Funksiya hosilasi formulasi qanday olinadi. Dumilar uchun hosilalarni echish: ta'rif, qanday topish, echimlarga misollar. Yuqori tartibli hosilalar

Eslash juda oson.

Xo'sh, uzoqqa bormaylik, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqaylik. Qaysi funksiya ko‘rsatkichli funktsiyaga teskari funksiya hisoblanadi? Logarifm:

Bizning holatda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Bu nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Eksponensial va natural logarifm hosila nuqtai nazaridan juda oddiy funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Nima qoidalari? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Ana xolos. Bu jarayonni bir so'z bilan yana nima deb atash mumkin? Hosil emas... Matematiklar differensialni funksiyaning bir xil o'sish qismi deb atashadi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizga formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Bo'lsin, yoki oddiyroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

1. bir nuqtada;
2. bir nuqtada;
3. bir nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki bu chiziqli funksiya, esingizdami?);

Mahsulotning hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: keling, yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

1. va funksiyalarining hosilalarini toping;
2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichlarni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (bu nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, qandaydir raqam qaerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga qisqartirishga harakat qilaylik:

Buning uchun biz foydalanamiz oddiy qoida: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: u xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu shunchaki hisoblagichsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni boshqa yozib bo'lmaydi. oddiy shaklda. Shuning uchun biz uni javobda ushbu shaklda qoldiramiz.

E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz mos keladigan farqlash qoidasini qo'llaymiz:

Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Bu erda ham xuddi shunday: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, boshqa asosli ixtiyoriy logarifmni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga qisqartirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Buning o'rniga faqat hozir yozamiz:

Maxraj oddiygina doimiy (o‘zgarmas son, o‘zgaruvchisiz). lotin juda oddiy olinadi:

Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari Yagona davlat imtihonida deyarli topilmaydi, ammo ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, arktangent emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz logarifmni qiyin deb bilsangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va siz yaxshi bo'lasiz), lekin matematik nuqtai nazardan, "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Natijada kompozitsion ob'ekt paydo bo'ladi: shokolad bari o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari qadamlarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda biz sonning kosinusini topamiz, so'ngra olingan sonning kvadratini olamiz. Shunday qilib, bizga raqam (shokolad) beriladi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni to'g'ridan-to'g'ri o'zgaruvchi bilan, so'ngra ikkinchi amalni birinchisidan kelib chiqqan holda bajaramiz.

Boshqa so'z bilan, murakkab funksiya - bu argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funksiya: .

Bizning misolimiz uchun, .

Xuddi shu amallarni teskari tartibda bemalol bajarishimiz mumkin: avval siz uni kvadratga aylantirasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman: . Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Muhim xususiyat murakkab funktsiyalar: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Oxirgi qilgan amalimiz chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchilarni o'zgartirishga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

1. Biz birinchi navbatda qanday harakat qilamiz? Birinchidan, sinusni hisoblab chiqamiz va shundan keyingina uni kubga aylantiramiz. Bu shuni anglatadiki, bu ichki funktsiya, lekin tashqi funktsiya.
   Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
2. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
3. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
4. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
5. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .

Biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokolad barimizni ajratib olamiz va hosilani qidiramiz. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda biz hosilani qidiramiz tashqi funktsiya, keyin natijani ichki funktsiyaning hosilasiga ko'paytiring. Ilova qilingan asl misol bu shunday ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozircha uni kesishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqmaydi, esingizdami?)

3) Ichki: ;

Tashqi: ;

Bu uch darajali murakkab funktsiya ekanligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiyadir va biz undan ildizni ham chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'rashga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: biz hali ham bu funktsiyani odatdagidek tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifodaning qiymatini hisoblash uchun amallarni qanday tartibda bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kechroq bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi avvalgidek:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Funktsiyaning hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

Yig'indining hosilasi:

Mahsulot hosilasi:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
2. Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

3 va 5 formulalarni o'zingiz isbotlang.

DIFFERENTSIALANISHNING ASOSIY QOIDALARI

Limit yordamida hosilani topishning umumiy usulidan foydalanib, eng oddiy farqlash formulalarini olish mumkin. Mayli u=u(x),v=v(x)– o‘zgaruvchining ikkita differentsial funksiyasi x.

1 va 2 formulalarni o'zingiz isbotlang.

