Funktsiyani yaratish
Sizning e'tiboringizga barcha huquqlar kompaniyaga tegishli bo'lgan onlayn funktsiya grafiklarini tuzish xizmatini taqdim etamiz Desmos. Funktsiyalarni kiritish uchun chap ustundan foydalaning. Siz qo'lda yoki oynaning pastki qismidagi virtual klaviatura yordamida kirishingiz mumkin. Diagramma oynasini kattalashtirish uchun siz chap ustunni ham, virtual klaviaturani ham yashirishingiz mumkin.
Onlayn diagrammaning afzalliklari
- Kiritilgan funktsiyalarni vizual ko'rsatish
- Juda murakkab grafiklarni yaratish
- Aniq aniqlangan grafiklarni chizish (masalan, ellips x^2/9+y^2/16=1)
- Diagrammalarni saqlash va ularga havola olish imkoniyati, bu Internetdagi hamma uchun mavjud bo'ladi
- Masshtabni boshqarish, chiziq rangi
- Grafiklarni nuqtalar bo'yicha chizish qobiliyati, doimiylardan foydalanish
- Bir vaqtning o'zida bir nechta funktsiyalar grafiklarini qurish
- Qutbli koordinatalarda chizish (r va th(\teta) dan foydalaning)
Biz bilan har xil murakkablikdagi grafiklarni onlayn tarzda qurish oson. Qurilish darhol amalga oshiriladi. Xizmat funktsiyalarning kesishish nuqtalarini topish, ularni Word hujjatiga keyingi o'tkazish uchun grafiklarni muammolarni hal qilish uchun illyustratsiyalar sifatida ko'rsatish, funktsiya grafiklarining xatti-harakatlarini tahlil qilish uchun talab qilinadi. Saytning ushbu sahifasida diagrammalar bilan ishlash uchun optimal brauzer hisoblanadi Gugl xrom. Boshqa brauzerlardan foydalanganda, to'g'ri ishlash kafolatlanmaydi.
Funksiyani tekshirish va uning grafigini qanday tuzish mumkin?
Men jahon proletariati yetakchisi, 55 jildlik to‘plam asarlar muallifining ma’naviy yuzini tushuna boshlagandek bo‘ldim... Uzoq sayohat haqida elementar ma'lumotlar bilan boshlandi funksiyalar va grafiklar, va endi mashaqqatli mavzu ustida ishlash tabiiy natija - maqola bilan tugaydi to'liq funktsiyani o'rganish haqida. Uzoq kutilgan vazifa quyidagicha tuzilgan:
Funktsiyani usullar bo'yicha o'rganing differensial hisob va tadqiqot natijalari asosida uning jadvalini tuzish
Yoki qisqasi: funktsiyani ko'rib chiqing va uni chizing.
Nega kashf? Oddiy hollarda, biz uchun elementar funktsiyalar bilan shug'ullanish, olingan grafikni chizish qiyin bo'lmaydi elementar geometrik o'zgarishlar va h.k. Biroq, xususiyatlar va grafik tasvirlar Ko'proq murakkab funktsiyalar aniq emas, shuning uchun butun tadqiqot kerak.
Yechimning asosiy bosqichlari mos yozuvlar materialida umumlashtirilgan Funktsiyani o'rganish sxemasi, bu sizning bo'limingiz uchun qo'llanma. Dummies mavzuni bosqichma-bosqich tushuntirishga muhtoj, ba'zi o'quvchilar o'rganishni qaerdan boshlashni va qanday tashkil qilishni bilishmaydi va ilg'or o'quvchilarni faqat bir nechta fikrlar qiziqtirishi mumkin. Ammo siz kim bo'lishingizdan qat'iy nazar, aziz tashrif buyuruvchi, turli darslarga ko'rsatmalar bilan taklif qilingan xulosa sizni eng qisqa vaqt ichida qiziqtirgan yo'nalishga yo'naltiradi va yo'naltiradi. Robotlar ko'z yoshlarini to'kishdi =) Qo'llanma pdf fayl shaklida tuzilgan va sahifada o'zining munosib o'rnini egallagan. Matematik formulalar va jadvallar.
Men funktsiyani o'rganishni 5-6 ballga ajratardim:
6) Tadqiqot natijalariga ko'ra qo'shimcha nuqtalar va grafik.
Yakuniy harakatga kelsak, menimcha, hamma hamma narsani tushunadi - agar bir necha soniya ichida u chizib olinsa va topshiriq qayta ko'rib chiqish uchun qaytarilsa, bu juda xafa bo'ladi. TO'G'RI VA TO'G'ri chizilgan - bu yechimning asosiy natijasidir! Noto'g'ri va/yoki noto'g'ri jadval hatto mukammal o'tkazilgan tadqiqotda ham muammolarni keltirib chiqarishi mumkin bo'lsa, bu tahliliy nazoratni "yopib qo'yishi" mumkin.
Shuni ta'kidlash kerakki, boshqa manbalarda tadqiqot ob'ektlari soni, ularni amalga oshirish tartibi va dizayn uslubi men taklif qilgan sxemadan sezilarli darajada farq qilishi mumkin, lekin ko'p hollarda bu etarli. Muammoning eng oddiy varianti atigi 2-3 bosqichdan iborat bo‘lib, shunday tuzilgan: “hosil va chizma yordamida funksiyani o‘rganing” yoki “1 va 2-chi hosiladan foydalanib funksiyani o‘rganing, chizma”.
Tabiiyki, agar sizning o'quv qo'llanmangizda boshqa algoritm batafsil tahlil qilingan bo'lsa yoki o'qituvchingiz sizdan uning ma'ruzalariga qat'iy rioya qilishni talab qilsa, siz yechimga ba'zi o'zgarishlar kiritishingiz kerak bo'ladi. Vilkani zanjirli qoshiq bilan almashtirishdan ko'ra qiyinroq emas.
Funktsiyani juft/toq uchun tekshirib ko'ramiz:
Shundan so'ng obunani bekor qilish shablonlari keladi:
, shuning uchun bu funksiya juft ham, toq ham emas.
Funktsiya uzluksiz bo'lgani uchun vertikal asimptotalar mavjud emas.
Egri asimptotlar ham mavjud emas.
Eslatma : Sizga shuni eslatamanki, qanchalik baland o'sish tartibi dan, shuning uchun yakuniy chegara aynan " ortiqcha cheksizlik."
Funktsiyaning cheksizlikda qanday ishlashini bilib olaylik: 
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz o'ngga borsak, u holda grafik cheksiz yuqoriga, chapga, cheksiz pastga ketadi. Ha, bitta kirish ostida ikkita chegara ham mavjud. Agar siz belgilarni ochishda qiynalsangiz, iltimos, haqidagi darsga tashrif buyuring cheksiz kichik funktsiyalar.
