Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga tayyorlanayotgan har bir talaba uchun "To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni topish" mavzusini takrorlash foydali bo'ladi. Statistik ma'lumotlarga ko'ra, sertifikatlash testidan o'tishda stereometriyaning ushbu bo'limidagi vazifalar qiyinchilik tug'diradi. katta miqdor talabalar. Shu bilan birga, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni topishni talab qiladigan vazifalar Yagona davlat imtihonida ham asosiy, ham ixtisoslashgan darajada topiladi. Bu har kim ularni hal qila olishi kerakligini anglatadi.
Asosiy daqiqalar
Kosmosda 4 tur mavjud nisbiy pozitsiya Streyt Ular mos kelishi, kesishishi, parallel yoki kesishishi mumkin. Ularning orasidagi burchak o'tkir yoki tekis bo'lishi mumkin.
Yagona davlat imtihonida chiziqlar orasidagi burchakni topish yoki masalan, echishda Moskva va boshqa shaharlardagi maktab o'quvchilari stereometriyaning ushbu bo'limidagi muammolarni hal qilishning bir necha usullaridan foydalanishlari mumkin. Klassik konstruktsiyalar yordamida vazifani bajarishingiz mumkin. Buning uchun stereometriyaning asosiy aksiomalari va teoremalarini o'rganishga arziydi. Talaba topshiriqni planimetrik masalaga keltirish uchun mantiqiy fikr yurita olishi va chizmalar tuza olishi kerak.
Oddiy formulalar, qoidalar va algoritmlar yordamida koordinatalar vektor usulidan ham foydalanishingiz mumkin. Bu holatda asosiy narsa barcha hisob-kitoblarni to'g'ri bajarishdir. Shkolkovo o'quv loyihasi stereometriya va maktab kursining boshqa bo'limlarida muammoni hal qilish ko'nikmalaringizni rivojlantirishga yordam beradi.
Muammo 1
$\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ va $\left\( chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini toping. \begin(massiv )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(massiv)\o'ng $.
Fazoda ikkita satr berilsin: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ va $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z) - z_(2) )(p_(2) ) $. Fazoda ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz va u orqali ma'lumotlarga parallel ikkita yordamchi chiziq o'tkazamiz. Bu chiziqlar orasidagi burchak ikkalasining birortasi qo'shni burchaklar, yordamchi chiziqlar bilan hosil qilingan. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchaklardan birining kosinusini ma'lum $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + formulasi yordamida topish mumkin. p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Agar $\cos \phi >0$ qiymati bo'lsa, u holda chiziqlar orasidagi o'tkir burchak olinadi, agar $\cos \phi bo'lsa.
Birinchi qatorning kanonik tenglamalari: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
Ikkinchi qatorning kanonik tenglamalarini parametriklardan olish mumkin:
\ \ \
Shunday qilib, bu chiziqning kanonik tenglamalari: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Biz hisoblaymiz:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\o'ng)\cdot \left(-1\o'ng)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ chap(-3\o'ng)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\o'ng)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \taxminan 0,9449.\]
Muammo 2
Birinchi qator berilgan $A\left(2,-4,-1\right)$ va $B\left(-3,5,6\right)$ nuqtalardan, ikkinchi qator berilgan $ nuqtalardan oʻtadi. C\chap (1,-2,8\o'ng)$ va $D\chap(6,7,-2\o'ng)$. Ushbu chiziqlar orasidagi masofani toping.
Ma’lum bir to‘g‘ri chiziq $AB$ va $CD$ chiziqlariga perpendikulyar bo‘lsin va ularni mos ravishda $M$ va $N$ nuqtalarida kesib o‘tsin. Bunday sharoitda $MN$ segmentining uzunligi $AB$ va $CD$ chiziqlari orasidagi masofaga teng.
$\overline(AB)$ vektorini tuzamiz:
\[\overline(AB)=\left(-3-2\o'ng)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k) ).\]
Chiziqlar orasidagi masofani tasvirlovchi segment $AB$ chizig'idagi $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ nuqtadan o'tib ketsin.
