Namoyishni yashirish
Funktsiyani belgilash usullariFunktsiya quyidagi formula bilan berilgan bo'lsin: y=2x^(2)-3. X mustaqil o'zgaruvchiga har qanday qiymatlarni belgilash orqali siz ushbu formuladan foydalanib, y bog'liq o'zgaruvchining mos keladigan qiymatlarini hisoblashingiz mumkin. Masalan, agar x=-0,5 bo'lsa, formuladan foydalanib, y ning mos keladigan qiymati y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 ekanligini topamiz.
y=2x^(2)-3 formulada x argumenti tomonidan olingan istalgan qiymatni olib, unga mos keladigan funksiyaning faqat bitta qiymatini hisoblashingiz mumkin. Funktsiyani jadval shaklida ko'rsatish mumkin:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Ushbu jadvaldan foydalanib, argument qiymati -1 uchun -3 funktsiya qiymati mos kelishini ko'rishingiz mumkin; x=2 qiymati esa y=0 ga mos keladi va hokazo. Jadvaldagi har bir argument qiymati faqat bitta funktsiya qiymatiga mos kelishini bilish ham muhimdir.
Grafiklar yordamida ko'proq funktsiyalarni belgilash mumkin. Grafik yordamida funktsiyaning qaysi qiymati ma'lum bir x qiymati bilan bog'liqligi aniqlanadi. Ko'pincha, bu funktsiyaning taxminiy qiymati bo'ladi.
Hatto va g'alati funktsiyaDomendagi istalgan x uchun f(-x)=f(x) bo‘lganda funksiya juft funksiya hisoblanadi. Bunday funktsiya Oy o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi.
Domendagi istalgan x uchun f(-x)=-f(x) bo‘lganda funksiya toq funksiya hisoblanadi. Bunday funktsiya O (0;0) kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'ladi.
Funktsiya juft ham, toq ham emas va funksiya deyiladi umumiy ko'rinish, u o'q yoki kelib chiqishiga nisbatan simmetriyaga ega bo'lmaganda.
Paritet uchun quyidagi funktsiyani ko'rib chiqamiz:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) kelib chiqishiga nisbatan ta’rifning simmetrik sohasi bilan. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x^(7))= -f(x) .
Bu f(x)=3x^(3)-7x^(7) funksiya toq ekanligini bildiradi.
Davriy funktsiyaIstalgan x uchun f(x+T)=f(x-T)=f(x) tengligi o‘rinli bo‘lgan y=f(x) funksiya davri T \neq 0 bo‘lgan davriy funksiya deyiladi.
Uzunligi T bo'lgan x o'qining istalgan segmentida funktsiya grafigini takrorlash.
Funktsiya musbat bo'lgan intervallar, ya'ni f(x) > 0 abscissa o'qining abscissa o'qi ustida yotgan funksiya grafigining nuqtalariga mos keladigan segmentlaridir.
f(x) > 0 (x_(1); x_(2)) \kupa (x_(3); +\infty)
Funktsiya manfiy bo'lgan intervallar, ya'ni f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
y=f(x), x \in X funksiyasi odatda quyida chegaralangan deb ataladi, agar A soni mavjud bo'lsa, uning uchun f(x) \geq A tengsizlik har qanday x \da X uchun bajariladi.
Pastdan chegaralangan funksiyaga misol: y=\sqrt(1+x^(2)) chunki har qanday x uchun y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.
y=f(x), x \in X funktsiya yuqorida chegaralangan deb ataladi, agar B soni bo'lsa, uning uchun f(x) \neq B tengsizlik har qanday x \da X uchun bajariladi.
Pastdan chegaralangan funksiyaga misol: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] dan beri y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 uchun [-1;1] ichida har qanday x \ .
y=f(x), x \in X funksiyasi odatda chegaralangan deb ataladi, agar K > 0 tengsizlik \left | f(x)\o'ng | \neq K har qanday x \in X uchun.
Misol cheklangan funksiya: y=\sin x butun sonlar o'qi bo'yicha cheklangan, chunki \left | \sin x \right | \neq 1 .