Formula 3 isboti.

Mayli y = u(x) + v(x). Argument qiymati uchun x+Δ x bizda ... bor y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).

Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

Demak,

4-formulaning isboti.

Mayli y=u(x)·v(x). Keyin y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Shunung uchun

Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).

E'tibor bering, har bir funktsiyadan beri u Va v nuqtada farqlanadi x, keyin ular shu nuqtada uzluksiz, ya'ni u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), D da x→0.

Shuning uchun biz yozishimiz mumkin

Ushbu xususiyatga asoslanib, istalgan sonli funktsiyalar mahsulotini farqlash qoidasini olish mumkin.

Keling, masalan, y=u·v·w. Keyin,

y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v"·w+ v·w ") = u "· v·w + u· v"·w+ u·v·w ".

Formula 5 isboti.

Mayli . Keyin

Dalilda biz bundan foydalandik v(x+Δ x)→v(x) D da x→0.

Misollar.

MUMKIN FUNKSIYA HOSILASI HAQIDA TEOREMA

Mayli y = f(u), A u= u(x). Biz funktsiyani olamiz y argumentga qarab x: y = f(u(x)). Oxirgi funksiya funksiya yoki funksiyasi deyiladi murakkab funktsiya.

Funktsiyani aniqlash domeni y = f(u(x)) funktsiyani aniqlashning butun sohasi hisoblanadi u=u(x) yoki qiymatlar aniqlanadigan qism u, funktsiyani aniqlash sohasini tark etmaslik y= f(u).

Funksiyadan-funksiya operatsiyasi faqat bir marta emas, balki bir necha marta bajarilishi mumkin.

Keling, murakkab funktsiyani differensiallash qoidasini o'rnatamiz.

Teorema. Agar funktsiya u= u(x) bir nuqtada bor x 0 hosila va shu nuqtada qiymatni oladi u 0 = u(x 0) va funksiya y=f(u) nuqtaga ega u 0 hosila y" u = f "(u 0), keyin murakkab funksiya y = f(u(x)) belgilangan nuqtada x 0 ga teng hosilasi ham bor y" x = f "(u 0)· u "(x 0), qayerda oʻrniga u ifoda almashtirilishi kerak u= u(x).

Shunday qilib, kompleks funktsiyaning hosilasi berilgan funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasi ko'paytmasiga teng. u ga nisbatan oraliq dalilning hosilasiga x.

Isbot. Ruxsat etilgan qiymat uchun X 0 bizda bo'ladi u 0 =u(x 0), da 0 =f(u 0 ). Yangi argument qiymati uchun x 0+Δ x:

Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).

Chunki u- bir nuqtada farqlanadi x 0, Bu u- bu nuqtada uzluksiz. Shuning uchun, D da x→0 Δ u→0. Xuddi shunday D uchun u→0 Δ y→0.

Shart bo'yicha . Ushbu munosabatdan chegara ta'rifidan foydalanib, biz olamiz (D da u→0)

bu yerda a→0 da D u→0, va, demak, D da x→0.

Keling, bu tenglikni quyidagicha qayta yozamiz:

Δ y=y"uD u+α·Δ u.

Olingan tenglik D uchun ham amal qiladi u Ixtiyoriy a uchun =0, chunki u 0=0 identifikatsiyasiga aylanadi. D da u=0, biz a=0 deb qabul qilamiz. Olingan tenglikning barcha shartlarini D ga ajratamiz x

.

Shart bo'yicha . Shuning uchun, D da chegaraga o'tish x→ 0, olamiz y" x = y"u·u" x. Teorema isbotlangan.

Shunday qilib, farqlash uchun murakkab funktsiya y = f(u(x)),"tashqi" funktsiyaning hosilasini olishingiz kerak f, uning argumentini oddiygina o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqing va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan "ichki" funktsiyaning hosilasiga ko'paytiring.

Agar funktsiya y=f(x) shaklida ifodalanishi mumkin y=f(u), u=u(v), v=v(x), u holda y " x hosilasini topish oldingi teoremani ketma-ket qo'llash orqali amalga oshiriladi.

Tasdiqlangan qoidaga ko'ra, bizda bor y" x = y"u u"x. Xuddi shu teoremani qo'llash u"x biz olamiz, ya'ni.

y" x = y"x u"v v" x = f"u( u)· u" v ( v)· v" x ( x).