$\overline(AM)$ vektorini tuzamiz:
\[\overline(AM)=\chap(x_(M) -2\o'ng)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\o'ng)\o'ng)\cdot \ bar(j)+\left(z_(M) -\left(-1\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(k)=\] \[=\chap(x_(M) -2\o'ng)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\o'ng)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\o'ng)\cdot \bar(k).\]
$\overline(AB)$ va $\overline(AM)$ vektorlari bir xil, shuning uchun ular kollineardir.
Ma'lumki, agar $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ vektorlari va $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ bir-biriga to‘g‘ri keladi, keyin ularning koordinatalari proportsional bo'lsa, $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, bu yerda $m $ bo'linish natijasidir.
Bu yerdan biz olamiz: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Biz nihoyat $M$ nuqtasi koordinatalari uchun ifodalarni olamiz:
$\overline(CD)$ vektorini tuzamiz:
\[\overline(CD)=\left(6-1\o'ng)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(j)+\ chap(-2-8\o'ng)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
Chiziqlar orasidagi masofani ifodalovchi segment $CD$ chizig'idagi $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ nuqtadan o'tib ketsin.
$\overline(CN)$ vektorini tuzamiz:
\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\o'ng)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\o'ng)\o'ng)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\o'ng)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\o'ng)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\o'ng)\cdot \bar(k).\]
$\overline(CD)$ va $\overline(CN)$ vektorlari mos keladi, shuning uchun ular kollineardir. Vektorlarning kollinearlik shartini qo'llaymiz:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, bu yerda $n $ bo'linish natijasidir.
Bu yerdan biz quyidagilarni olamiz: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Biz nihoyat $N$ nuqtasi koordinatalari uchun ifodalarni olamiz:
$\overline(MN)$ vektorini tuzamiz:
\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \o'ng)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \o'ng)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \o'ng)\cdot \bar(k).\]
$M$ va $N$ nuqtalarining koordinatalari oʻrniga ifodalarni qoʻyamiz:
\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\chap(-4+9\cdot m\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(j)+\chap(8-10\cdot n-\chap(-1+7\cdot) m\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(k).\]
Bosqichlarni bajarib, biz quyidagilarni olamiz:
\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\o'ng) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]
$AB$ va $MN$ chiziqlar perpendikulyar boʻlgani uchun mos vektorlarning skalyar koʻpaytmasi nolga teng, yaʼni $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\o'ng)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\o'ng)+7\cdot \ chap(9-10\cdot n-7\cdot m\o'ng)=0;\] \
Bosqichlarni bajarib, $m$ va $n$ ni aniqlash uchun birinchi tenglamani olamiz: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
$CD$ va $MN$ chiziqlar perpendikulyar boʻlganligi uchun mos vektorlarning skalyar koʻpaytmasi nolga teng, yaʼni $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]
Bosqichlarni bajarib, $m$ va $n$ ni aniqlash uchun ikkinchi tenglamani olamiz: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
$\left\(\begin(massiv)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206) tenglamalar tizimini yechish orqali $m$ va $n$ ni topamiz. \cdot n =77)\end(massiv)\right$.
Biz Kramer usulini qo'llaymiz:
\[\Delta =\left|\begin(massiv)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(massiv)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(massiv)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(massiv)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(massiv)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(massiv)\right|=10731;\ ]\
$M$ va $N$ nuqtalarining koordinatalarini toping:
\ \
Nihoyat:
Nihoyat, $\overline(MN)$ vektorini yozamiz:
$\overline(MN)=\left(2,691-\left(-0,6215\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(i)+\left(1,0438-0,7187\o'ng)\cdot \bar (j)+\chap (4,618-2,6701\o'ng)\cdot \bar(k)$ yoki $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1,9479\cdot \bar(k)$ .
