biz faqat dastlabki tenglamaning ikkala tomonini etakchi koeffitsient 3 ga bo'lishimiz kerak, u nolga teng emas, shuning uchun biz bu amalni bajarishimiz mumkin. Bizda (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 bor, bu bir xil, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, keyin esa (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, bu yerdan. Shunday qilib biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani oldik, bu asl tenglamaga teng.

Javob:

To'liq va to'liqsiz kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamaning ta'rifi a≠0 shartini o'z ichiga oladi. Bu shart a x 2 + b x + c = 0 tenglama kvadratik bo'lishi uchun zarur, chunki a = 0 bo'lganda u haqiqatda b x + c = 0 ko'rinishdagi chiziqli tenglamaga aylanadi.

b va c koeffitsientlariga kelsak, ular alohida va birgalikda nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday hollarda kvadrat tenglama to'liq emas deb ataladi.

Ta'rif.

a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglama deyiladi to'liqsiz, agar b, c koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lsa.

O'z navbatida

Ta'rif.

To‘liq kvadrat tenglama barcha koeffitsientlari noldan farq qiladigan tenglamadir.

Bunday nomlar tasodifan berilmagan. Bu keyingi muhokamalardan oydinlashadi.

Agar b koeffitsienti nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama a·x 2 +0·x+c=0 ko'rinishini oladi va u a·x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Agar c=0 bo'lsa, ya'ni kvadrat tenglama a·x 2 +b·x+0=0 ko'rinishga ega bo'lsa, uni a·x 2 +b·x=0 ko'rinishida qayta yozish mumkin. Va b=0 va c=0 bilan a·x 2 =0 kvadrat tenglamani olamiz. Hosil boʻlgan tenglamalar toʻliq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonlarida na x oʻzgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Shuning uchun ularning nomi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Demak, x 2 +x+1=0 va −2 x 2 −5 x+0,2=0 tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamalarga misol bo‘ladi va x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Oldingi banddagi ma'lumotlardan kelib chiqadiki, mavjud to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning uch turi:

a·x 2 =0, unga b=0 va c=0 koeffitsientlari mos keladi;
b=0 bo'lganda a x 2 +c=0;
va c=0 bo'lganda ax·x 2 +b·x=0.

Keling, ushbu turlarning har birining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari qanday yechilishini tartibda ko'rib chiqaylik.

a x 2 = 0

b va c koeffitsientlari nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni, ya'ni a x 2 =0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan yechishdan boshlaylik. a·x 2 =0 tenglama har ikki qismni nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish yo'li bilan asl nusxadan olingan x 2 =0 tenglamaga ekvivalentdir. Shubhasiz, x 2 =0 tenglamaning ildizi nolga teng, chunki 0 2 =0. Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, bu har qanday nolga teng bo'lmagan p soni uchun p 2 >0 tengsizlik o'rinli ekanligi bilan izohlanadi, ya'ni p≠0 uchun p 2 =0 tenglikka hech qachon erishilmaydi.

Demak, a·x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning bitta ildizi x=0.

Misol tariqasida −4 x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning yechimini beramiz. U x 2 =0 tenglamaga ekvivalent, uning yagona ildizi x=0, demak, dastlabki tenglamaning bitta ildizi nolga ega.

Bu holda qisqacha yechim quyidagicha yozilishi mumkin:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Endi b koeffitsienti nolga teng va c≠0 bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar, ya'ni a x 2 +c=0 ko'rinishdagi tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz. Bizga ma’lumki, hadni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga qarama-qarshi ishorali ko‘chirish, shuningdek, tenglamaning har ikki tomonini nolga teng bo‘lmagan songa bo‘lish ekvivalent tenglamani beradi. Demak, a x 2 +c=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani quyidagi ekvivalent o‘zgartirishlarni amalga oshirishimiz mumkin:

c ni o'ng tomonga siljiting, bu a x 2 =−c tenglamani beradi,
va ikkala tomonni a ga bo'lamiz, olamiz.