O'sish va kamaytirish funktsiyasiKo'rib chiqilayotgan oraliqda ortib boruvchi funktsiyani qachon ortib borayotgan funktsiya deb aytish odatiy holdir yuqoriroq qiymat x y=f(x) funksiyaning kattaroq qiymatiga mos keladi. Bundan kelib chiqadiki, x_(1) va x_(2) argumentining ikkita ixtiyoriy qiymatini ko'rib chiqilayotgan oraliqdan x_(1) > x_(2) bilan olib, natija y(x_(1)) > bo'ladi. y(x_(2)).
Ko'rib chiqilayotgan oraliqda kamayib boruvchi funksiya x ning kattaroq qiymati y(x) funksiyaning kichik qiymatiga to'g'ri kelsa, kamayuvchi funktsiya deyiladi. Bundan kelib chiqadiki, ko'rib chiqilayotgan oraliqdan x_(1) va x_(2) va x_(1) > x_(2) argumentlarining ikkita ixtiyoriy qiymatini olib, natija y(x_(1)) bo'ladi.< y(x_{2}) .
Funksiyaning ildizlari odatda F=y(x) funksiya abtsissalar o‘qini kesishgan nuqtalar deb ataladi (ular y(x)=0 tenglamani yechish yo‘li bilan olinadi).
a) Agar x > 0 uchun juft funktsiya oshsa, u x uchun kamayadi< 0
b) juft funksiya x > 0 da kamaysa, u x da ortadi< 0
.png)
c) toq funksiya x > 0 da ortganda, u x da ham ortadi< 0
d) toq funksiya x > 0 uchun kamaysa, u x uchun ham kamayadi< 0
.png)
y=f(x) funksiyaning minimal nuqtasi odatda x=x_(0) nuqta deb ataladi, uning qo‘shnisi boshqa nuqtalarga ega bo‘ladi (x=x_(0) nuqtadan tashqari), ular uchun esa f( tengsizlik). x ) > f(x_(0)) . y_(min) - funksiyaning min nuqtasida belgilanishi.
y=f(x) funksiyaning maksimal nuqtasi odatda x=x_(0) nuqta deb ataladi, uning qo‘shnisi boshqa nuqtalarga ega bo‘ladi (x=x_(0) nuqtadan tashqari) va ular uchun f( tengsizlik). x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Old shartFerma teoremasiga ko'ra: f"(x)=0 bo'lsa, x_(0) nuqtada differentsiallanuvchi f(x) funksiya bu nuqtada ekstremumga ega bo'ladi.
Etarli holatHisoblash bosqichlari:
Funksiyaning juftligi va toqligi uning asosiy xususiyatlaridan biri boʻlib, tenglik maktab matematika kursining taʼsirchan qismini egallaydi. U asosan funktsiyaning harakatini aniqlaydi va tegishli grafikni qurishni sezilarli darajada osonlashtiradi.
Funksiyaning paritetini aniqlaymiz. Umuman olganda, o'rganilayotgan funktsiya uning ta'rif sohasida joylashgan (x) mustaqil o'zgaruvchining qarama-qarshi qiymatlari uchun y (funktsiya) ning mos qiymatlari teng bo'lsa ham hisoblanadi.
Keling, yanada qattiqroq ta'rif beraylik. D domenida aniqlangan ba'zi f (x) funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Ta'rif sohasida joylashgan har qanday x nuqta uchun ham shunday bo'ladi:
- -x (qarama-qarshi nuqta) ham shu doirada yotadi,
- f(-x) = f(x).
Yuqoridagi ta'rifdan bunday funktsiyaning aniqlanish sohasi uchun zarur bo'lgan shart, ya'ni koordinatalarning kelib chiqishi bo'lgan O nuqtaga nisbatan simmetriya kelib chiqadi, chunki ta'rif sohasida qandaydir b nuqta mavjud bo'lsa. hatto funktsiya, keyin mos keladigan nuqta - b ham shu sohada yotadi. Demak, yuqoridagilardan shunday xulosa kelib chiqadi: juft funksiya ordinata o‘qiga (Oy) nisbatan simmetrik shaklga ega.
Funksiyaning pariteti amalda qanday aniqlanadi?