Shunday qilib, funktsiya yuqoridan cheklanmagan va pastdan cheklanmagan. Bizda tanaffus nuqtalari yo'qligini hisobga olsak, aniq bo'ladi va funktsiya diapazoni: ham har qanday haqiqiy sondir.
FOYDALI TEXNIKA
Har bir vazifa bosqichi funksiya grafigi haqida yangi ma'lumotlarni olib keladi, shuning uchun yechim jarayonida LAYOUT turidan foydalanish qulay. Loyihaga dekart koordinatalar tizimini chizamiz. Nima aniq ma'lum? Birinchidan, grafikda asimptotlar yo'q, shuning uchun to'g'ri chiziqlar chizishning hojati yo'q. Ikkinchidan, funksiya cheksizlikda qanday harakat qilishini bilamiz. Tahlilga ko'ra, biz birinchi taxminiy xulosani chiqaramiz: 
E'tibor bering, amalda davomiylik funktsiyasi yoqilganligi va , grafik o'qni kamida bir marta kesib o'tishi kerak. Yoki, ehtimol, bir nechta kesishish nuqtalari bormi?
3) Funksiyaning nollari va doimiy ishorali intervallar.
Birinchidan, grafikning y o'qi bilan kesishish nuqtasini toping. Bu oddiy. Funktsiyaning qiymatini quyidagi hollarda hisoblash kerak: 
Dengiz sathidan yarmi.
O'q bilan kesishish nuqtalarini (funktsiyaning nollari) topish uchun siz tenglamani echishingiz kerak va bu erda bizni yoqimsiz ajablanib kutmoqda: 
Oxir-oqibat, bepul a'zo yashirinadi, bu vazifani sezilarli darajada murakkablashtiradi.
Bunday tenglama kamida bitta haqiqiy ildizga ega va ko'pincha bu ildiz irratsionaldir. Eng yomon ertakda bizni uchta kichkina cho'chqa kutmoqda. Tenglama deb atalmish yordamida echilishi mumkin Kardano formulalari, lekin qog'oz zarar deyarli butun tadqiqot bilan solishtirish mumkin. Shu munosabat bilan, og'zaki yoki qoralama ustida kamida bittasini olishga harakat qilish oqilona butun ildiz. Keling, ushbu raqamlar mavjudligini tekshirib ko'ramiz:
- tog'ri kelmaydi;
- yemoq!
Bu yerda omadli. Muvaffaqiyatsiz bo'lsa, siz ham sinab ko'rishingiz mumkin va agar bu raqamlar mos kelmasa, men tenglamaning foydali echimi uchun juda oz imkoniyat bor deb qo'rqaman. Keyin tadqiqot nuqtasini butunlay o'tkazib yuborgan ma'qul - ehtimol oxirgi bosqichda, qo'shimcha nuqtalar o'tib ketganda, biror narsa aniqroq bo'ladi. Va agar ildiz (ildiz) aniq "yomon" bo'lsa, unda belgilarning doimiyligi oraliqlari haqida kamtarona sukut saqlash va rasmni aniqroq bajarish yaxshiroqdir.
Biroq, bizda chiroyli ildiz bor, shuning uchun polinomni ajratamiz 
qolgani uchun: 
Ko'phadni ko'phadga bo'lish algoritmi darsning birinchi misolida batafsil ko'rib chiqiladi. Kompleks chegaralar.
Natijada, asl tenglamaning chap tomoni 
mahsulotga aylanadi: 
Va endi bir oz sog'lom yo'l hayot. Albatta buni tushunaman kvadrat tenglamalar har kuni hal qilish kerak, lekin bugun biz istisno qilamiz: tenglama 
ikkita haqiqiy ildizga ega.
Raqamlar qatorida topilgan qiymatlarni chizamiz 
va interval usuli Funktsiya belgilarini aniqlang: 
og Shunday qilib, intervallarda 
diagrammasi joylashgan
x o'qi ostida va intervallarda 
- bu o'qdan yuqorida.
Olingan topilmalar bizning sxemamizni yaxshilashga imkon beradi va grafikning ikkinchi yaqinlashuvi quyidagicha ko'rinadi: 
E'tibor bering, funktsiya intervalda kamida bitta maksimal va intervalda kamida bitta minimal bo'lishi kerak. Lekin jadvalning necha marta, qayerda va qachon “aylanib ketishini” bilmaymiz. Aytgancha, funktsiya cheksiz ko'p bo'lishi mumkin ekstremal.
4) Funksiyaning ortishi, kamayishi va ekstremallari.
Kritik nuqtalarni topamiz: 
Bu tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni son qatoriga qo'yib, hosilaning belgilarini aniqlaymiz: 
Shuning uchun funktsiya ga ortadi 
va ga kamayadi.
Ushbu nuqtada funktsiya maksimal darajaga etadi: 
.
Ushbu nuqtada funktsiya minimal darajaga etadi: 
.
O'rnatilgan faktlar bizning shablonimizni juda qattiq ramkaga aylantiradi: 
Aytishga hojat yo'q, differentsial hisob - bu kuchli narsa. Nihoyat, grafikning shakli bilan shug'ullanamiz:
5) Qavariq, botiqlik va burilish nuqtalari.
Ikkinchi hosilaning kritik nuqtalarini toping: 
Keling, belgilarni aniqlaylik: 
Funksiya grafigi qavariq ochiq va botiq bo'ladi. Burilish nuqtasining ordinatasini hisoblaymiz: .
Deyarli hamma narsa tozalandi.
6) Grafikni aniqroq tuzish va o'z-o'zini sinab ko'rishga yordam beradigan qo'shimcha nuqtalarni topish qoladi. Bunday holda, ular kam, ammo biz e'tibordan chetda qolmaymiz: 
Keling, chizmani bajaramiz: 
yashil rangda burilish nuqtasi belgilangan, xochlar qo'shimcha nuqtalarni bildiradi. Kub funktsiyaning grafigi uning burilish nuqtasiga nisbatan simmetrik bo'lib, u doimo maksimal va minimal o'rtasida aniq o'rtada joylashgan.
Topshiriq davomida men uchta faraziy oraliq chizmalarni berdim. Amalda, koordinatalar tizimini chizish, topilgan nuqtalarni belgilash va tadqiqotning har bir nuqtasidan keyin funktsiya grafigi qanday ko'rinishini aqliy ravishda aniqlash kifoya. Yaxshi tayyorgarlik darajasiga ega bo'lgan talabalar uchun bunday tahlilni qoralamani jalb qilmasdan, faqat ongida amalga oshirish qiyin bo'lmaydi.
Uchun mustaqil yechim:
2-misol
Funktsiyani o'rganing va grafik tuzing.