Misollar.

teskari FUNKSIYA TUSHUNCHASI

Keling, misol bilan boshlaylik. Funktsiyani ko'rib chiqing y= x 3. Biz tenglikni ko'rib chiqamiz y= x 3 nisbiy tenglama sifatida x. Bu har bir qiymat uchun tenglama da yagona qiymatni belgilaydi x: . Geometrik jihatdan, bu har bir to'g'ri chiziq o'qga parallel ekanligini anglatadi ho'kiz funksiya grafigini kesishadi y= x 3 faqat bir nuqtada. Shuning uchun biz ko'rib chiqishimiz mumkin x funktsiyasi sifatida y. Funktsiyaga teskari funktsiya deyiladi y= x 3.

Umumiy holatga o'tishdan oldin biz ta'riflarni kiritamiz.

Funktsiya y = f(x) chaqirdi ortib boradi ma'lum bir segmentda, agar argumentning qiymati kattaroq bo'lsa x bu segmentdan mos keladi yuqoriroq qiymat funktsiyalari, ya'ni. Agar x 2 >x 1, keyin f(x 2 ) > f(x 1 ).

Funktsiya xuddi shunday chaqiriladi kamaymoqda, agar argumentning kichikroq qiymati funktsiyaning katta qiymatiga to'g'ri kelsa, ya'ni. Agar X 2 < X 1, keyin f(x 2 ) > f(x 1 ).

Demak, ortib boruvchi yoki kamayuvchi funksiya berilsin y=f(x), ba'zi bir oraliqda belgilangan [ a; b]. Aniqlik uchun biz ortib borayotgan funktsiyani ko'rib chiqamiz (kamayayotgan uchun hamma narsa o'xshash).

Ikki xil qiymatni ko'rib chiqing X 1 va X 2. Mayli y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). O'sish funksiyasining ta'rifidan kelib chiqadiki, agar x 1 <x 2, keyin da 1 <da 2. Shuning uchun ikki xil qiymat X 1 va X 2 ikki xil funktsiya qiymatiga mos keladi da 1 va da 2. Buning aksi ham to'g'ri, ya'ni. Agar da 1 <da 2, keyin ortib boruvchi funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadiki x 1 <x 2. Bular. yana ikki xil qiymat da 1 va da 2 ikki xil qiymatga mos keladi x 1 va x 2. Shunday qilib, qiymatlar o'rtasida x va ularning tegishli qiymatlari y birma-bir yozishmalar o'rnatiladi, ya'ni. tenglama y=f(x) har biriga y(funktsiya diapazonidan olingan y=f(x)) yagona qiymatni belgilaydi x, va biz buni aytishimiz mumkin x ba'zi bir argument funktsiyasi mavjud y: x= g(y).

Bu funksiya deyiladi teskari funktsiya uchun y=f(x). Shubhasiz, funktsiya y=f(x) funksiyaga teskari hisoblanadi x=g(y).

E'tibor bering, teskari funktsiya x=g(y) tenglamani yechish orqali topiladi y=f(x) nisbatan X.

Misol. Funktsiya berilgan bo'lsin y= e x. Bu funksiya –∞ da ortadi< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= jurnal y. Teskari funksiyaning sohasi 0< y < + ∞.

Keling, bir nechta sharhlar qilaylik.

Eslatma 1. Agar ortib boruvchi (yoki kamayuvchi) funktsiya y=f(x) oraliqda uzluksiz [ a; b], va f(a)=c, f(b)=d, u holda teskari funktsiya aniqlangan va [ oraliqda uzluksiz bo'ladi. c; d].

Eslatma 2. Agar funktsiya y=f(x) ma'lum bir oraliqda o'smaydi va kamaymaydi, u holda bir nechta teskari funktsiyalarga ega bo'lishi mumkin.

Misol. Funktsiya y=x2–∞ da belgilangan<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 funktsiyasi - kamayadi va uning teskari.

Eslatma 3. Funktsiyalar bo'lsa y=f(x) Va x=g(y) o'zaro teskari bo'lsa, ular o'zgaruvchilar orasidagi bir xil munosabatni ifodalaydi x Va y. Shuning uchun ikkalasining grafigi bir xil egri chiziqdir. Lekin teskari funksiyaning argumentini yana bilan belgilasak x, va funksiya orqali y va ularni bir xil koordinatalar tizimida chizamiz, biz ikki xil grafikni olamiz. Grafiklar 1-koordinata burchagi bissektrisasiga nisbatan simmetrik bo'lishini payqash oson.