Olingan tenglama uning ildizlari haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. a va c qiymatlariga qarab, ifodaning qiymati manfiy (masalan, a=1 va c=2 bo‘lsa) yoki ijobiy (masalan, a=−2 va c=6 bo‘lsa) bo‘lishi mumkin. u holda ), u nolga teng emas, chunki c≠0 sharti bilan. Keling, holatlarni alohida ko'rib chiqaylik.

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q. Bu gap har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmagan son ekanligidan kelib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, qachon bo'lsa, u holda har qanday p soni uchun tenglik to'g'ri bo'la olmaydi.

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari bilan vaziyat boshqacha. Bu holda, agar haqida eslasak, tenglamaning ildizi darhol aniq bo'ladi, chunki . Raqam tenglamaning ildizi ham ekanligini taxmin qilish oson, albatta. Bu tenglama, masalan, qarama-qarshilik bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan boshqa ildizlarga ega emas. Keling buni bajaramiz.

Hozirgina e'lon qilingan tenglamaning ildizlarini x 1 va -x 1 deb belgilaymiz. Aytaylik, tenglamaning ko'rsatilgan x 1 va -x 1 ildizlaridan farqli yana bitta x 2 ildizi bor. Ma'lumki, uning ildizlarini x o'rniga tenglamaga qo'yish tenglamani to'g'ri sonli tenglikka aylantiradi. x 1 va −x 1 uchun bizda , x 2 uchun esa . Raqamli tengliklarning xossalari to'g'rini davr bo'yicha ayirishni amalga oshirishga imkon beradi raqamli tengliklar, shuning uchun ayirish tegishli qismlar tenglik va x 1 2 −x 2 2 =0 ni beradi. Raqamlar bilan amallar xossalari hosil bo‘lgan tenglikni (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Biz bilamizki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa va faqat. Demak, natijaviy tenglikdan x 1 −x 2 =0 va/yoki x 1 +x 2 =0, ya’ni bir xil, x 2 =x 1 va/yoki x 2 =−x 1 kelib chiqadi. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, chunki boshida biz x 2 tenglamaning ildizi x 1 va -x 1 dan farq qiladi deb aytdik. Bu tenglamaning va dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaydi.

Keling, ushbu paragrafdagi ma'lumotlarni umumlashtiramiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent.

ildizlari yo'q, agar,
ikkita ildizga ega va agar .

a·x 2 +c=0 ko`rinishdagi to`liqsiz kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko`rib chiqamiz.

9 x 2 +7=0 kvadrat tenglamadan boshlaylik. Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng, u 9 x 2 =−7 ko'rinishini oladi. Hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini 9 ga bo'lib, ga erishamiz. O'ng tomon manfiy raqamga ega bo'lgani uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun 9 x 2 +7 = 0 asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.

Yana −x 2 +9=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani yechamiz. To'qqizni o'ng tomonga o'tkazamiz: −x 2 =−9. Endi ikkala tomonni -1 ga bo'lamiz, biz x 2 =9 ni olamiz. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud bo'lib, undan biz yoki degan xulosaga kelamiz. Keyin yakuniy javobni yozamiz: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama −x 2 +9=0 ikkita ildizga ega x=3 yoki x=−3.

a x 2 +b x=0

c=0 uchun oxirgi turdagi toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalarni yechish bilan shugʻullanish qoladi. a x 2 + b x = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar yechish imkonini beradi. faktorizatsiya usuli. Shubhasiz, biz tenglamaning chap tomonida joylashgan bo'lishimiz mumkin, buning uchun umumiy koeffitsient x ni qavsdan chiqarish kifoya. Bu bizga dastlabki toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamadan x·(a·x+b)=0 koʻrinishdagi ekvivalent tenglamaga oʻtish imkonini beradi. Va bu tenglama x=0 va a·x+b=0 ikkita tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'lib, ikkinchisi chiziqli va x=−b/a ildizga ega.

Demak, a·x 2 +b·x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning ikkita ildizi x=0 va x=−b/a.

Materialni birlashtirish uchun biz ma'lum bir misolning echimini tahlil qilamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Yechim.