Bu erda hamma narsa tezroq va qiziqarliroq, dars oxirida tugatishning taxminiy namunasi.
Fraksiyonel ratsional funktsiyalarni o'rganish orqali ko'plab sirlar ochiladi:
3-misol
Differensial hisoblash usullaridan foydalanib, funktsiyani o'rganing va tadqiqot natijalari asosida uning grafigini tuzing. 
Qaror: tadqiqotning birinchi bosqichi sezilarli darajada farq qilmaydi, ta'rif sohasidagi teshikdan tashqari:
1) Funktsiya nuqtadan tashqari butun son chizig'ida aniqlangan va uzluksizdir. domen: .
, shuning uchun bu funksiya juft ham, toq ham emas.
Shubhasiz, funktsiya davriy emas.
Funktsiya grafigi chap va o'ng yarim tekislikda joylashgan ikkita uzluksiz filialdan iborat - bu, ehtimol, 1-bandning eng muhim xulosasi.
2) Asimptotalar, funksiyaning cheksizlikdagi harakati.
a) Bir tomonlama chegaralar yordamida biz funktsiyaning shubhali nuqta yaqinidagi harakatini o'rganamiz, bu erda vertikal asimptota aniq bo'lishi kerak: 
Darhaqiqat, funktsiyalar bardosh beradi cheksiz bo'shliq nuqtada
va to'g'ri chiziq (o'qi) bo'ladi vertikal asimptota grafika.
b) qiyshiq asimptotlar mavjudligini tekshiring: 
Ha, chiziq qiya asimptota grafik, agar.
Chegaralarni tahlil qilishning ma'nosi yo'q, chunki funktsiya o'zining qiya asimptotasini qamrab olishi allaqachon aniq. yuqoridan cheklanmagan va pastdan cheklanmagan.
Tadqiqotning ikkinchi nuqtasi ko'p narsa keltirdi muhim ma'lumotlar funktsiyasi haqida. Keling, taxminiy eskizni yarataylik:
1-sonli xulosa belgi doimiyligining intervallariga tegishli. "Minus cheksizlik" da funksiya grafigi yagona tarzda x o'qi ostida joylashgan va "ortiqcha cheksizlik" da bu o'qdan yuqorida joylashgan. Bundan tashqari, bir tomonlama chegaralar bizga nuqtaning chap va o'ng tomonida ham funktsiya noldan katta ekanligini aytdi. E'tibor bering, chap yarim tekislikda grafik x o'qini kamida bir marta kesib o'tishi kerak. O'ng yarim tekislikda funktsiyaning nollari bo'lmasligi mumkin.
Xulosa No 2 - funktsiya nuqtadan va chapga ("pastdan yuqoriga" ketadi) ortadi. Ushbu nuqtaning o'ng tomonida funktsiya pasayadi ("yuqoridan pastga" ketadi). Grafikning o'ng qismi, albatta, kamida bitta minimal bo'lishi kerak. Chapda, ekstremallar kafolatlanmaydi.
3-sonli xulosa nuqta yaqinidagi grafikning botiqligi haqida ishonchli ma'lumot beradi. Cheksizlikdagi qavariq/qavariq haqida hozircha hech narsa deya olmaymiz, chunki chiziq uning asimptotiga yuqoridan ham, pastdan ham bosilishi mumkin. Umuman olganda, hozir buni aniqlashning analitik usuli mavjud, ammo "bema'ni" diagramma shakli keyingi bosqichda aniqroq bo'ladi.
Nega shuncha so'z? Keyingi tadqiqot nuqtalarini nazorat qilish va xatolardan qochish uchun! Keyingi hisob-kitoblar chiqarilgan xulosalarga zid kelmasligi kerak.
3) Grafikning koordinata o`qlari bilan kesishish nuqtalari, funksiyaning doimiy ishorali intervallari.
Funktsiya grafigi o'qni kesib o'tmaydi.
Interval usulidan foydalanib, biz belgilarni aniqlaymiz:
, agar;
, agar 
.
Paragrafning natijalari 1-sonli xulosaga to'liq mos keladi. Har bir qadamdan so'ng, qoralamaga qarang, o'rganishga aqliy ravishda murojaat qiling va funktsiya grafigini chizishni tugating.
Ushbu misolda, hisoblagich maxraj bilan atama bo'linadi, bu farqlash uchun juda foydali: 
Aslida, bu asimptotalarni topishda allaqachon qilingan.
- tanqidiy nuqta.
Keling, belgilarni aniqlaylik:
tomonidan ortadi 
va gacha kamayadi
Ushbu nuqtada funktsiya minimal darajaga etadi: 
.
2-sonli xulosa bilan ham hech qanday nomuvofiqliklar yo'q edi va, ehtimol, biz to'g'ri yo'ldamiz.
Bu funktsiya grafigi butun ta'rif sohasi bo'ylab konkav ekanligini anglatadi.
Zo'r - va siz hech narsa chizishingiz shart emas.
Hech qanday burilish nuqtalari yo'q.
Konkavlik 3-sonli xulosaga mos keladi, bundan tashqari, bu cheksizlikda (u erda ham, u erda ham) funktsiya grafigi joylashganligini ko'rsatadi. yuqoriroq uning qiya asimptoti.
6) Biz vazifani qo'shimcha ball bilan vijdonan bog'laymiz. Bu erda biz qattiq ishlashimiz kerak, chunki biz o'rganishdan faqat ikkita narsani bilamiz.
Va, ehtimol, ko'pchilik uzoq vaqtdan beri taqdim etgan rasm:
Topshiriqni bajarish jarayonida o'rganish bosqichlari o'rtasida hech qanday qarama-qarshilik yo'qligiga e'tibor berish kerak, lekin ba'zida vaziyat shoshilinch yoki hatto umidsiz holda tugaydi. Bu erda tahlillar "birlashmaydi" - va bu. Bunday holda, men favqulodda texnikani tavsiya qilaman: biz iloji boricha grafikaga tegishli bo'lgan ko'plab nuqtalarni topamiz (qanchalik sabr-toqat etarli) va ularni koordinata tekisligida belgilaymiz. Ko'p hollarda topilgan qiymatlarning grafik tahlili sizga haqiqat qayerda va yolg'on ekanligini aytib beradi. Bundan tashqari, grafikni ba'zi bir dastur yordamida, masalan, xuddi shu Excelda oldindan qurish mumkin (bu ko'nikmalarni talab qilishi aniq).
4-misol
Differensial hisoblash usullaridan foydalanib, funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing. 
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Unda o'z-o'zini nazorat qilish funksiyaning tekisligi bilan kuchaytiriladi - grafik o'qga nisbatan nosimmetrikdir va agar sizning tadqiqotingizdagi biror narsa bu haqiqatga zid bo'lsa, xatolikni qidiring.