$AB$ va $CD$ qatorlari orasidagi masofa $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^( 2) ) \ vektorining uzunligi. taxminan 3.8565$ lin. birliklar
Samolyotlar orasidagi burchak
Tenglamalar bilan aniqlangan ikkita a 1 va a 2 tekisliklarni ko'rib chiqing:
ostida burchak ikki tekislik o'rtasida biz bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklardan birini tushunamiz. Ko'rinib turibdiki, normal vektorlar va a 1 va a 2 tekisliklar orasidagi burchak ko'rsatilgan qo'shni ikki burchakli burchaklardan biriga teng yoki 
. Shunung uchun 
. Chunki 
Va 
, Bu
.
Misol. Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlang x+2y-3z+4=0 va 2 x+3y+z+8=0.
Ikki tekislikning parallellik sharti.
Ikki tekislik a 1 va a 2 parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa va shuning uchun 
.
Shunday qilib, ikkita tekislik bir-biriga parallel, agar tegishli koordinatalarning koeffitsientlari proportsional bo'lsa:
yoki
Tekisliklarning perpendikulyarligi sharti.
Ikki tekislik perpendikulyar bo'lishi aniq, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa va shuning uchun, yoki .
Shunday qilib, .
Misollar.
To'g'ridan-to'g'ri kosmosda.
CHIZIQ UCHUN VEKTOR TENGLAMA.
PARAMETRIK TO'G'RISIY TENGLAMALAR
Chiziqning fazodagi o'rni uning har qanday qo'zg'almas nuqtasini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi M 1 va bu chiziqqa parallel vektor.
Chiziqga parallel vektor deyiladi qo'llanmalar bu chiziqning vektori.
Shunday qilib, to'g'ri chiziq bo'lsin l nuqtadan o'tadi M 1 (x 1 , y 1 , z 1), vektorga parallel chiziq ustida yotgan .
Ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M(x,y,z) to'g'ri chiziqda. Rasmdan ko'rinib turibdiki 
.
Vektorlar va kollinear, shuning uchun bunday raqam mavjud t, nima , ko'paytuvchi qayerda t nuqtaning joylashuviga qarab har qanday raqamli qiymatni qabul qilishi mumkin M to'g'ri chiziqda. Faktor t parametr deb ataladi. Nuqtalarning radius vektorlarini belgilab M 1 va M mos ravishda, va orqali, biz . Bu tenglama deyiladi vektor to'g'ri chiziq tenglamasi. Bu har bir parametr qiymati uchun ekanligini ko'rsatadi t qaysidir nuqtaning radius vektoriga mos keladi M, to'g'ri chiziqda yotish.
Bu tenglamani koordinata shaklida yozamiz. E'tibor bering, 
va bu yerdan
Olingan tenglamalar deyiladi parametrik to'g'ri chiziq tenglamalari.
Parametrni o'zgartirganda t koordinatalari o'zgaradi x, y Va z va davr M to'g'ri chiziqda harakat qiladi.
DIREKTNING KANONIK TENGLAMALARI
Mayli M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - to'g'ri chiziqda yotgan nuqta l, Va 
uning yo'nalishi vektoridir. Keling, yana chiziqning ixtiyoriy nuqtasini olaylik M(x,y,z) va vektorni ko'rib chiqing.
Vektorlar ham kollinear ekanligi aniq, shuning uchun ularning mos keladigan koordinatalari proportsional bo'lishi kerak, shuning uchun
– kanonik to'g'ri chiziq tenglamalari.
Eslatma 1. E'tibor bering, chiziqning kanonik tenglamalarini parametriklardan parametrni yo'q qilish orqali olish mumkin. t. Haqiqatan ham, biz parametrik tenglamalardan olamiz 
yoki .
Misol. Chiziq tenglamasini yozing 
parametrik shaklda.
belgilaylik 
, bu yerdan x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Eslatma 2. To'g'ri chiziq koordinata o'qlaridan biriga perpendikulyar bo'lsin, masalan, o'q ho'kiz. Keyin chiziqning yo'nalishi vektori perpendikulyar bo'ladi ho'kiz, shuning uchun, m=0. Demak, chiziqning parametrik tenglamalari shaklni oladi
Parametrni tenglamalardan chiqarib tashlash t, shakldagi chiziq tenglamalarini olamiz
Biroq, bu holatda ham chiziqning kanonik tenglamalarini shaklda yozishga rozi bo'lamiz 
. Shunday qilib, agar kasrlardan birining maxraji nolga teng bo'lsa, bu to'g'ri chiziq mos keladigan koordinata o'qiga perpendikulyar ekanligini anglatadi.
Kanonik tenglamalarga o'xshash 
o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziqqa to'g'ri keladi ho'kiz Va Oy yoki o'qga parallel Oz.
Misollar.
TO'G'RI CHIZIQNING UMUMIY TENGLAMALARI IKKI TAKSIKLIKNI KESISHISH CHIZIQLARI
Kosmosdagi har bir to'g'ri chiziq orqali son-sanoqsiz tekisliklar mavjud. Ularning istalgan ikkitasi kesishib, uni kosmosda aniqlaydi. Binobarin, har qanday ikkita bunday tekislikning tenglamalari birgalikda ko'rib chiqilsa, bu chiziq tenglamalarini ifodalaydi.
Umuman olganda, umumiy tenglamalar bilan berilgan har qanday ikkita parallel bo'lmagan tekislik
ularning kesishuvining to‘g‘ri chizig‘ini aniqlang. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar Streyt.
Misollar.
Tenglamalar orqali berilgan chiziqni tuzing 
To'g'ri chiziqni qurish uchun uning istalgan ikkita nuqtasini topish kifoya. Eng oson yo'li to'g'ri chiziqning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtalarini tanlashdir. Masalan, tekislik bilan kesishish nuqtasi xOy faraz qilib, to'g'ri chiziq tenglamalaridan olamiz z= 0:
Ushbu tizimni hal qilib, biz nuqta topamiz M 1 (1;2;0).
Xuddi shunday, taxmin qilish y= 0, biz chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini olamiz xOz:
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan uning kanonik yoki parametrik tenglamalariga o'tish mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz biron bir nuqtani topishingiz kerak M To'g'ri chiziqda 1 va to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori.
Nuqta koordinatalari M 1 koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, ushbu tenglamalar tizimidan olamiz. Yo'nalish vektorini topish uchun bu vektor ikkala normal vektorga perpendikulyar bo'lishi kerakligini unutmang 
Va 
. Shuning uchun, to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektoridan tashqari l olishingiz mumkin vektor mahsuloti Oddiy vektorlar:
.
Misol. Qo'rg'oshin umumiy tenglamalar Streyt 
kanonik shaklga.
Chiziqda yotgan nuqtani topamiz. Buning uchun biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz, masalan, y= 0 va tenglamalar tizimini yeching:
Chiziqni aniqlaydigan tekisliklarning normal vektorlari koordinatalarga ega 
Shuning uchun yo'nalish vektori to'g'ri bo'ladi
. Demak, l: 
.
TO'G'RILAR ORASIDAGI BURChAK
Burchak fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning har qandayini chaqiramiz.
Bo'shliqda ikkita qator berilgan bo'lsin:
Shubhasiz, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchak va . dan boshlab, u holda vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasidan foydalanamiz
A. 1-bobda ko'rsatilganidek, ikkita to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin, ular o'tkir yoki o'tkir bo'lishi mumkin. Ushbu burchaklardan birini bilib, boshqasini osongina topishimiz mumkin.
Aytgancha, bu barcha burchaklar uchun tangensning raqamli qiymati bir xil, farq faqat belgida bo'lishi mumkin.
Chiziqlar tenglamalari. Raqamlar birinchi va ikkinchi to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarining proyeksiyalari bo'lib, bu vektorlar orasidagi burchak to'g'ri chiziqlar hosil qilgan burchaklardan biriga teng. Shuning uchun muammo vektorlar orasidagi burchakni aniqlashga to'g'ri keladi
Oddiylik uchun ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak o'tkir ekanligiga rozi bo'lishimiz mumkin ijobiy burchak(masalan, 53-rasmdagi kabi).