Qavs ichidan x ni olish tenglamani beradi. Bu x=0 va ikkita tenglamaga ekvivalentdir. Biz olgan narsalarni hal qilish chiziqli tenglama: , va aralash sonni ga bo'lish oddiy kasr, topamiz. Demak, dastlabki tenglamaning ildizlari x=0 va .

Kerakli amaliyotni qo'lga kiritgandan so'ng, bunday tenglamalarning echimlarini qisqacha yozish mumkin:

Javob:

x=0, .

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Kvadrat tenglamalarni yechish uchun ildiz formulasi mavjud. Keling, yozamiz kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi: , Qayerda D=b 2 −4 a c- deb atalmish kvadrat tenglamaning diskriminanti. Kirish asosan shuni anglatadi.

Ildiz formulasi qanday olinganligini va kvadrat tenglamalarning ildizlarini topishda undan qanday foydalanishni bilish foydalidir. Keling, buni aniqlaylik.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Keling, bir nechta ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Bu tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lishimiz mumkin, natijada quyidagi kvadrat tenglama hosil bo'ladi.
Hozir to'liq kvadratni tanlang uning chap tomonida: . Shundan so'ng, tenglama shaklni oladi.
Ushbu bosqichda oxirgi ikki shartni qarama-qarshi belgi bilan o'ng tomonga o'tkazish mumkin, bizda .
Va o'ng tarafdagi ifodani ham o'zgartiramiz: .

Natijada, biz a·x 2 +b·x+c=0 dastlabki kvadrat tenglamaga ekvivalent tenglamaga erishamiz.

Biz ko'rib chiqayotganimizda oldingi paragraflarda o'xshash tenglamalarni hal qildik. Bu bizga tenglamaning ildizlari bo'yicha quyidagi xulosalar chiqarish imkonini beradi:

bo'lsa, tenglamaning haqiqiy yechimlari yo'q;
bo'lsa, u holda tenglama , shuning uchun, ko'rinishga ega bo'ladi, undan uning yagona ildizi ko'rinadi;
agar , keyin yoki , yoki ga bir xil bo'lsa, ya'ni tenglama ikkita ildizga ega.

Shunday qilib, tenglamaning ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi va shuning uchun dastlabki kvadrat tenglama o'ng tomondagi ifoda belgisiga bog'liq. O'z navbatida, bu ifodaning ishorasi sonning belgisi bilan aniqlanadi, chunki maxraj 4·a 2 har doim musbat, ya'ni b 2 -4·a·c ifoda belgisi bilan belgilanadi. Bu b 2 −4 a c ifodasi chaqirildi kvadrat tenglamaning diskriminanti va xat bilan belgilanadi D. Bu erdan diskriminantning mohiyati aniq - uning qiymati va belgisiga asoslanib, ular kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlariga egami yoki yo'qmi, agar shunday bo'lsa, ularning soni qancha - bir yoki ikkita degan xulosaga kelishadi.

Keling, tenglamaga qaytaylik va uni diskriminant belgisi yordamida qayta yozamiz: . Va biz xulosa chiqaramiz:

agar D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
agar D=0 bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega;
nihoyat, agar D>0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega yoki, ularni yoki shaklida qayta yozish mumkin va kasrlarni kengaytirib, umumiy maxrajga keltirgandan so'ng, olamiz.

Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni oldik, ular quyidagicha ko'rinadi, bu erda D diskriminant D=b 2 −4·a·c formulasi bilan hisoblanadi.

Ularning yordami bilan musbat diskriminant bilan kvadrat tenglamaning ikkala haqiqiy ildizini hisoblashingiz mumkin. Diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala formula ham mos keladigan ildizning bir xil qiymatini beradi yagona yechim kvadrat tenglama. Va qachon salbiy diskriminant Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formuladan foydalanishga harakat qilganimizda, biz manfiy sonning kvadrat ildizini chiqarishga duch kelamiz, bu bizni maktab o'quv dasturi doirasidan tashqariga olib chiqadi. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, lekin juftlikka ega murakkab konjugat ildizlar, biz olingan bir xil ildiz formulalari yordamida topish mumkin.

Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi

Amalda, kvadrat tenglamalarni yechishda, ularning qiymatlarini hisoblash uchun darhol ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin. Ammo bu murakkab ildizlarni topish bilan ko'proq bog'liq.

Biroq, maktab algebra kursida biz odatda kompleks haqida emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari haqida gapiramiz. Bunday holda, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalardan foydalanishdan oldin, avval diskriminantni topib, uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish tavsiya etiladi (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin), va shundan keyingina ildizlarning qiymatlarini hisoblang.

Yuqoridagi mulohazalar bizga yozishga imkon beradi kvadrat tenglamani yechish algoritmi. a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglamani yechish uchun quyidagilar zarur:

D=b 2 −4·a·c diskriminant formulasidan foydalanib, uning qiymatini hisoblang;
agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelish;
formula yordamida tenglamaning yagona ildizini hisoblang, agar D=0;
diskriminant musbat bo'lsa, ildiz formulasi yordamida kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini toping.

Bu erda shuni ta'kidlaymizki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, siz formuladan ham foydalanishingiz mumkin, u bilan bir xil qiymat beradi;

Kvadrat tenglamalarni yechish algoritmidan foydalanish misollariga o‘tishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Musbat, manfiy va nol diskriminantli uchta kvadrat tenglamaning yechimlarini ko'rib chiqamiz. Ularning yechimi bilan shug'ullanib, analogiya bo'yicha boshqa har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin bo'ladi. Keling, boshlaymiz.

Misol.

x 2 +2·x−6=0 tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Bu holda kvadrat tenglamaning quyidagi koeffitsientlariga ega bo'lamiz: a=1, b=2 va c=−6. Algoritmga ko'ra, buning uchun birinchi navbatda diskriminantni hisoblashingiz kerak, biz ko'rsatilgan a, b va c ni diskriminant formulasiga almashtiramiz; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, ya'ni diskriminant noldan katta bo'lgani uchun kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni ildiz formulasi yordamida topamiz, biz olamiz, bu erda hosil bo'lgan ifodalarni bajarish orqali soddalashtirishingiz mumkin multiplikatorni ildiz belgisidan tashqariga ko'chirish keyin fraktsiyaning kamayishi:

Javob:

Keling, keyingi odatiy misolga o'tamiz.

Misol.

−4 x 2 +28 x−49=0 kvadrat tenglamani yeching.

Yechim.

Biz diskriminantni topishdan boshlaymiz: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Shuning uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lib, biz uni quyidagicha topamiz, ya'ni,

Javob:

x=3,5.

Manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalarni yechish masalasini ko'rib chiqish qoladi.

Misol.

5·y 2 +6·y+2=0 tenglamani yeching.

Yechim.

Kvadrat tenglamaning koeffitsientlari: a=5, b=6 va c=2. Biz bu qiymatlarni diskriminant formulaga almashtiramiz, bizda bor D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant manfiy, shuning uchun bu kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

Agar siz murakkab ildizlarni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun taniqli formulani qo'llaymiz va bajaramiz. bilan harakatlar murakkab sonlar :

Javob:

haqiqiy ildizlar mavjud emas, murakkab ildizlar: .

Yana bir bor ta'kidlaymizki, agar kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lsa, maktabda ular odatda darhol haqiqiy ildizlar yo'qligini va murakkab ildizlar topilmasligini ko'rsatadigan javobni yozadilar.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi, bu erda D=b 2 −4·a·c formulani ko'proq olish imkonini beradi. ixcham ko'rinish, bu sizga x uchun juft koeffitsientli kvadrat tenglamalarni yechish imkonini beradi (yoki oddiygina koeffitsient 2·n ko'rinishga ega, masalan, 14·ln5=2·7·ln5). Keling, uni tashqariga chiqaraylik.