U h(x)=11^x+11^(-x) formulasi yordamida aniqlansin. To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadigan algoritmga rioya qilib, biz birinchi navbatda uning ta'rif sohasini ko'rib chiqamiz. Shubhasiz, u argumentning barcha qiymatlari uchun aniqlanadi, ya'ni birinchi shart bajariladi.
Keyingi qadam (x) argumentiga qarama-qarshi qiymatni (-x) almashtirishdir.
Biz olamiz:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Qo'shish kommutativ (kommutativ) qonunni qanoatlantirganligi sababli, h(-x) = h(x) va berilgan funksional bog'liqlik juft ekanligi aniq.
h(x)=11^x-11^(-x) funksiyaning paritetini tekshiramiz. Xuddi shu algoritmga amal qilib, h(-x) = 11^(-x) -11^x ni olamiz. Minusni olib tashlasak, oxir-oqibat bizda bor
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Shuning uchun h(x) toqdir.
Aytgancha, bu mezonlarga ko'ra tasniflash mumkin bo'lmagan funktsiyalar mavjudligini esga olish kerak, ular na juft, na toq deb nomlanadi;
Hatto funktsiyalar bir qator qiziqarli xususiyatlarga ega:
- shunga o'xshash funktsiyalarni qo'shish natijasida ular teng bo'ladi;
- bunday funktsiyalarni ayirish natijasida juftlik olinadi;
- hatto, ham, hatto;
- ikkita bunday funktsiyani ko'paytirish natijasida juftlik olinadi;
- toq va juft funktsiyalarni ko'paytirish natijasida toq olinadi;
- toq va juft funksiyalarni ajratish natijasida toq funksiya olinadi;
- bunday funktsiyaning hosilasi toq;
- Agar siz toq funktsiyani kvadratga aylantirsangiz, siz juftlikni olasiz.
Tenglamalarni yechish uchun funksiya paritetidan foydalanish mumkin.
Tenglamaning chap tomoni juft funktsiya bo'lgan g (x) = 0 kabi tenglamani yechish uchun o'zgaruvchining manfiy bo'lmagan qiymatlari uchun uning echimlarini topish etarli bo'ladi. Tenglamaning hosil bo'lgan ildizlari qarama-qarshi sonlar bilan birlashtirilishi kerak. Ulardan biri tekshirilishi kerak.
Bu parametr bilan nostandart muammolarni hal qilish uchun ham muvaffaqiyatli qo'llaniladi.
Masalan, 2x^6-x^4-ax^2=1 tenglama uchta ildizga ega bo'ladigan a parametrining qiymati bormi?
Agar o'zgaruvchi tenglamaga juft darajalarda kirishini hisobga olsak, u holda x o'rnini - x bilan almashtirish aniq bo'ladi. berilgan tenglama o'zgarmaydi. Bundan kelib chiqadiki, agar ma'lum bir son uning ildizi bo'lsa, qarama-qarshi son ham ildizdir. Xulosa ravshan: noldan farq qiluvchi tenglamaning ildizlari uning yechimlari to'plamiga "juft" shaklida kiritilgan.
Raqamning o'zi 0 emasligi aniq, ya'ni bunday tenglamaning ildizlari soni faqat juft bo'lishi mumkin va tabiiyki, parametrning har qanday qiymati uchun uning uchta ildizi bo'lishi mumkin emas.
Lekin 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 tenglamaning ildizlari soni toq boʻlishi mumkin va parametrning istalgan qiymati uchun. Haqiqatan ham, ildizlar to'plamini tekshirish oson berilgan tenglama juft eritmalarni o‘z ichiga oladi. Keling, 0 ning ildiz ekanligini tekshiramiz. Uni tenglamaga almashtirsak, 2=2 ni olamiz. Shunday qilib, "juftlangan"lardan tashqari, 0 ham ildiz bo'lib, ularning toq sonini tasdiqlaydi.
Hatto funktsiya.
Belgisi o'zgarganda belgisi o'zgarmaydigan funksiya juft deb ataladi. x.
x tenglik amal qiladi f(–x) = f(x). Imzo x belgisiga ta'sir qilmaydi y.
Juft funksiya grafigi koordinata o'qiga nisbatan simmetrikdir (1-rasm).
Juft funksiyaga misollar:
y=cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Tushuntirish:
Funktsiyani olaylik y = x 2 yoki y = –x 2 .
Har qanday qiymat uchun x funktsiya ijobiydir. Imzo x belgisiga ta'sir qilmaydi y. Grafik koordinata o'qiga nisbatan simmetrikdir. Bu teng funksiya.
G'alati funktsiya.
Belgisi o'zgarganda belgisi o'zgarmaydigan funksiya toq deyiladi. x.
Boshqacha qilib aytganda, har qanday qiymat uchun x tenglik amal qiladi f(–x) = –f(x).
Toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir (2-rasm).
G'alati funktsiyaga misollar:
y= gunoh x
y = x 3
y = –x 3
Tushuntirish:
y = – funksiyasini olaylik. x 3 .
Barcha ma'nolar da u minus belgisiga ega bo'ladi. Bu belgi x belgisiga ta'sir qiladi y. Agar mustaqil o'zgaruvchi musbat son bo'lsa, funktsiya musbat, agar mustaqil o'zgaruvchi manfiy son bo'lsa, funktsiya manfiy bo'ladi: f(–x) = –f(x).
Funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir. Bu g'alati funktsiya.
Juft va toq funksiyalarning xossalari:
ESLATMA:
Barcha funktsiyalar juft yoki toq emas. Bunday gradatsiyaga bo'ysunmaydigan funktsiyalar mavjud. Masalan, ildiz funktsiyasi da = √X juft yoki toq funksiyalarga taalluqli emas (3-rasm). Bunday funktsiyalarning xususiyatlarini sanab o'tishda tegishli tavsif berilishi kerak: na juft, na toq.
Davriy funktsiyalar.
Ma'lumki, davriylik - bu ma'lum jarayonlarning ma'lum vaqt oralig'ida takrorlanishi. Bu jarayonlarni tavsiflovchi funksiyalar davriy funksiyalar deyiladi. Ya'ni, bu grafiklarida ma'lum sonli intervallarda takrorlanadigan elementlar mavjud bo'lgan funktsiyalardir.
Veb-saytga matematik formulalarni qanday kiritish mumkin?
Agar biror marta veb-sahifaga bitta yoki ikkita matematik formula qo'shish kerak bo'lsa, buni qilishning eng oson yo'li maqolada tasvirlanganidek: matematik formulalar Wolfram Alpha tomonidan avtomatik ravishda yaratilgan rasmlar ko'rinishida saytga osongina kiritiladi. . Oddiylikdan tashqari, bu universal usul qidiruv tizimlarida veb-sayt ko'rinishini yaxshilashga yordam beradi. U uzoq vaqtdan beri ishlamoqda (va menimcha, abadiy ishlaydi), lekin allaqachon ma'naviy jihatdan eskirgan.
Agar siz saytingizda muntazam ravishda matematik formulalardan foydalansangiz, men sizga MathJax-dan foydalanishni tavsiya qilaman - MathML, LaTeX yoki ASCIIMathML belgilaridan foydalangan holda veb-brauzerlarda matematik belgilarni ko'rsatadigan maxsus JavaScript kutubxonasi.
MathJax-dan foydalanishni ikki yo'l bilan boshlash mumkin: (1) oddiy kod yordamida siz MathJax skriptini saytingizga tezda ulashingiz mumkin. to'g'ri daqiqa masofaviy serverdan avtomatik ravishda yuklash (serverlar ro'yxati); (2) MathJax skriptini masofaviy serverdan serveringizga yuklab oling va uni saytingizning barcha sahifalariga ulang. Ikkinchi usul – murakkabroq va ko‘p vaqt talab qiluvchi – saytingiz sahifalarini yuklashni tezlashtiradi va agar asosiy MathJax serveri biron sababga ko‘ra vaqtincha ishlamay qolsa, bu sizning saytingizga hech qanday ta’sir qilmaydi. Ushbu afzalliklarga qaramay, men birinchi usulni tanladim, chunki u sodda, tezroq va texnik ko'nikmalarni talab qilmaydi. Mening misolimga amal qiling va atigi 5 daqiqada saytingizda MathJaxning barcha imkoniyatlaridan foydalana olasiz.
MathJax kutubxonasi skriptini uzoq serverdan asosiy MathJax veb-saytidan yoki hujjatlar sahifasidan olingan ikkita kod variantidan foydalanib ulashingiz mumkin:
Ushbu kod variantlaridan birini nusxalash va veb-sahifangiz kodiga joylashtirish kerak, afzalroq teglar orasiga yoki tegdan keyin darhol. Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni kiritsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.
MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytning boshqaruv paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, unga yuqorida keltirilgan yuklab olish kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshiga (Aytgancha, bu mutlaqo kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Ana xolos. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML ning belgilash sintaksisini o'rganing va siz saytingiz veb-sahifalariga matematik formulalarni kiritishga tayyorsiz.
Har qanday fraktal cheksiz ko'p marta doimiy ravishda qo'llaniladigan ma'lum bir qoidaga muvofiq tuziladi. Har bir bunday vaqt iteratsiya deb ataladi.
Menger shimgichni qurishning iterativ algoritmi juda oddiy: 1 tomoni bo'lgan asl kub yuzlariga parallel bo'lgan tekisliklar bilan 27 ga bo'linadi. teng kublar. Undan bitta markaziy kub va unga qo'shni yuzlar bo'ylab 6 kub chiqariladi. Natijada qolgan 20 ta kichik kubdan iborat to'plam paydo bo'ladi. Ushbu kublarning har biri bilan xuddi shunday qilib, biz 400 ta kichik kubdan iborat to'plamni olamiz. Ushbu jarayonni cheksiz davom ettirib, biz Menger shimgichni olamiz.
y o'zgaruvchining x o'zgaruvchiga bog'liqligi, bunda x ning har bir qiymati y ning yagona qiymatiga mos keladi. Belgilash uchun y=f(x) belgisidan foydalaning. Har bir funktsiya bir qator asosiy xususiyatlarga ega, masalan, monotonlik, paritet, davriylik va boshqalar.
Paritet xususiyatini batafsil ko'rib chiqing.
y=f(x) funksiya quyidagi ikkita shartni qondirsa ham chaqiriladi:
2. Funksiyaning aniqlanish sohasiga mansub x nuqtadagi funksiya qiymati -x nuqtadagi funksiya qiymatiga teng bo lishi kerak. Ya’ni har qanday x nuqta uchun funksiyaning aniqlanish sohasidan quyidagi tenglik qanoatlantirilishi kerak: f(x) = f(-x).
Juft funksiya grafigiAgar juft funksiyaning grafigini tuzsangiz, u Oy o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.
Masalan, y=x^2 funksiya juft. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Ta'rif sohasi butun sonli o'qdir, ya'ni u O nuqtaga nisbatan simmetrikdir.
Keling, ixtiyoriy x=3 ni olaylik. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Shuning uchun f(x) = f(-x). Shunday qilib, ikkala shart ham bajariladi, ya'ni funksiya juft bo'ladi. Quyida y=x^2 funksiyaning grafigi keltirilgan.
Rasmda grafikning Oy o'qiga nisbatan simmetrik ekanligi ko'rsatilgan.
Toq funksiya grafigiy=f(x) funksiya quyidagi ikkita shartni qondirsa, toq funksiya deyiladi:
1. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi O nuqtaga nisbatan simmetrik bo‘lishi kerak. Ya’ni, biror a nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lsa, mos keladigan -a nuqta ham aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lishi kerak. berilgan funktsiyadan.
2. Har qanday x nuqta uchun funksiyaning aniqlanish sohasidan quyidagi tenglik bajarilishi kerak: f(x) = -f(x).
Toq funksiyaning grafigi koordinatalarning boshi O nuqtaga nisbatan simmetrikdir. Masalan, y=x^3 funksiya toq. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Ta'rif sohasi butun sonli o'qdir, ya'ni u O nuqtaga nisbatan simmetrikdir.
Ixtiyoriy x=2 ni olaylik. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Shuning uchun f(x) = -f(x). Shunday qilib, ikkala shart ham bajariladi, ya'ni funktsiya g'alati. Quyida y=x^3 funksiyaning grafigi keltirilgan.
Rasmda y=x^3 toq funksiya koordinata boshiga nisbatan simmetrik ekanligini aniq ko‘rsatib turibdi.