HOSILA teskari FUNKSIYA HAQIDA TEOREMA

Funktsiyaning hosilasini topishga imkon beruvchi teoremani isbotlaylik y=f(x), teskari funksiyaning hosilasini bilish.

Teorema. Agar funktsiya uchun y=f(x) teskari funksiya mavjud x=g(y), qaysidir bir nuqtada da 0 lotinga ega g "(v 0), nolga teng, keyin mos keladigan nuqtada x 0=g(x 0) funktsiyasi y=f(x) hosilasi bor f "(x 0), ga teng, ya'ni. formula to'g'ri.

Isbot. Chunki x=g(y) nuqtada farqlanadi y 0, Bu x=g(y) bu nuqtada uzluksiz, shuning uchun funktsiya y=f(x) bir nuqtada uzluksiz x 0=g(y 0). Shuning uchun, D da x→0 Δ y→0.

Keling, buni ko'rsataylik .

Mayli. Keyin, chegaraning mulki bo'yicha . Keling, bu tenglikda D chegarasiga o'tamiz y→0. Keyin D x→0 va a(Dx)→0, ya'ni. .

Demak,

,

Q.E.D.

Ushbu formulani shaklda yozish mumkin.

Keling, misollar yordamida ushbu teoremaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Jadvalning birinchi formulasini chiqarayotganda, biz bir nuqtada hosilaviy funktsiyani aniqlashdan boshlaymiz. Qaerga olib boraylik x- har qanday haqiqiy raqam, ya'ni x– funktsiyani aniqlash sohasidan istalgan raqam. Funksiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasini quyidagicha yozamiz:

Shuni ta'kidlash kerakki, chegara belgisi ostida nolning noaniqligi nolga bo'linadigan ifoda olinadi, chunki numerator cheksiz kichik qiymatni o'z ichiga olmaydi, lekin aniq nolga teng. Boshqacha qilib aytganda, doimiy funktsiyaning o'sishi har doim nolga teng.

Shunday qilib, doimiy funktsiyaning hosilasibutun ta'rif sohasi bo'ylab nolga teng.

Quvvat funksiyasining hosilasi.

Quvvat funksiyasining hosilasi formulasi shaklga ega , bu erda ko'rsatkich p- har qanday haqiqiy raqam.

Avval natural ko‘rsatkich, ya’ni for formulasini isbotlaymiz p = 1, 2, 3, …

Biz hosila ta'rifidan foydalanamiz. Quvvat funksiyasi ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini yozamiz:

Numeratordagi ifodani soddalashtirish uchun Nyuton binomial formulasiga murojaat qilamiz:

Demak,

Bu tabiiy daraja uchun daraja funksiyasining hosilasi formulasini isbotlaydi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi.

Biz ta'rifga asoslangan hosila formulasini keltiramiz:

Biz noaniqlik holatiga keldik. Uni kengaytirish uchun biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz va . Keyin. Oxirgi o'tishda biz yangi logarifmik asosga o'tish uchun formuladan foydalandik.

Keling, asl chegaraga almashtiramiz:

Agar ikkinchi ajoyib chegarani eslasak, eksponensial funktsiyaning hosilasi formulasiga kelamiz:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi.

Logarifmik funktsiyaning hosilasi formulasini hamma uchun isbotlaymiz x ta'rif sohasidan va bazaning barcha haqiqiy qiymatlaridan a logarifm lotin ta'rifi bo'yicha bizda:

E'tibor berganingizdek, isbotlash jarayonida logarifm xususiyatlaridan foydalangan holda o'zgartirishlar amalga oshirildi. Tenglik ikkinchi ajoyib chegara tufayli haqiqatdir.

Trigonometrik funksiyalarning hosilalari.

Trigonometrik funktsiyalarning hosilalari uchun formulalarni olish uchun biz ba'zi trigonometriya formulalarini, shuningdek, birinchi ajoyib chegarani esga olishimiz kerak.

Sinus funktsiyasi uchun hosilaning ta'rifi bo'yicha bizda mavjud .