Aytaylik, a x 2 +2 n x+c=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Biz bilgan formuladan foydalanib uning ildizlarini topamiz. Buning uchun biz diskriminantni hisoblaymiz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), va keyin biz ildiz formulasidan foydalanamiz:

n 2 −a c ifodasini D 1 deb belgilaymiz (ba’zan u D “ deb ham belgilanadi).Unda ikkinchi koeffitsienti 2 n bo‘lgan ko‘rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi ko‘rinishga ega bo‘ladi. , bu yerda D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1 yoki D 1 =D/4 ekanligini ko‘rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtinchi qismidir. D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil ekanligi aniq. Ya'ni, D 1 belgisi ham kvadrat tenglamaning ildizlari mavjudligi yoki yo'qligining ko'rsatkichidir.

Demak, ikkinchi koeffitsienti 2·n bo'lgan kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi

D 1 =n 2 −a·c ni hisoblang;
Agar D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Agar D 1 =0 bo'lsa, formuladan foydalanib tenglamaning yagona ildizini hisoblang;
Agar D 1 >0 bo'lsa, formuladan foydalanib ikkita haqiqiy ildizni toping.

Keling, ushbu paragrafda olingan ildiz formulasidan foydalanib, misolni hal qilishni ko'rib chiqaylik.

Misol.

5 x 2 −6 x −32=0 kvadrat tenglamani yeching.

Yechim.

Bu tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2·(−3) shaklida ifodalanishi mumkin. Ya’ni, dastlabki kvadrat tenglamani 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, bu yerda a=5, n=−3 va c=−32 ko‘rinishda qayta yozib, to‘rtinchi qismini hisoblashingiz mumkin. diskriminant: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Uning qiymati musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni tegishli ildiz formulasidan foydalanib topamiz:

E'tibor bering, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanish mumkin edi, ammo bu holda ko'proq hisoblash ishlarini bajarish kerak bo'ladi.

Javob:

Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish

Ba'zan, formulalar yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblashni boshlashdan oldin, "Ushbu tenglamaning shaklini soddalashtirish mumkinmi?" Degan savolni berish zarar qilmaydi. 1100 x 2 −400 x−600=0 ga qaraganda 11 x 2 −4 x−6=0 kvadrat tenglamani hisob-kitoblar nuqtai nazaridan yechish osonroq bo‘lishiga rozi bo‘ling.

Odatda, kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish har ikki tomonni ma'lum songa ko'paytirish yoki bo'lish orqali erishiladi. Masalan, oldingi bandda 1100 x 2 −400 x −600=0 tenglamasini ikkala tomonni 100 ga bo‘lish orqali soddalashtirish mumkin edi.

Shunga o'xshash o'zgartirish koeffitsientlari bo'lmagan kvadrat tenglamalar bilan amalga oshiriladi. Bunday holda, biz odatda tenglamaning ikkala tomonini quyidagicha ajratamiz mutlaq qiymatlar uning koeffitsientlari. Masalan, 12 x 2 −42 x+48=0 kvadrat tenglamani olaylik. uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlari: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala tomonini 6 ga bo‘lsak, ekvivalent 2 x 2 −7 x+8=0 kvadrat tenglamaga erishamiz.

Va kvadrat tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, ko'paytirish uning koeffitsientlarining maxrajlari bilan amalga oshiriladi. Masalan, kvadrat tenglamaning ikkala tomoni LCM(6, 3, 1)=6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq x 2 +4·x−18=0 ko'rinishini oladi.

Ushbu fikrni yakunlab, shuni ta'kidlaymizki, ular deyarli har doim kvadrat tenglamaning eng yuqori koeffitsientidagi minusdan barcha a'zolarning belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'lishadi, bu ikkala tomonni -1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) bilan mos keladi. Masalan, odatda −2 x 2 −3 x+7=0 kvadrat tenglamadan 2 x 2 +3 x−7=0 yechimga o‘tadi.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bog'liqlik

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari orqali ifodalaydi. Ildiz formulasiga asoslanib, siz ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi boshqa munosabatlarni olishingiz mumkin.