Hatto yoki g'alati funktsiya faqat uchun tekshirilishi mumkin, keyin esa grafik simmetriyasidan foydalaning. Bu yechim optimal, lekin menimcha, juda g'ayrioddiy ko'rinadi. Shaxsan men butun raqamli o'qni ko'rib chiqaman, lekin men hali ham faqat o'ng tomonda qo'shimcha nuqtalarni topaman:
5-misol
Funktsiyani to'liq o'rganish va uning grafigini tuzish. 
Qaror: qattiq yugurdi:
1) Funksiya butun real chiziqda aniqlangan va uzluksiz: .
Bu shuni anglatadiki, bu funktsiya toq, uning grafigi koordinataga nisbatan simmetrikdir.
Shubhasiz, funktsiya davriy emas.
2) Asimptotalar, funksiyaning cheksizlikdagi harakati.
Funktsiya uzluksiz bo'lgani uchun vertikal asimptotalar mavjud emas
Odatda ko'rsatkichni o'z ichiga olgan funksiya uchun alohida"ortiqcha" va "minus cheksizlik" ni o'rganish, ammo bizning hayotimiz faqat grafik simmetriyasi bilan osonlashadi - chapda va o'ngda asimptota bor yoki yo'q. Shuning uchun ikkala cheksiz chegara ham bitta yozuv ostida tartibga solinishi mumkin. Yechim jarayonida biz foydalanamiz L'Hopital qoidasi:
To'g'ri chiziq (o'q) - da grafikning gorizontal asimptotu.
E'tibor bering, men qiya asimptotani topishning to'liq algoritmidan qanday qilib mohirlik bilan qochganimga e'tibor bering: chegara juda qonuniy va funktsiyaning cheksizlikdagi xatti-harakatlarini aniqlaydi va gorizontal asimptota "bir vaqtning o'zida" topilgan.
Gorizontal asimptotaning uzluksizligi va mavjudligidan funktsiyaning yuqoridan cheklangan va pastdan cheklangan.
3) Grafikning koordinata o`qlari bilan kesishish nuqtalari, doimiylik intervallari.
Bu erda biz yechimni ham qisqartiramiz:
Grafik koordinatadan o'tadi.
Koordinata o'qlari bilan boshqa kesishish nuqtalari yo'q. Bundan tashqari, doimiylik intervallari aniq va o'qni chizish mumkin emas: , ya'ni funktsiyaning belgisi faqat "x" ga bog'liq: 
, agar;
, agar.
4) Funksiyaning ortish, kamayish, ekstremal. 
muhim nuqtalardir.
Nuqtalar nolga yaqin nosimmetrikdir, xuddi shunday bo'lishi kerak.
Keling, hosilaning belgilarini aniqlaymiz: 
Funktsiya intervalda ortadi va intervallarda kamayadi 
Ushbu nuqtada funktsiya maksimal darajaga etadi: 
.
Mulk tufayli 
(funktsiyaning g'alatiligi) minimalni o'tkazib yuborish mumkin: 
Funktsiya oraliqda kamayganligi sababli, grafik "minus cheksizlik" da joylashganligi aniq. ostida uning asimptoti bilan. Intervalda funktsiya ham kamayadi, lekin bu erda aksincha - maksimal nuqtadan o'tgandan so'ng, chiziq yuqoridan o'qga yaqinlashadi.
Bundan tashqari, yuqoridagilardan kelib chiqadiki, funksiya grafigi «minus cheksizlikda» qavariq, «plyus cheksizlik»da esa botiq bo‘ladi.
Tadqiqotning ushbu nuqtasidan so'ng, funktsiyaning qiymatlari maydoni ham chizilgan: 
Agar biron bir nuqtani noto'g'ri tushunsangiz, men sizni daftaringizga koordinata o'qlarini chizishingizni va qo'lingizda qalam bilan topshiriqning har bir xulosasini qayta tahlil qilishingizni yana bir bor taklif qilaman.
5) Grafikning qavariqligi, botiqligi, burilishlari.
muhim nuqtalardir.
Nuqtalarning simmetriyasi saqlanib qolgan va, ehtimol, biz xato qilmaymiz.
Keling, belgilarni aniqlaylik: 
Funksiya grafigi qavariq yoniq 
va botiq 
.
Haddan tashqari oraliqlarda konvekslik / konkavlik tasdiqlandi.
Barcha tanqidiy nuqtalarda grafikda burilishlar mavjud. Funktsiyaning g'alatiligidan foydalanib, hisoblar sonini yana kamaytirgan holda, burilish nuqtalarining ordinatalarini topamiz: 
Funktsiyani tadqiq qilish jarayoni bir necha bosqichlardan iborat. Funktsiyaning harakati va uning grafigining tabiati haqida to'liq tasavvurga ega bo'lish uchun quyidagilarni topish kerak:
Funktsiya doirasi.
Ushbu kontseptsiya qiymatlar sohasini ham, funktsiya doirasini ham o'z ichiga oladi.
Tanaffus nuqtalari. (Agar ular mavjud bo'lsa).
O'sish va pasayish intervallari.
Yuqori va past nuqtalar.
Funktsiyaning o'z sohasidagi maksimal va minimal qiymati.
Qavariq va botiqlik joylari.
Burilish nuqtalari (agar mavjud bo'lsa).
Asimptotlar (agar mavjud bo'lsa).
Grafik yaratish.
Keling, ushbu sxemani misol bilan ishlatamiz.
Misol. Funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing.
Biz funktsiyaning mavjudlik maydonini topamiz. Bu aniq ta'rif sohasi funksiya maydon (-; -1) (-1; 1) (1; ).
O'z navbatida, x = 1, x = -1 chiziqlari ekanligini ko'rish mumkin vertikal asimptotlar qiyshiq.
Qiymat maydoni bu funksiyaning intervali (-; ).
tanaffus nuqtalari funksiyalar x=1, x=-1 nuqtalardir.
topamiz tanqidiy nuqtalar.
Funktsiyaning hosilasi topilsin
Kritik nuqtalar: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.
Funktsiyaning ikkinchi hosilasi topilsin
Egri chiziqning qavariq va botiqligini intervallar bilan aniqlaymiz.