Sinuslar farqi formulasidan foydalanamiz:

Birinchi ajoyib chegaraga o'tish uchun qoladi:

Shunday qilib, funktsiyaning hosilasi gunoh x Mavjud chunki x.

Kosinus hosilasi formulasi ham xuddi shunday isbotlangan.

Demak, funktsiyaning hosilasi chunki x Mavjud -sin x.

Tasdiqlangan differentsiallash qoidalaridan (kasr hosilasi) foydalanib, tangens va kotangens uchun hosilalar jadvali uchun formulalarni olamiz.

Giperbolik funksiyalarning hosilalari.

Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi formulasi giperbolik sinus, kosinus, tangens va kotangens hosilalari uchun formulalar chiqarish imkonini beradi.

Teskari funktsiyaning hosilasi.

Taqdimot paytida chalkashliklarga yo'l qo'ymaslik uchun differensiallash amalga oshiriladigan funktsiya argumentini pastki qatorda belgilaymiz, ya'ni u funktsiyaning hosilasidir. f(x) tomonidan x.

Endi shakllantiramiz teskari funksiyaning hosilasini topish qoidasi.

Funktsiyalarga ruxsat bering y = f(x) Va x = g(y) o'zaro teskari, intervallarda va mos ravishda aniqlanadi. Agar biror nuqtada funktsiyaning nolga teng bo'lmagan chekli hosilasi mavjud bo'lsa f(x), u holda nuqtada teskari funktsiyaning chekli hosilasi mavjud g(y), va . Boshqa postda .

Ushbu qoida har qanday kishi uchun qayta shakllantirilishi mumkin x intervaldan , keyin biz olamiz .

Keling, ushbu formulalarning to'g'riligini tekshiramiz.

Natural logarifm uchun teskari funksiya topilsin (Bu yerga y funktsiyadir va x- dalil). Bu tenglamani yechilgandan keyin x, biz olamiz (bu erda x funktsiyadir va y- uning argumenti). Ya'ni, va o'zaro teskari funktsiyalar.

Hosilalar jadvalidan buni ko'ramiz Va .

Teskari funktsiyaning hosilalarini topish formulalari bizni bir xil natijalarga olib kelishiga ishonch hosil qilaylik:

Ko'rib turganingizdek, biz hosilalar jadvalidagi kabi natijalarga erishdik.

Endi biz teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari uchun formulalarni isbotlash uchun bilimga egamiz.

Arksinusning hosilasidan boshlaylik.

. Keyin, teskari funktsiyaning hosilasi uchun formuladan foydalanib, biz olamiz

Faqat o'zgarishlarni amalga oshirish qoladi.

Arksinus diapazoni interval bo'lgani uchun , Bu (asosiy elementar funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari bo'limiga qarang). Shuning uchun biz buni hisobga olmaymiz.

Demak, . Arksinus hosilasining ta'rif sohasi intervaldir (-1; 1) .

Ark kosinusu uchun hamma narsa xuddi shu tarzda amalga oshiriladi:

Arktangentning hosilasini topamiz.

Teskari funktsiya uchun .

Hosil bo‘lgan ifodani soddalashtirish uchun arktangentni arkkosinus bilan ifodalaylik.

Mayli arctgx = z, Keyin

Demak,

Yoy kotangentining hosilasi xuddi shunday tarzda topiladi:

Loyini hisoblash ko'pincha Yagona davlat imtihonining topshiriqlarida uchraydi. Ushbu sahifada hosilalarni topish uchun formulalar ro'yxati mavjud.

Farqlash qoidalari

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Murakkab funktsiyaning hosilasi. Agar y=F(u) va u=u(x) bo‘lsa, y=f(x)=F(u(x)) funksiya x ning kompleks funksiyasi deyiladi. y′(x)=Fu′⋅ ux′ ga teng.
5. Yashirin funktsiyaning hosilasi. Agar F(x,f(x))≡0 bo‘lsa, y=f(x) funksiya F(x,y)=0 munosabati bilan aniqlangan yashirin funksiya deyiladi.
6. Teskari funktsiyaning hosilasi. Agar g(f(x))=x boʻlsa, g(x) funksiya y=f(x) funksiyaning teskari funksiyasi deyiladi.
7. Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi. X va y t o‘zgaruvchining funksiyalari sifatida belgilansin: x=x(t), y=y(t). Ularning aytishicha, y=y(x) x∈ (a;b) oraliqda parametrik aniqlangan funksiya, agar bu oraliqda x=x(t) tenglamani t=t(x) va funksiya sifatida ifodalash mumkin bo‘lsa. y=y( t(x))=y(x).
8. Kuch-ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi. Natural logarifm asosiga logarifmlarni olish orqali topiladi.