Vyeta teoremasidan eng mashhur va qo'llanilishi mumkin bo'lgan formulalar va shaklidadir. Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi ikkinchi qarama-qarshi ishorali koeffitsientga, ildizlarning ko‘paytmasi esa erkin hadga teng. Masalan, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 kvadrat tenglamaning shakliga qarab, darhol uning ildizlari yig'indisi 7/3 ga, ildizlarning ko'paytmasi esa 22 ga teng ekanligini aytishimiz mumkin. /3.

Oldindan yozilgan formulalardan foydalanib, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bir qator boshqa bog'lanishlarni olishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini uning koeffitsientlari orqali ifodalash mumkin: .

Adabiyotlar ro'yxati.

Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadrat tenglamalar 8-sinfda o'rganiladi, shuning uchun bu erda murakkab narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati mutlaqo zarur.

Kvadrat tenglama ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bunda a, b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar, a ≠ 0 bo'ladi.

Muayyan yechim usullarini o'rganishdan oldin, barcha kvadrat tenglamalarni uchta sinfga bo'lish mumkinligini unutmang:

Ildizlari yo'q;
Aynan bitta ildizga ega bo'ling;
Ular ikki xil ildizga ega.

Bu kvadrat tenglamalar va chiziqli tenglamalar o'rtasidagi muhim farq, bu erda ildiz har doim mavjud va noyobdir. Tenglamaning nechta ildizi borligini qanday aniqlash mumkin? Buning uchun ajoyib narsa bor - diskriminant.

Diskriminant

Ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama berilsin, u holda diskriminant oddiygina D = b 2 - 4ac sonidir.

Ushbu formulani yoddan bilishingiz kerak. Endi u qaerdan kelgani muhim emas. Yana bir narsa muhim: diskriminant belgisi bilan kvadrat tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlashingiz mumkin. Aynan:

Agar D< 0, корней нет;
Agar D = 0 bo'lsa, aynan bitta ildiz mavjud;
Agar D > 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

Iltimos, diqqat qiling: diskriminant ildizlarning sonini ko'rsatadi, ammo ularning belgilari emas, chunki ko'pchilik negadir ishonadi. Misollarni ko'rib chiqing va siz hamma narsani o'zingiz tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar nechta ildizga ega:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni yozamiz va diskriminantni topamiz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Demak, diskriminant musbat, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Ikkinchi tenglamani xuddi shunday tahlil qilamiz:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant salbiy, ildizlar yo'q. Qolgan oxirgi tenglama:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant nolga teng - ildiz bitta bo'ladi.

E'tibor bering, har bir tenglama uchun koeffitsientlar yozilgan. Ha, bu uzoq, ha, bu zerikarli, lekin siz qiyinchiliklarni aralashtirmaysiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingiz uchun tanlang: tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz o'zingizni tushunsangiz, bir muncha vaqt o'tgach, barcha koeffitsientlarni yozishingiz shart emas. Siz bunday operatsiyalarni boshingizda bajarasiz. Aksariyat odamlar buni 50-70 ta echilgan tenglamadan keyin biror joyda qilishni boshlaydilar - umuman olganda, unchalik emas.

Kvadrat tenglamaning ildizlari

Endi yechimning o'ziga o'taylik. Diskriminant D > 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun asosiy formula

D = 0 bo'lganda, siz ushbu formulalarning har qandayidan foydalanishingiz mumkin - siz bir xil raqamni olasiz, bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ tenglama ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz:

Ikkinchi tenglama:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ tenglama yana ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \o'ng))=3. \\ \end (tekislash)\]

Nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Har qanday formuladan foydalanish mumkin. Masalan, birinchisi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar siz formulalarni bilsangiz va hisoblasangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha, formulaga salbiy koeffitsientlarni almashtirishda xatolar yuzaga keladi. Bu erda yana yuqorida tavsiflangan texnika yordam beradi: formulaga tom ma'noda qarang, har bir qadamni yozing - va tez orada siz xatolardan xalos bo'lasiz.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Bu shunday bo'ladiki, kvadrat tenglama ta'rifda berilganidan biroz farq qiladi. Masalan:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Bu tenglamalarda atamalardan biri etishmayotganligini payqash oson. Bunday kvadrat tenglamalarni echish standart tenglamalarga qaraganda osonroq: ular hatto diskriminantni hisoblashni ham talab qilmaydi. Shunday qilib, keling, yangi kontseptsiyani kiritamiz:

ax 2 + bx + c = 0 tenglama, agar b = 0 yoki c = 0 bo'lsa, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchan x yoki erkin elementning koeffitsienti nolga teng.