- < x < -,y < 0, кривая выпуклая
- 1 < x
< 0, y
>0, egri konkav 0 < x
< 1, y
< 0, кривая выпуклая 1 < x
<
,y
>0, egri konkav < x
< ,
y
>0, egri konkav Bo'shliqlarni topish ortib boradi va tushayotgan funktsiyalari. Buning uchun funksiya hosilasining oraliqlardagi belgilarini aniqlaymiz. -
< x
< -,y
>0, funktsiya ortib bormoqda - 1 < x
< 0, y
< 0, функция убывает 0 < x
< 1, y
< 0, функция убывает 1 < x
<
,y
< 0, функция убывает < x
< ,
y
>0, funktsiya ortib bormoqda Ko'rinib turibdiki, x = - nuqta nuqtadir maksimal, va x = nuqta nuqtadir eng kam. Ushbu nuqtalardagi funktsiya qiymatlari mos ravishda 3/2 va -3/2 ni tashkil qiladi. Vertikal haqida asimptotlar allaqachon yuqorida aytilgan. Endi topamiz qiya asimptotlar. Demak, qiya asimptota tenglamasi y = x. Keling, quraylik jadval Xususiyatlari: Quyida biz har xil turdagi funktsiyalarni differentsial hisoblash usullari bo'yicha tadqiqotning bir nechta misollarini ko'rib chiqamiz. Misol: Differensial hisoblash usullari 1. Bu funksiyaning sohasi barcha haqiqiy sonlar (-; ). 3. Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Oy o'qi bilan: x = 0; y=1; Ox o'qi bilan: y = 0; x = 1; 4. Uzluksizlik nuqtalari va asimptotlar: Vertikal asimptotlar yo'q. Egri asimptotlar: umumiy tenglama y = kx + b; Jami: y \u003d -x - qiya asimptota. 5. Ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalar, ekstremum nuqtalar. Ko'rinib turibdiki, har qanday x 0 uchun u 0, shuning uchun funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi va ekstremalga ega emas. X = 0 nuqtasida funktsiyaning birinchi hosilasi nolga teng, ammo bu nuqtada pasayish ortish uchun o'zgarmaydi, shuning uchun x = 0 nuqtasida funktsiya katta ehtimollik bilan burilishga ega. Burilish nuqtalarini topish uchun funksiyaning ikkinchi hosilasini topamiz. x = 0 uchun y = 0, x = 1 uchun y = . (0,1) va (1,0) nuqtalar burilish nuqtalari, chunki y(1-soat)< 0; y(1+h)
>0; y(-h) > 0; y(h)< 0 для любого h
> 0. 6. Funksiya grafigini tuzamiz. Misol: Funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing. 1. Funktsiya doirasi x ning barcha qiymatlari, x = 0 dan tashqari. 2. Funksiya - bu funksiya umumiy ko'rinish juft va toq jihatidan. 3. Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Ox o'qi bilan: y = 0; x= Oy o'qi bilan: x = 0; y mavjud emas. 4. X \u003d 0 nuqtasi uzilish nuqtasidir, shuning uchun x \u003d 0 chizig'i vertikal asimptotadir. Qiyshiq asimptotlar quyidagi shaklda qidiriladi: y = kx + b. Qiyshiq asimptota y = x. 5. Funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping. ; x = 2 da y = 0, x = 0 da y = . y > 0 da x (-, 0) - funksiya ortadi, y< 0 при х
(0, 2) – функция убывает, y > 0 da x (2, ) – funksiya ortadi. Shunday qilib, nuqta (2, 3) minimal nuqtadir. Funksiyaning qavariq / botiqligining tabiatini aniqlash uchun biz ikkinchi hosilani topamiz. > 0 har qanday x 0 uchun, shuning uchun funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab botiq bo'ladi. 6. Funksiya grafigini tuzamiz. Misol: Funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing. Bu funksiyaning aniqlanish sohasi x (-, ) oraliqdir. Juft va toq ma’nosida funksiya umumiy shakl funksiyasidir. Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Oy o'qi bilan: x = 0, y = 0; Ox o'qi bilan: y = 0, x = 0, x = 1. Egri chiziqli asimptotlar. Vertikal asimptotlar yo'q. y = kx + b ko'rinishdagi qiya asimptotalarni topishga harakat qilaylik. Ekstremal nuqtalarni topish. Kritik nuqtalarni topish uchun siz 4x 3 - 9x 2 + 6x -1 \u003d 0 tenglamasini echishingiz kerak. Buning uchun uchinchi darajali ko'phadni omillarga ajratamiz. Tanlash ushbu tenglamaning ildizlaridan biri raqam ekanligini aniqlashi mumkin x = 1. Keyin: 4x 3 – 9x 2 + 6x – 1 x - 1 4x 3 – 4x 2 4x 2 – 5x + 1 Keyin (x - 1) (4x 2 - 5x + 1) = 0 yozishimiz mumkin. Nihoyat, biz ikkita kritik nuqtani olamiz: x = 1 va x = ¼. Eslatma. Agar hosilani topishda hosilaning hosilasi uchun formuladan foydalanilsa, polinomlarni bo'lish operatsiyasidan qochish mumkin: Funktsiyaning ikkinchi hosilasi topilsin: 12x 2 - 18x + 6. Nolga tenglashtirib, topamiz: Jadvalda olingan ma'lumotlarni tizimlashtiramiz: nashr pastga ortadi nashr pastga ortadi vyp.up ortadi nashr pastga Funktsiyaning grafigini tuzamiz. Vazifa: funktsiyani to'liq o'rganish va uning grafigini qurish. Har bir talaba shunga o'xshash vazifalardan o'tgan. Keyingi narsa yaxshi bilimni nazarda tutadi. Savollaringiz bo'lsa, ushbu bo'limga murojaat qilishingizni tavsiya qilamiz. Funksiyani tadqiq qilish algoritmi quyidagi bosqichlardan iborat.
Funksiya doirasini topish.
Bu funktsiyani o'rganishda juda muhim qadamdir, chunki keyingi barcha harakatlar ta'rif sohasida amalga oshiriladi. Bizning misolimizda biz maxrajning nollarini topishimiz va ularni haqiqiy sonlar mintaqasidan chiqarib tashlashimiz kerak. (Boshqa misollarda, ildizlar, logarifmlar va boshqalar bo'lishi mumkin. Eslatib o'tamiz, bunday hollarda domen quyidagi tarzda qidiriladi:
Funksiyaning aniqlanish sohasi chegarasida harakatini tekshirish, vertikal asimptotalarni topish.
Ta'rif sohasi chegaralarida funktsiya mavjud vertikal asimptotlar, agar bu chegara nuqtalarida cheksiz bo'lsa. Bizning misolimizda aniqlanish sohasining chegara nuqtalari . Ushbu nuqtalarga chap va o'ngdan yaqinlashganda funktsiyaning harakatini tekshiramiz, buning uchun biz bir tomonlama chegaralarni topamiz: Bir tomonlama chegaralar cheksiz bo'lgani uchun, chiziqlar grafikning vertikal asimptotalari hisoblanadi.
Juft yoki toq paritet uchun funksiyani tekshirish.