Keyin bu burchakning tangensi doimo ijobiy bo'ladi. Shunday qilib, (1) formulaning o'ng tomonida minus belgisi mavjud bo'lsa, unda biz uni tashlab qo'yishimiz kerak, ya'ni faqat mutlaq qiymatni saqlashimiz kerak.
Misol. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang
Formula (1) bo'yicha bizda mavjud
Bilan. Agar burchakning qaysi tomonlari uning boshlanishi va qaysi biri oxiri ekanligi ko'rsatilgan bo'lsa, burchak yo'nalishini har doim soat miliga teskari hisoblab, formuladan (1) ko'proq narsani olishimiz mumkin. Rasmdan ko'rish oson. 53, formula (1) ning o'ng tomonida olingan belgi ikkinchi to'g'ri chiziq birinchisi bilan qanday burchak - o'tkir yoki o'tmas - hosil bo'lishini ko'rsatadi.
(Haqiqatan ham, 53-rasmdan biz birinchi va ikkinchi yoʻnalish vektorlari orasidagi burchak toʻgʻri chiziqlar orasidagi kerakli burchakka teng yoki undan ±180° farq qilishini koʻramiz).
d. Agar chiziqlar parallel bo'lsa, ularning yo'nalish vektorlari parallel bo'ladi, ikkita vektorning parallellik shartini qo'llaymiz.
Bu ikki chiziqning parallelligi uchun zarur va etarli shartdir.
Misol. To'g'ridan-to'g'ri
parallel, chunki
e. Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ularning yo'nalish vektorlari ham perpendikulyar bo'ladi. Ikki vektorning perpendikulyarlik shartini qo'llab, ikkita to'g'ri chiziqning perpendikulyarlik shartini olamiz, ya'ni
Misol. To'g'ridan-to'g'ri
perpendikulyar bo'lganligi sababli
Parallellik va perpendikulyarlik shartlari bilan bog`liq holda quyidagi ikkita masalani yechamiz.
f. Berilgan chiziqqa parallel nuqta orqali chiziq o'tkazing
Yechim shu tarzda amalga oshiriladi. Kerakli chiziq bunga parallel bo'lgani uchun, uning yo'nalishi vektori uchun biz berilgan chiziq bilan bir xilni, ya'ni A va B proyeksiyali vektorni olishimiz mumkin. Va keyin kerakli chiziqning tenglamasi yoziladi. shakl (§ 1)
Misol. Chiziqga parallel (1; 3) nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi
keyingi bo'ladi!
g. Berilgan chiziqqa perpendikulyar nuqta orqali chiziq o'tkazing
Bu erda endi A proyeksiyalari bo'lgan vektorni yo'naltiruvchi vektor sifatida qabul qilish mos emas, lekin unga perpendikulyar vektorni olish kerak. Shuning uchun bu vektorning proyeksiyalari ikkala vektorning perpendikulyarlik shartiga ko'ra, ya'ni shartga ko'ra tanlanishi kerak.
Bu shartni son-sanoqsiz yo'llar bilan bajarish mumkin, chunki bu erda ikkita noma'lum bo'lgan bitta tenglama mavjud, ammo eng oson yo'li - kerakli chiziqning tenglamasi shaklda yoziladi
Misol. Perpendikulyar chiziqdagi (-7; 2) nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi
quyidagilar bo'ladi (ikkinchi formula bo'yicha)!
h. Chiziqlar shakldagi tenglamalar bilan berilgan taqdirda
bu tenglamalarni boshqacha qayta yozish, biz bor
Ta'rif. Agar ikkita chiziq y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 berilgan bo'lsa, u holda bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak quyidagicha aniqlanadi.
Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar k 1 = k 2 bo'lsa. Ikki chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar k 1 = -1/ k 2 bo'lsa.
Teorema. A 1 = lA, B 1 = lB koeffitsientlari proportsional bo'lganda Ax + B + C = 0 va A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 chiziqlar parallel bo'ladi. Agar C 1 = lC ham bo'lsa, u holda chiziqlar mos keladi. Ikki to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari bu chiziqlar tenglamalar tizimining yechimi sifatida topiladi.
Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi
Berilgan chiziqqa perpendikulyar
Ta'rif. M 1 (x 1, y 1) nuqtadan o‘tuvchi va y = kx + b to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglama bilan ifodalanadi:
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa
Teorema. Agar M(x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + B + C = 0 chiziqqa bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi.
.
Isbot. M nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo‘lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:
(1)
x 1 va y 1 koordinatalarini tenglamalar tizimini yechish orqali topish mumkin:
Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan chiziqqa perpendikulyar M 0 nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasidir. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,
keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:
Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:
Teorema isbotlangan.
Misol. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgph = 
; ph= p /4.
Misol. 3x – 5y + 7 = 0 va 10x + 6y – 3 = 0 chiziqlar perpendikulyar ekanligini ko‘rsating.
Yechim. Biz topamiz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, shuning uchun chiziqlar perpendikulyar.
Misol. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) uchburchakning uchlari berilgan. C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.
Yechim. AB tomonining tenglamasini topamiz: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Kerakli balandlik tenglamasi quyidagi shaklga ega: Ax + By + C = 0 yoki y = kx + b. k =. Keyin y =. Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, keyin uning koordinatalari ushbu tenglamani qanoatlantiradi: 
bu yerdan b = 17. Jami: . 
Javob: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Berilgan nuqtadan ma'lum yo'nalishda o'tadigan chiziq tenglamasi. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak. Ikki to'g'ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik sharti. Ikki chiziqning kesishish nuqtasini aniqlash
1. Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi A(x 1 , y 1) qiyalik bilan belgilanadigan ma'lum bir yo'nalishda k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ushbu tenglama nuqtadan o'tadigan chiziqlar qalamini belgilaydi A(x 1 , y 1), bu nur markazi deb ataladi.
2. Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi: A(x 1 , y 1) va B(x 2 , y 2), shunday yozilgan:
Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning burchak koeffitsienti formula bilan aniqlanadi
3. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak A Va B birinchi to'g'ri chiziqni burish kerak bo'lgan burchak A bu chiziqlarning kesishish nuqtasi atrofida soat sohasi farqli o'laroq ikkinchi chiziqqa to'g'ri kelguncha B. Ikki to'g'ri chiziq qiyalikli tenglamalar bilan berilgan bo'lsa
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
keyin ular orasidagi burchak formula bilan aniqlanadi
Shuni ta'kidlash kerakki, kasrning numeratorida birinchi qatorning qiyaligi ikkinchi qatorning qiyaligidan chiqariladi.
Agar chiziq tenglamalari berilgan bo'lsa umumiy ko'rinish
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
ular orasidagi burchak formula bilan aniqlanadi
4. Ikki chiziq parallelligi uchun shartlar:
a) Agar chiziqlar burchak koeffitsientiga ega bo'lgan (4) tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, u holda ularning parallelligi uchun zarur va etarli shart burchak koeffitsientlarining tengligidir:
k 1 = k 2 . (8)
b) Agar chiziqlar umumiy shakldagi (6) tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, ularning parallelligi uchun zarur va etarli shart - ularning tenglamalarida mos keladigan oqim koordinatalari uchun koeffitsientlar proportsionaldir, ya'ni.
5. Ikki to'g'ri chiziqning perpendikulyarligi uchun shartlar:
a) To'g'ri chiziqlar burchak koeffitsientli (4) tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, ularning perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shart - ular qiyalik koeffitsientlari kattaligi teskari, belgisi esa qarama-qarshidir, ya'ni.
Bu shart shaklda ham yozilishi mumkin
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Agar chiziqlar tenglamalari umumiy shaklda berilgan bo'lsa (6), u holda ularning perpendikulyarligi (zarur va etarli) sharti tenglikni qondirishdir.
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari (6) tenglamalar tizimini yechish orqali topiladi. Chiziqlar (6) kesishadi, agar va faqat
1. Berilgan l chiziqqa biri parallel, ikkinchisi perpendikulyar bo‘lgan M nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘rilar tenglamalarini yozing.