Albatta, bu butunlay mumkin Qattiq ish, bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lganda: b = c = 0. Bu holda, tenglama ax 2 = 0 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bitta ildizga ega: x = 0.

Keling, qolgan holatlarni ko'rib chiqaylik. b = 0 bo'lsin, u holda ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz. Uni biroz o'zgartiramiz:

Arifmetikadan beri Kvadrat ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lib, oxirgi tenglik faqat (−c /a) ≥ 0 uchun ma'noga ega. Xulosa:

Agar ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamada (−c /a) ≥ 0 tengsizlik qanoatlansa, ikkita ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
Agar (−c /a)< 0, корней нет.

Ko'rib turganingizdek, diskriminant kerak emas edi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarda murakkab hisoblar umuman yo'q. Darhaqiqat, (−c /a) ≥ 0 tengsizlikni eslash ham shart emas. X 2 qiymatini ifodalash va tenglik belgisining boshqa tomonida nima borligini ko'rish kifoya. Agar ijobiy raqam bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Agar u salbiy bo'lsa, unda hech qanday ildiz bo'lmaydi.

Endi erkin element nolga teng ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: har doim ikkita ildiz bo'ladi. Polinomni faktorga kiritish kifoya:

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqarish

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu ildizlar qaerdan keladi. Xulosa qilib, keling, ushbu tenglamalardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Kvadrat tenglamalarni yeching:

x 2 - 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Hech qanday ildiz yo'q, chunki kvadrat manfiy songa teng bo'lishi mumkin emas.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Tenglamalardan foydalanish hayotimizda keng tarqalgan. Ular ko'plab hisob-kitoblarda, inshootlarni qurishda va hatto sportda qo'llaniladi. Inson qadim zamonlarda tenglamalardan foydalangan va o'shandan beri ulardan foydalanish faqat ortib bordi. Diskriminant har qanday kvadrat tenglamani quyidagi shaklga ega bo'lgan umumiy formuladan foydalanib echishga imkon beradi:

Diskriminant formulasi polinom darajasiga bog'liq. Yuqoridagi formula kvadrat tenglamalarni yechish uchun mos keladi quyidagi tur:

Diskriminant bilishingiz kerak bo'lgan quyidagi xususiyatlarga ega:

* Ko'phadning bir nechta ildizlari (teng ildizlar) bo'lganda "D" 0 ga teng;

* "D" ko'phadning ildizlariga nisbatan simmetrik ko'phad va shuning uchun uning koeffitsientlarida ko'phad hisoblanadi; bundan tashqari, bu ko'phadning koeffitsientlari ildizlar olingan kengaytmadan qat'i nazar, butun sonlardir.

Aytaylik, bizga quyidagi shakldagi kvadrat tenglama berildi:

1 tenglama

Formulaga ko'ra bizda:

\ dan boshlab tenglama 2 ta ildizga ega. Keling, ularni aniqlaymiz:

Diskriminant onlayn hal qiluvchi yordamida tenglamani qayerda yechish mumkin?

Tenglamani bizning https://site saytimizda echishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi har qanday murakkablikdagi onlayn tenglamalarni bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Sizga kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, siz bizning veb-saytimizda video ko'rsatmalarini ko'rishingiz va tenglamani qanday hal qilishni bilib olishingiz mumkin va agar sizda biron bir savol bo'lsa, ularni bizning VKontakte guruhimizdan so'rashingiz mumkin http://vk.com/pocketteacher. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.

Ushbu maqolada biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echishni ko'rib chiqamiz.

Lekin birinchi navbatda, qanday tenglamalar kvadratik deb atalishini takrorlaymiz. ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama, bu erda x o'zgaruvchi, a, b va c koeffitsientlari esa ba'zi sonlar va a ≠ 0 deyiladi. kvadrat. Ko'rib turganimizdek, x 2 uchun koeffitsient nolga teng emas va shuning uchun x yoki erkin muddat uchun koeffitsientlar nolga teng bo'lishi mumkin, bu holda biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz.

Toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar uch xil boʻladi:

1) Agar b = 0, c ≠ 0 bo'lsa, ax 2 + c = 0;

2) Agar b ≠ 0, c = 0 bo'lsa, ax 2 + bx = 0;

3) Agar b = 0, c = 0 bo'lsa, ax 2 = 0.

Keling, qanday hal qilishni aniqlaylik ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalar.

Tenglamani yechish uchun erkin c hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, olamiz

bolta 2 = ‒s. a ≠ 0 bo'lgani uchun biz tenglamaning ikkala tomonini a ga bo'lamiz, keyin x 2 = ‒c/a.

Agar ‒s/a > 0 bo‘lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo‘ladi

x = ±√(–c/a) .

Agar ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Keling, misollar bilan bunday tenglamalarni qanday yechish kerakligini tushunishga harakat qilaylik.

1-misol. 2x 2 ‒ 32 = 0 tenglamani yeching.

Javob: x 1 = - 4, x 2 = 4.

2-misol. 2x 2 + 8 = 0 tenglamani yeching.

Javob: tenglamaning yechimlari yo'q.

Keling, buni qanday hal qilishni aniqlaylik ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalar.

ax 2 + bx = 0 tenglamasini yechish uchun uni faktorlarga ajratamiz, ya'ni qavs ichidan x ni chiqaramiz, x(ax + b) = 0 ni olamiz. Ko'paytmalardan kamida bittasi teng bo'lsa, ko'paytma nolga teng bo'ladi. nolga. U holda yo x = 0, yoki ax + b = 0. ax + b = 0 tenglamasini yechishda ax = - b ni olamiz, bundan x = - b/a. ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglama har doim ikkita ildizga ega x 1 = 0 va x 2 = ‒ b/a. Ushbu turdagi tenglamalarning yechimi diagrammada qanday ko'rinishini ko'ring.

Keling, bilimlarimizni aniq bir misol bilan mustahkamlaymiz.

3-misol. 3x 2 ‒ 12x = 0 tenglamani yeching.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 yoki 3x – 12 = 0

Javob: x 1 = 0, x 2 = 4.

Uchinchi turdagi tenglamalar ax 2 = 0 juda oddiy hal qilinadi.

Agar ax 2 = 0 bo'lsa, x 2 = 0. Tenglama ikkita teng ildizga ega x 1 = 0, x 2 = 0.

Aniqlik uchun diagrammani ko'rib chiqaylik.

4-misolni yechishda ushbu turdagi tenglamalarni juda sodda yechish mumkinligiga ishonch hosil qilaylik.

4-misol. 7x 2 = 0 tenglamani yeching.

Javob: x 1, 2 = 0.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning qaysi turini hal qilishimiz har doim ham darhol aniq emas. Quyidagi misolni ko'rib chiqing.

5-misol. Tenglamani yeching

Tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiring umumiy maxraj, ya'ni 30 ga

Keling, uni qisqartiraylik

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Qavslarni ochamiz

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.

Keling, shunga o'xshash narsalarni beraylik

99 ni tenglamaning chap tomonidan o‘ngga, ishorani teskari tomonga o‘zgartiramiz.

Javob: ildiz yo'q.

Biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqdik. Umid qilamanki, endi siz bunday vazifalarni bajarishda qiyinchiliklarga duch kelmaysiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning turini aniqlashda ehtiyot bo'ling, shunda siz muvaffaqiyatga erishasiz.

Agar sizda ushbu mavzu bo'yicha savollaringiz bo'lsa, mening darslarimga yoziling, paydo bo'lgan muammolarni birgalikda hal qilamiz.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.