Funktsiya shunday hatto, agar. Funktsiyaning pariteti y o'qiga nisbatan grafikning simmetriyasini ko'rsatadi. Funktsiya shunday g'alati, agar Agar tengliklarning hech biri qanoatlanmasa, u holda biz umumiy shakl funksiyasiga ega bo'lamiz. Bizning misolimizda tenglik to'g'ri, shuning uchun bizning vazifamiz juft. Grafikni tuzishda buni hisobga olamiz - u y o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi.
Funksiyalarning ortish va kamayish intervallarini, ekstremum nuqtalarini topish.
O'sish va pasayish oraliqlari mos ravishda tengsizliklarning yechimlari hisoblanadi. Hosil yo'qolgan nuqtalar deyiladi statsionar.
Funktsiyaning kritik nuqtalari funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalarini chaqiring.
Izoh(o'sish va pasayish oraliqlariga tanqidiy nuqtalarni kiritish kerakmi). Kritik nuqtalarni, agar ular funktsiya sohasiga tegishli bo'lsa, o'sish va pasayish oraliqlariga kiritamiz. Shunday qilib, funktsiyaning ortish va kamayish intervallarini aniqlash
Bor! Biz lotinni aniqlash sohasida topamiz (qiyinchilik bo'lsa, bo'limga qarang). Buning uchun biz muhim nuqtalarni topamiz: Biz bu nuqtalarni son o'qiga qo'yamiz va hosil bo'lgan har bir oraliq ichidagi hosila belgisini aniqlaymiz. Shu bilan bir qatorda, siz intervalning istalgan nuqtasini olishingiz va shu nuqtada hosilaning qiymatini hisoblashingiz mumkin. Agar qiymat ijobiy bo'lsa, bu oraliq ustiga ortiqcha belgisini qo'ying va keyingisiga o'ting, agar salbiy bo'lsa, minus qo'ying va hokazo. Masalan, Xulosa qilamiz: Sxematik ravishda, ortiqcha / minuslar lotin ijobiy / salbiy bo'lgan oraliqlarni belgilaydi. Ko'tarilish / tushuvchi o'qlar ko'tarilish / pasayish yo'nalishini ko'rsatadi.
funktsiyaning ekstremal nuqtalari funktsiya aniqlangan va hosila o'zgaruvchan belgi o'tadigan nuqtalar. Bizning misolimizda ekstremum nuqta x=0 ga teng. Funktsiyaning bu nuqtadagi qiymati
Funksiyaning qavariqlik va botiqlik intervallarini va burilish nuqtalarini topish.
Funksiyaning botiqlik va qavariqlik intervallari mos ravishda va tengsizliklarni yechish orqali topiladi. Ba'zan botiqlik pastga, qavariq esa yuqoriga qaragan qavariq deb ataladi. Bu erda ham o'sish va pasayish oraliqlari haqidagi paragrafdagiga o'xshash fikrlar o'rinlidir. Shunday qilib, funktsiyaning botiqlik va qavariqlik oraliqlarini aniqlash:
- qiya asimptotlar yo'q.
juft darajali ildiz uchun, masalan, - ta'rif sohasi tengsizlikdan topiladi;
logarifm uchun - ta'rif sohasi tengsizlikdan topiladi ).
. Funksiyaning g'alatiligi grafikning koordinata boshiga nisbatan simmetriyasini ko'rsatadi.
, shuning uchun biz chapdagi birinchi oraliqda ortiqcha qo'yamiz. 
. X=0 nuqtadan o'tganda hosila belgisi plyusdan minusga o'zgarganligi sababli (0; 0) lokal maksimal nuqta hisoblanadi. (Agar lotin belgisini minusdan plyusga o'zgartirsa, biz mahalliy minimal nuqtaga ega bo'lamiz).
Bor!
Ta'rif sohasida ikkinchi hosilani topamiz. 
Bizning misolimizda numerator nollari, maxraj nollari mavjud emas.
Biz bu nuqtalarni haqiqiy o'qga qo'yamiz va har bir hosil bo'lgan interval ichidagi ikkinchi hosilaning belgisini aniqlaymiz. 
Xulosa qilamiz:
Nuqta deyiladi burilish nuqtasi, agar berilgan nuqtada funksiya grafigiga teginish bo'lsa va funksiyaning ikkinchi hosilasi orqali o'tganda ishora o'zgaradi.
Boshqacha qilib aytganda, burilish nuqtalari ikkinchi hosila belgisini o'zgartiradigan nuqtalar bo'lishi mumkin, nuqtalarning o'zi nolga teng yoki mavjud emas, lekin bu nuqtalar funktsiya sohasiga kiritilgan.
Bizning misolimizda burilish nuqtalari yo'q, chunki ikkinchi hosila nuqtalardan o'tishda belgini o'zgartiradi va ular funktsiya sohasiga kiritilmaydi.
Gorizontal va qiya asimptotalarni topish.
Gorizontal yoki qiya asimptotalarni faqat funksiya cheksizlikda aniqlanganda izlash kerak.
Egri asimptotlar to'g'ri chiziqlar shaklida izlanadi , bu erda va 
.
Agar k=0 va b cheksizlikka teng emas, u holda qiya asimptota aylanadi gorizontal.
Bu asimptotlar kimlar?
Bu funksiya grafigi cheksizlikda yaqinlashadigan chiziqlar. Shunday qilib, ular funktsiyani tuzishda juda ko'p yordam beradi.
Agar gorizontal yoki qiya asimptotlar bo'lmasa, lekin funktsiya plyus cheksizlik va/yoki minus cheksizlikda aniqlangan bo'lsa, unda funktsiyaning chegarasi ortiqcha cheksizlik va/yoki minus cheksizlikda hisoblanishi kerak. funksiya grafigi.
Bizning misolimiz uchun 
gorizontal asimptotadir.
Bu funktsiyani o'rganishni yakunlaydi, biz chizishga o'tamiz.
Biz funktsiya qiymatlarini oraliq nuqtalarda hisoblaymiz.
Aniqroq chizish uchun biz oraliq nuqtalarda (ya'ni, funktsiyani aniqlash maydonining istalgan nuqtasida) bir nechta funktsiya qiymatlarini topishni tavsiya qilamiz.
Bizning misolimiz uchun funksiyaning x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4 nuqtalardagi qiymatlarini topamiz. Funksiyaning pariteti tufayli bu qiymatlar x=2 , x=1 , x=3/4 , x=1/4 nuqtalardagi qiymatlarga mos keladi. 
Grafik yaratish.
Birinchidan, biz asimptotalarni quramiz, funktsiyaning mahalliy maksimal va minimal nuqtalarini, burilish nuqtalarini va oraliq nuqtalarni chizamiz. Chizish qulayligi uchun siz o'sish, pasayish, qavariqlik va konkavlik oraliqlarining sxematik belgilarini ham qo'llashingiz mumkin, biz =) funktsiyasini bejiz o'rganganimiz yo'q. 
Belgilangan nuqtalar orqali asimptotalarga yaqinlashib, strelkalar bo'ylab grafik chiziqlarini chizish qoladi. 
Ushbu asar orqali tasviriy san'at funktsiyani to'liq tekshirish va chizmachilik vazifasi tugallandi.
Ba'zilarining jadvallari elementar funktsiyalar asosiy elementar funksiyalarning grafiklari yordamida qurish mumkin.
Differensial hisoblashning eng muhim vazifalaridan biri funksiyalar xatti-harakatlarini o'rganishning umumiy misollarini ishlab chiqishdir.
Agar y \u003d f (x) funktsiyasi intervalda uzluksiz bo'lsa va uning hosilasi (a, b) oraliqda musbat yoki 0 ga teng bo'lsa, u holda y \u003d f (x) (f "(x) ga ortadi. 0). Agar y \u003d f (x) funktsiyasi segmentda uzluksiz bo'lsa va uning hosilasi (a,b) oralig'ida manfiy yoki 0 ga teng bo'lsa, u holda y=f(x) (f"() ga kamayadi. x)0)
Funksiya kamaymaydigan yoki ortib ketmaydigan oraliqlar funksiyaning monotonlik intervallari deyiladi. Funksiyaning monotonligi tabiati faqat uning aniqlanish sohasining birinchi hosilasining belgisi o'zgargan nuqtalarda o'zgarishi mumkin. Funktsiyaning birinchi hosilasi yo'q bo'lib ketadigan yoki uziladigan nuqtalar kritik nuqtalar deyiladi.
1-teorema (ekstremum mavjudligi uchun 1-etarli shart).
y=f(x) funksiya x 0 nuqtada aniqlansin va d>0 qo‘shnilik bo‘lsinki, funksiya segmentda uzluksiz, (x 0 -d,x 0)u( oraliqda differentsiallanuvchi bo‘lsin. x 0 , x 0 +d) va uning hosilasi bu intervallarning har birida doimiy belgini saqlaydi. Agar x 0 -d, x 0) va (x 0, x 0 + d) da hosilaning belgilari boshqacha bo'lsa, x 0 ekstremum nuqta, agar ular mos kelsa, x 0 ekstremum nuqta emas. . Bundan tashqari, agar x0 nuqtasidan o'tayotganda hosila belgisini plyusdan minusga o'zgartirsa (x 0 ning chap tomonida f "(x)> 0 bajarilsa, u holda x 0 maksimal nuqtadir; agar hosila ishorani o'zgartirsa. minusdan plyusga (x 0 ning o'ng tomonida f"(x) tomonidan bajariladi<0, то х 0 - точка минимума.
Maksimal va minimal nuqtalar funksiyaning ekstremum nuqtalari, funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari esa uning ekstremal qiymatlari deyiladi.
2-teorema (mahalliy ekstremum uchun zaruriy mezon).
Agar y=f(x) funksiya joriy x=x 0 da ekstremumga ega bo‘lsa, u holda f'(x 0)=0 yoki f'(x 0) mavjud emas.
Differensiallanuvchi funksiyaning ekstremum nuqtalarida uning grafigiga tegish Ox o'qiga parallel bo'ladi.
Ekstremum uchun funktsiyani o'rganish algoritmi:
1) funksiyaning hosilasini toping.
2) Kritik nuqtalarni toping, ya'ni. funktsiya uzluksiz va hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar.
3) Har bir nuqtaning qo'shniligini ko'rib chiqing va shu nuqtaning chap va o'ng tomonidagi hosila belgisini tekshiring.
4) ekstremal nuqtalarning koordinatalarini aniqlang, kritik nuqtalarning ushbu qiymati uchun ushbu funktsiyani almashtiring. Etarli ekstremal sharoitlardan foydalanib, tegishli xulosalar chiqaring.
18-misol. y=x 3 -9x 2 +24x funksiyasini tekshiring
Qaror.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) hosilani nolga tenglashtirib, x 1 =2, x 2 =4 ni topamiz. Bunday holda, hosila hamma joyda aniqlanadi; demak, ikkita topilgan nuqtadan tashqari, boshqa tanqidiy nuqtalar yo'q.
3) y "=3(x-2)(x-4) hosilasining ishorasi 1-rasmda ko'rsatilgandek intervalga qarab o'zgaradi. X=2 nuqtadan o'tganda hosila plyusdan minusga ishorani o'zgartiradi, va x=4 nuqtadan o'tganda - minusdan ortiqcha.
4) x=2 nuqtada funksiya maksimal y max =20, x=4 nuqtada esa minimal y min =16 ga teng.
Teorema 3. (ekstremum mavjudligi uchun 2-etarli shart).
x 0 nuqtada f "(x 0) va f "" (x 0) mavjud bo'lsin. Agar f "" (x 0)> 0 bo'lsa, x 0 minimal nuqta, agar f "" (x 0) bo'lsa. )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
Segmentda y \u003d f (x) funktsiyasi funktsiyaning (a; b) oralig'ida joylashgan kritik nuqtalarida yoki oxirida eng kichik (hech bo'lmaganda) yoki eng katta (ko'pi) qiymatga erishishi mumkin. segmentidan.
Segmentda uzluksiz y=f(x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish algoritmi:
1) f "(x) ni toping.
2) f "(x) = 0 yoki f" (x) - mavjud bo'lmagan nuqtalarni toping va ulardan segment ichida yotganlarni tanlang.
3) y \u003d f (x) funktsiyasining qiymatini 2-bandda olingan nuqtalarda, shuningdek segmentning oxirida hisoblang va ulardan eng kattasini va eng kichigini tanlang: ular mos ravishda eng katta ( segmentdagi eng katta) va eng kichik (eng kichik uchun) funktsiya qiymatlari.
19-misol. y=x 3 -3x 2 -45+225 uzluksiz funksiyaning segmentdagi eng katta qiymatini toping.
1) Bizda segmentda y "=3x 2 -6x-45 mavjud
2) y" hosilasi barcha x uchun mavjud. y"=0 bo'lgan nuqtalarni topamiz; olamiz:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) funksiyaning x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 nuqtalardagi qiymatini hisoblang.
Faqat x=5 nuqta segmentga tegishli. Funktsiyaning topilgan qiymatlarining eng kattasi 225, eng kichigi esa 50. Demak, max = 225 da, max = 50 da.
Funksiyani qavariqlikda tekshirish
Rasmda ikkita funktsiyaning grafiklari ko'rsatilgan. Ulardan birinchisi bo'rtib yuqoriga, ikkinchisi - pastga burmalangan.
y=f(x) funksiya segmentda uzluksiz va (a;b) oraliqda differensiallanadi, bu segmentda qavariq yuqoriga (pastga) deyiladi, agar axb uchun uning grafigi tangensdan yuqori (past bo'lmagan) bo'lmasa. istalgan nuqtada chizilgan M 0 (x 0 ;f(x 0)), bu erda axb.
Teorema 4. y=f(x) funksiya segmentning istalgan ichki x nuqtasida ikkinchi hosilaga ega bo'lsin va bu segmentning uchlarida uzluksiz bo'lsin. U holda f""(x)0 tengsizlik (a;b) oraliqda bajarilsa, u holda funksiya segmentda pastga qarab qavariq bo'ladi; f""(x)0 tengsizlik (a;b) oraliqda bajarilsa, funksiya yuqoriga qavariq bo'ladi.
Teorema 5. Agar y=f(x) funksiyaning (a;b) oraliqda ikkinchi hosilasi bo‘lsa va u x 0 nuqtadan o‘tganda belgisini o‘zgartirsa, M(x 0 ;f(x 0)) bo‘ladi. burilish nuqtasi.
Burilish nuqtalarini topish qoidasi:
1) f""(x) mavjud bo'lmagan yoki yo'qolgan nuqtalarni toping.
2) Birinchi bosqichda topilgan har bir nuqtaning chap va o'ng tomonidagi f""(x) belgisini tekshiring.
3) 4-teoremaga asoslanib, xulosa chiqaring.
20-misol. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 funksiya grafigining ekstremum nuqtalari va burilish nuqtalarini toping.
Bizda f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Shubhasiz, x 1 =0, x 2 =1 uchun f"(x)=0. Hosilasi x=0 nuqtadan o‘tganda ishorasini minusdan plyusga o‘zgartiradi, x=1 nuqtadan o‘tganda esa ishorasini o‘zgartirmaydi. Demak, x=0 minimal nuqta (y min =12), x=1 nuqtada ekstremum yo‘q. Keyingi, biz topamiz 
. Ikkinchi hosila x 1 =1, x 2 =1/3 nuqtalarda yo'qoladi. Ikkinchi hosilaning belgilari quyidagicha o'zgaradi: (-∞;) nurda f""(x)>0, (;1) oraliqda f""(x) bo'ladi.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Demak, x= funksiya grafigining burilish nuqtasi (qavariqdan pastga qavariqlikka yuqoriga o'tish) va x=1 ham burilish nuqtasi (qavariqdan yuqoriga pastga o'tish). Agar x= bo'lsa, u holda y=; agar, u holda x=1, y=13.
Grafikning asimptotasini topish algoritmi
I. Agar y=f(x) x → a bo‘lsa, x=a vertikal asimptota bo‘ladi.
II. Agar y=f(x) x → ∞ yoki x → -∞ bo'lsa, u holda y=A gorizontal asimptotadir.
III. Egri asimptotani topish uchun biz quyidagi algoritmdan foydalanamiz:
1) Hisoblash. Agar chegara mavjud bo'lsa va b ga teng bo'lsa, u holda y=b gorizontal asimptota; bo'lsa, ikkinchi bosqichga o'ting.
2) Hisoblang. Agar bu chegara mavjud bo'lmasa, u holda asimptota yo'q; agar u mavjud bo'lsa va k ga teng bo'lsa, uchinchi bosqichga o'ting.
3) Hisoblang. Agar bu chegara mavjud bo'lmasa, u holda asimptota yo'q; agar u mavjud bo'lsa va b ga teng bo'lsa, to'rtinchi bosqichga o'ting.
4) y=kx+b qiya asimptota tenglamasini yozing.
21-misol: Funksiyaning asimptotini toping 
1) 
2)
3)
4) qiya asimptota tenglamasi ko'rinishga ega
Funktsiyani o'rganish sxemasi va uning grafigini qurish
I. Funksiya sohasini toping.
II. Funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toping.
III. Asimptotlarni toping.
IV. Mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalarni toping.
V. Muhim nuqtalarni toping.
VI. Yordamchi chizmadan foydalanib, birinchi va ikkinchi hosilalarning belgisini o'rganing. Funksiyaning ortish va kamayish sohalarini aniqlang, grafikning qavariq yo’nalishini, ekstremum nuqtalarini va burilish nuqtalarini toping.
VII. 1-6-bandlarda o'tkazilgan tadqiqotni hisobga olgan holda grafik tuzing.
22-misol: Yuqoridagi sxema bo’yicha funksiya grafigini tuzing
Qaror.
I. Funksiya sohasi x=1 dan tashqari barcha haqiqiy sonlar to‘plamidir.
II. x 2 +1=0 tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lmagani uchun funksiya grafigida Ox o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q, balki Oy o'qini (0; -1) nuqtada kesib o'tadi.
III. Keling, asimptotalarning mavjudligi haqidagi savolga aniqlik kiritaylik. Biz funksiyaning x=1 uzilish nuqtasi yaqinidagi harakatini tekshiramiz. X → -∞ uchun y → ∞, x → 1+ uchun y → +∞ bo‘lgani uchun x=1 chiziq funksiya grafigining vertikal asimptotasidir.
Agar x → +∞(x → -∞) bo‘lsa, u holda y → +∞(y → -∞); shuning uchun grafik gorizontal asimptotaga ega emas. Bundan tashqari, chegaralar mavjudligidan
x 2 -2x-1=0 tenglamani yechishda mumkin bo'lgan ekstremumning ikkita nuqtasini olamiz:
x 1 =1-√2 va x 2 =1+√2
V. Kritik nuqtalarni topish uchun ikkinchi hosilani hisoblaymiz:
f""(x) yo'qolmagani uchun kritik nuqtalar yo'q.
VI. Biz birinchi va ikkinchi hosilalarning belgisini tekshiramiz. Ko'rib chiqilishi mumkin bo'lgan ekstremum nuqtalar: x 1 =1-√2 va x 2 =1+√2, funktsiyaning mavjudlik maydonini intervallarga bo'ling (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) va (1+√2;+∞).
Ushbu intervallarning har birida hosila o'z belgisini saqlab qoladi: birinchisida - ortiqcha, ikkinchisida - minus, uchinchisida - ortiqcha. Birinchi hosila belgilarining ketma-ketligi quyidagicha yoziladi: +, -, +.
(-∞;1-√2) da funksiya ortadi, (1-√2;1+√2) da kamayadi, (1+√2;+∞) da yana ortadi. Ekstremum nuqtalar: x=1-√2 da maksimal, bundan tashqari x=1+√2 da f(1-√2)=2-2√2 minimal, bundan tashqari f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) da grafik yuqoriga qavariq, (1;+∞) da - pastga.
VII Olingan qiymatlar jadvalini tuzamiz
VIII Olingan ma'lumotlarga asoslanib, biz funktsiya grafigining eskizini quramiz 