Biz sizga havolani saqlashingizni maslahat beramiz, chunki bu jadval ko'p marta kerak bo'lishi mumkin.

Mavzuni o'rganishda qulaylik va ravshanlik uchun biz yig'ma jadvalni taqdim etamiz.

Doimiyy = C Quvvat funktsiyasi y = x p (x p) " = p x p - 1	Eksponensial funktsiyay = a x (a x) " = a x ln a Xususan, qachona = ebizda ... bor y = e x (e x) " = e x
Logarifmik funktsiya (log a x) " = 1 x ln a Xususan, qachona = ebizda ... bor y = log x (ln x) " = 1 x	Trigonometrik funktsiyalar (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Teskari trigonometrik funksiyalar (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Giperbolik funktsiyalar (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Keling, ko'rsatilgan jadvalning formulalari qanday olinganligini tahlil qilaylik yoki boshqacha qilib aytganda, har bir funktsiya turi uchun hosila formulalarining kelib chiqishini isbotlaymiz.

Doimiy miqdorning hosilasi

Dalil 1

Bu formulani chiqarish uchun funktsiyaning nuqtadagi hosilasi ta'rifini asos qilib olamiz. Biz x 0 = x dan foydalanamiz, bu erda x har qanday haqiqiy sonning qiymatini oladi, yoki boshqacha qilib aytganda, x f (x) = C funktsiya sohasining istalgan soni. Funksiya ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini ∆ x → 0 shaklida yozamiz:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

E'tibor bering, 0 ∆ x ifodasi chegara belgisi ostiga tushadi. Bu "nol nolga bo'lingan" noaniqlik emas, chunki numerator cheksiz kichik qiymatni o'z ichiga olmaydi, lekin aniq nolga teng. Boshqacha qilib aytganda, doimiy funktsiyaning o'sishi har doim nolga teng.

Shunday qilib, f (x) = C doimiy funktsiyaning hosilasi butun ta'rif sohasi bo'ylab nolga teng.

1-misol

Doimiy funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Yechim

Keling, berilgan shartlarni tavsiflaymiz. Birinchi funksiyada 3 natural sonining hosilasini ko'ramiz. Quyidagi misolda siz ning hosilasini olishingiz kerak A, Qayerda A- har qanday haqiqiy raqam. Uchinchi misol bizga irratsional son 4ning hosilasini beradi. 13 7 22, toʻrtinchisi nolning hosilasi (nol butun son). Nihoyat, beshinchi holatda biz ratsional kasrning hosilasiga egamiz - 8 7.

Javob: hosilalari belgilangan funktsiyalar har qanday real uchun nolga teng x(butun ta'rif sohasi bo'ylab)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Quvvat funksiyasining hosilasi

Keling, quvvat funksiyasi va uning hosilasi formulasiga o'tamiz, u quyidagi ko'rinishga ega: (x p) " = p x p - 1, bu erda ko'rsatkich. p har qanday haqiqiy sondir.

Dalil 2

Ko'rsatkich natural son bo'lganda formulaning isboti: p = 1, 2, 3, …

Biz yana hosila ta'rifiga tayanamiz. Quvvat funksiyasi ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini yozamiz:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Numeratordagi ifodani soddalashtirish uchun Nyutonning binomial formulasidan foydalanamiz:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Shunday qilib:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1 + 0 +.

Shunday qilib, ko‘rsatkich natural son bo‘lganda daraja funksiyasining hosilasi formulasini isbotladik.

Dalil 3

Qachon ish bo'yicha dalillarni taqdim etish p- noldan boshqa har qanday haqiqiy son, biz logarifmik hosiladan foydalanamiz (bu erda biz hosiladan farqni tushunishimiz kerak. logarifmik funktsiya). To'liqroq tushunchaga ega bo'lish uchun logarifmik funktsiyaning hosilasini o'rganish va yashirin funktsiyaning hosilasi va murakkab funktsiyaning hosilasini yanada chuqurroq tushunish tavsiya etiladi.

Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik: qachon x ijobiy va qachon x salbiy.

Shunday qilib, x > 0. Keyin: x p > 0 . y = x p tenglikni e asosiga logarifm qilamiz va logarifmning xossasini qo‘llaymiz:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Ushbu bosqichda biz aniq belgilangan funktsiyani oldik. Keling, uning hosilasini aniqlaymiz:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Endi biz qachon ishni ko'rib chiqamiz x - manfiy raqam.

Agar ko'rsatkich p juft son bo‘lsa, u holda x uchun quvvat funksiyasi aniqlanadi< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Keyin x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Agar p toq son bo'lsa, u holda quvvat funksiyasi x uchun aniqlanadi< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Oxirgi o'tish, agar bo'lsa, tufayli mumkin p demak, bu toq raqam p - 1 juft son yoki nol (p = 1 uchun), shuning uchun salbiy uchun x(- x) p - 1 = x p - 1 tengligi to'g'ri.

Shunday qilib, biz har qanday haqiqiy p uchun darajali funktsiyaning hosilasi formulasini isbotladik.

2-misol

Berilgan funktsiyalar:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Ularning hosilalarini aniqlang.

Yechim

Berilgan funksiyalarning ba’zilarini daraja xossalariga asoslanib jadval ko‘rinishiga y = x p ga aylantiramiz va keyin formuladan foydalanamiz:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Isbot 4

Keling, ta'rifdan foydalanib, hosila formulasini asos qilib olaylik:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Bizda noaniqlik paydo bo'ldi. Uni kengaytirish uchun z = a ∆ x - 1 (z → 0 ni ∆ x → 0 ko'rinishida) yangi o'zgaruvchi yozamiz. Bunday holda, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Oxirgi o'tish uchun yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi ishlatilgan.

Keling, asl chegarani almashtiramiz:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Keling, ikkinchi ajoyib chegarani eslaylik va keyin eksponensial funktsiyaning hosilasi uchun formulani olamiz:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

3-misol

Eksponensial funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Ularning hosilalarini topish kerak.

Yechim

Eksponensial funktsiyaning hosilasi va logarifmning xususiyatlari uchun formuladan foydalanamiz:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Dalil 5

Har qanday logarifmik funktsiyaning hosilasi formulasining isbotini keltiramiz x ta'rif sohasida va logarifmning a asosining har qanday ruxsat etilgan qiymatlari. Loyqa tushunchasiga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Ko'rsatilgan tenglik zanjiridan ko'rinib turibdiki, o'zgarishlar logarifm xususiyatiga asoslangan. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e tengligi ikkinchi ajoyib chegaraga muvofiq to'g'ri.

4-misol

Logarifmik funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Ularning hosilalarini hisoblash kerak.

Yechim

Olingan formulani qo'llaymiz:

f 1 "(x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 "(x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Shunday qilib, natural logarifmning hosilasi bir ga bo'linadi x.

Trigonometrik funksiyalarning hosilalari

Isbot 6

Trigonometrik funktsiyaning hosilasi formulasini olish uchun ba'zi trigonometrik formulalar va birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz.

Sinus funktsiyasi hosilasining ta'rifiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Sinuslar farqi formulasi bizga quyidagi amallarni bajarishga imkon beradi:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Va nihoyat, biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Demak, funktsiyaning hosilasi gunoh x bo'ladi chunki x.

Kosinus hosilasi formulasini ham isbotlaymiz:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Bular. hosila cos funktsiyalari x bo'ladi - sin x.

Differensiallash qoidalariga asoslanib tangens va kotangens hosilalari uchun formulalarni olamiz:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari

Teskari funksiyalarning hosilasi bo'limida arksinus, arkkosinus, arktangent va arkkotangens hosilalari formulalarini isbotlash haqida to'liq ma'lumot berilgan, shuning uchun biz bu erda materialni takrorlamaymiz.

Giperbolik funksiyalarning hosilalari

Dalil 7

Giperbolik sinus, kosinus, tangens va kotangensning hosilalari uchun formulalarni differentsiallash qoidasi va ko'rsatkichli funktsiya hosilasi formulasidan foydalanib olishimiz mumkin:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing