Yakuniy testga tayyorgarlik bosqichida o'rta maktab o'quvchilari "Eksponensial tenglamalar" mavzusi bo'yicha bilimlarini oshirishlari kerak. O'tgan yillar tajribasi shuni ko'rsatadiki, bunday vazifalar maktab o'quvchilari uchun ma'lum qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Shuning uchun ham yuqori sinf o‘quvchilari tayyorgarlik darajasidan qat’i nazar, nazariyani puxta egallashlari, formulalarni eslab qolishlari va bunday tenglamalarni yechish tamoyilini tushunishlari kerak. Ushbu turdagi muammolarni hal qilishni o'rgangan bitiruvchilar matematikadan Yagona davlat imtihonini topshirishda yuqori ballga ishonishlari mumkin.
Shkolkovo bilan imtihon sinovlariga tayyorlaning!
O'rganilgan materiallarni ko'rib chiqishda ko'plab talabalar tenglamalarni yechish uchun zarur bo'lgan formulalarni topish muammosiga duch kelishadi. Maktab darsligi har doim ham qo'lida emas va Internetda mavzu bo'yicha kerakli ma'lumotlarni tanlash uzoq vaqt talab etadi.
Shkolkovo ta'lim portali talabalarni bilim bazamizdan foydalanishga taklif qiladi. Biz to'liq amalga oshiramiz yangi usul yakuniy testga tayyorgarlik. Bizning veb-saytimizda o'qish orqali siz bilimlardagi kamchiliklarni aniqlay olasiz va eng qiyinchilik tug'diradigan vazifalarga e'tibor bera olasiz.
Shkolkovo o'qituvchilari Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha materiallarni eng oddiy va eng qulay shaklda to'plashdi, tizimlashtirishdi va taqdim etishdi.
Asosiy ta'riflar va formulalar "Nazariy ma'lumot" bo'limida keltirilgan.
Materialni yaxshiroq tushunish uchun sizga topshiriqlarni bajarishni mashq qilishni tavsiya etamiz. Ushbu sahifada keltirilgan misollarni diqqat bilan ko'rib chiqing. eksponensial tenglamalar hisoblash algoritmini tushunish uchun yechim bilan. Shundan so'ng, "Kataloglar" bo'limidagi vazifalarni bajarishga o'ting. Siz eng oson vazifalardan boshlashingiz yoki to'g'ridan-to'g'ri bir nechta noma'lum yoki noma'lum bo'lgan murakkab eksponensial tenglamalarni echishga o'tishingiz mumkin. Bizning veb-saytimizda mashqlar ma'lumotlar bazasi doimiy ravishda to'ldiriladi va yangilanadi.
Sizga qiyinchilik tug'dirgan ko'rsatkichli misollarni "Sevimlilar"ga qo'shish mumkin. Shunday qilib, siz ularni tezda topishingiz va o'qituvchingiz bilan yechimni muhokama qilishingiz mumkin.
Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirish uchun har kuni Shkolkovo portalida o'qing!
Mening gaplarimdan qo'rqmang, siz 7-sinfda polinomlarni o'rganayotganingizda bu usulga duch kelgansiz.
Masalan, agar sizga kerak bo'lsa:
Guruhlashtiramiz: birinchi va uchinchi shartlar, shuningdek, ikkinchi va to'rtinchi.
Birinchi va uchinchi kvadratlar farqi ekanligi aniq:
ikkinchi va to'rtinchisi esa uchta umumiy koeffitsientga ega:
Keyin asl ifoda bunga teng:
Umumiy omilni qaerdan olish endi qiyin emas:
Demak,
Eksponensial tenglamalarni yechishda biz taxminan shunday qilamiz: atamalar orasidan "umumiylik" ni qidiring va uni qavs ichidan olib tashlang, keyin - nima bo'lishidan qat'iy nazar, biz omadli bo'lishiga ishonaman =))
Misol № 14
O'ng yetti kuchdan yiroq (men tekshirdim!) Chap esa unchalik yaxshi emas...
Siz, albatta, birinchi davrdan boshlab a omilini ikkinchi muddatdan "kesishingiz" mumkin va keyin siz olgan narsangiz bilan shug'ullanishingiz mumkin, ammo keling, siz bilan yanada ehtiyotkor bo'laylik.
Men "tanlash" paytida muqarrar ravishda hosil bo'ladigan kasrlar bilan shug'ullanishni xohlamayman, shuning uchun uni olib tashlashim kerak emasmi?
Keyin menda kasrlar bo'lmaydi: ular aytganidek, bo'rilar boqilgan va qo'ylar xavfsiz:
Qavs ichidagi ifodani hisoblang.
Sehrli, sehrli tarzda, ma'lum bo'ldi (hayratlanarli, ammo yana nimani kutishimiz kerak?).
Keyin tenglamaning ikkala tomonini shu koeffitsientga kamaytiramiz. Biz olamiz: , dan.
Mana murakkabroq misol (juda biroz, haqiqatan ham):
Qanday muammo! Bu yerda bizda umumiy fikr yo‘q!
Hozir nima qilish kerakligi aniq emas.
Keling, qo'limizdan kelganini qilaylik: birinchi navbatda, "to'rtlik" ni bir tomonga, "beshlik" ni boshqa tomonga o'tkazing:
Endi chap va o'ngdagi "umumiy" ni chiqaramiz:
Xo'sh, endi nima?
Bunday ahmoq guruhdan nima foyda? Bir qarashda u umuman ko'rinmaydi, lekin chuqurroq qaraylik:
Xo'sh, endi biz chap tomonda faqat c iborasi borligiga ishonch hosil qilamiz, o'ngda esa - hamma narsa.
Buni qanday qilamiz?
Mana shunday: tenglamaning ikkala tomonini birinchi bo'lib (shuning uchun biz o'ngdagi ko'rsatkichdan xalos bo'lamiz), so'ngra ikkala tomonni ham bo'lamiz (shuning uchun biz chapdagi son koeffitsientidan xalos bo'lamiz).
Nihoyat, biz olamiz:
Ajoyib!
Chap tomonda bizda ifoda, o'ngda esa oddiy ifoda bor.
Keyin biz darhol xulosa qilamiz
Misol № 15
Men uning qisqacha yechimini beraman (tushuntirishlar bilan bezovta qilmasdan), yechimning barcha "nozik tomonlarini" o'zingiz tushunishga harakat qiling.
Endi qoplangan materialning yakuniy konsolidatsiyasi uchun.
Quyidagi 7 ta masalani mustaqil yechish (javoblari bilan)
- Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz: Bu yerda:
- Birinchi ifodani quyidagi shaklda keltiramiz: , ikkala tomonni bo'ling va shuni oling
- , keyin asl tenglama shaklga o'zgartiriladi: Xo'sh, endi bir maslahat - siz va men bu tenglamani qaerda yechganimizni qidiring!
- Tasavvur qiling-a, qanday qilib, qanday qilib, ah, yaxshi, keyin ikkala tomonni bo'ling, shunda siz eng oddiy eksponensial tenglamani olasiz.
- Uni qavslardan chiqarib oling.
- Uni qavslardan chiqarib oling.
EKSPONENTAR TENGLAMALAR. O'RTA DARAJA
O'ylaymanki, birinchi maqolani o'qib chiqqandan so'ng eksponensial tenglamalar nima va ularni yechish usullari, siz eng oddiy misollarni hal qilish uchun zarur bo'lgan minimal bilimlarni o'zlashtirgansiz.
Endi men eksponensial tenglamalarni yechishning boshqa usulini ko'rib chiqaman, bu ...
Yangi o'zgaruvchini (yoki almashtirishni) kiritish usuli
U eksponensial tenglamalar (va nafaqat tenglamalar) mavzusidagi eng "qiyin" muammolarni hal qiladi.
Bu usul quyidagilardan biridir ko'pincha amaliyotda qo'llaniladi. Birinchidan, men sizga mavzu bilan tanishishingizni tavsiya qilaman.
Nomidan allaqachon tushunganingizdek, ushbu usulning mohiyati o'zgaruvchining shunday o'zgarishini kiritishdan iboratki, sizning eksponentsial tenglama mo''jizaviy tarzda siz osongina echadigan tenglamaga aylanadi.
Ushbu "soddalashtirilgan tenglama" ni yechganingizdan so'ng siz uchun qolgan narsa "teskari almashtirish" ni amalga oshirishdir: ya'ni almashtirilgandan almashtirilganga qaytish.
Keling, hozirgina aytganimizni juda oddiy misol bilan ko'rsatamiz:
Misol 16. Oddiy almashtirish usuli
Bu tenglama yordamida yechish mumkin "oddiy almashtirish", matematiklar buni kamsituvchi tarzda ataganidek.
Aslida, bu erda almashtirish eng aniq. Faqat buni ko'rish kerak
Keyin asl tenglama bunga aylanadi:
Agar siz qanday qilib qo'shimcha ravishda tasavvur qilsangiz, uni almashtirish kerakligi aniq ...
Albatta.
Keyin asl tenglama nimaga aylanadi? Mana nima:
Uning ildizlarini o'zingiz osongina topishingiz mumkin: .
Endi nima qilishimiz kerak?
Asl o'zgaruvchiga qaytish vaqti keldi.
Men nimani eslatishni unutdim?
Ya'ni: ma'lum darajani yangi o'zgaruvchiga almashtirganda (ya'ni turni almashtirishda) meni qiziqtiradi faqat ijobiy ildizlar!
Buning sababini o'zingiz osongina javob berishingiz mumkin.
Shunday qilib, siz va men qiziq emasmiz, lekin ikkinchi ildiz biz uchun juda mos keladi:
Keyin qayerdan.
Javob:
Ko'rib turganingizdek, oldingi misolda, almashtirish faqat qo'llarimizni so'radi. Afsuski, bu har doim ham shunday emas.
Biroq, keling, to'g'ridan-to'g'ri qayg'uli narsalarga bormaylik, lekin juda oddiy almashtirish bilan yana bir misol bilan mashq qilaylik.
Misol 17. Oddiy almashtirish usuli
Ehtimol, uni almashtirish kerakligi aniq (bu bizning tenglamamizga kiritilgan darajalarning eng kichigi).
Biroq, almashtirishni kiritishdan oldin, bizning tenglamamiz unga "tayyorlanishi" kerak, ya'ni: , .
Keyin siz o'zgartirishingiz mumkin, natijada men quyidagi iborani olaman:
Oh dahshat: kub tenglama uni hal qilish uchun mutlaqo dahshatli formulalar bilan (yaxshi, umumiy ma'noda).
Lekin darhol umidsizlikka tushmaylik, lekin nima qilishimiz kerakligini o'ylab ko'raylik.
Men aldashni taklif qilaman: biz bilamizki, "chiroyli" javob olish uchun biz uni uchta kuch shaklida olishimiz kerak (nega shunday bo'ladi, ha?).
Keling, tenglamamizning kamida bitta ildizini taxmin qilishga harakat qilaylik (men uchta kuch bilan taxmin qilishni boshlayman).
Birinchi taxmin. Ildiz emas. Voy va oh ...
.
Chap tomoni teng.
O'ng tomoni:!
Ovqatla! Birinchi ildizni taxmin qildim. Endi ishlar osonlashadi!
"Burchak" bo'linish sxemasi haqida bilasizmi? Albatta, siz bir raqamni boshqasiga bo'lganingizda foydalanasiz.
Ammo ko'pnomlar bilan ham xuddi shunday qilish mumkinligini kam odam biladi.
Bitta ajoyib teorema bor:
Mening vaziyatimga taalluqli bo'lsam, bu menga uning qoldiqsiz bo'linishini bildiradi.
Bo'linish qanday amalga oshiriladi? Mana shunday:
Men olish uchun qaysi monomiyani ko'paytirishim kerakligini ko'rib chiqaman
Shunda aniq bo'ladi:
Olingan iborani ayirib, men olaman:
Endi, olish uchun nimani ko'paytirishim kerak?
Shunda men olishim aniq:
va yana qolgan ifodadan olingan ifodani ayiring:
Xo'sh, oxirgi qadam qolgan ifodadan ko'paytirish va ayirishdir:
Huray, bo'linish tugadi! Biz shaxsiy hayotda nimani to'pladik?
Albatta: .
Keyin biz asl polinomning quyidagi kengaytmasini oldik:
Ikkinchi tenglamani yechamiz:
Uning ildizlari bor:
Keyin asl tenglama:
uchta ildizga ega:
Biz, albatta, oxirgi ildizni olib tashlaymiz, chunki u noldan kichikdir.
Va teskari almashtirishdan keyingi dastlabki ikkitasi bizga ikkita ildiz beradi:
Javob: ..
Men bu misol bilan sizni qo'rqitmoqchi emas edim!
Aksincha, aksincha, mening maqsadim, bizda juda oddiy almashtirish bo'lsa-da, bu juda murakkab tenglamaga olib kelganligini ko'rsatish edi, uni hal qilish bizdan maxsus ko'nikmalarni talab qiladi.
Axir, hech kim bundan himoyalanmagan. Ammo bu holatda almashtirish juda aniq edi.
Misol № 18 (aniqroq almashtirish bilan)
Biz nima qilishimiz kerakligi umuman aniq emas: muammo shundaki, bizning tenglamamizda ikki xil asos mavjud va bir asosni boshqasidan biron bir (oqilona, tabiiy) kuchga ko'tarish orqali olish mumkin emas.
Biroq, biz nimani ko'ramiz?
Ikkala asos ham faqat belgi bilan farqlanadi va ularning mahsuloti bittaga teng kvadratlar farqidir:
Ta'rifi:
Shunday qilib, bizning misolimizda asos bo'lgan raqamlar konjugatdir.
Bunday holda, aqlli qadam bo'ladi tenglamaning ikkala tomonini konjugat soniga ko'paytiring.
Masalan, on, keyin tenglamaning chap tomoni teng bo'ladi va o'ng.
Agar almashtirishni amalga oshirsak, asl tenglamamiz quyidagicha bo'ladi:
uning ildizlari, keyin va buni eslab, biz buni tushunamiz.
Javob: , .
Qoidaga ko'ra, almashtirish usuli ko'pchilik "maktab" eksponensial tenglamalarni echish uchun etarli.
Yuqori darajadagi murakkablikdagi quyidagi vazifalar Yagona davlat imtihonining variantlaridan olingan.
Yagona davlat imtihonining variantlaridan murakkablikdagi uchta vazifa
Siz allaqachon bu misollarni o'zingiz hal qilish uchun etarli darajada savodlisiz. Men faqat kerakli almashtirishni beraman.
- Tenglamani yeching:
- Tenglamaning ildizlarini toping:
- Tenglamani yeching: . Ushbu tenglamaning segmentga tegishli barcha ildizlarini toping:
Va endi qisqacha tushuntirishlar va javoblar:
Misol № 19
Shu o‘rinda shuni ta’kidlashimiz kifoya...
Keyin asl tenglama bunga ekvivalent bo'ladi:
Bu tenglamani almashtirish orqali yechish mumkin
Qo'shimcha hisob-kitoblarni o'zingiz bajaring.
Oxir-oqibat, sizning vazifangiz oddiy trigonometrik muammolarni hal qilish uchun qisqartiriladi (sinus yoki kosinusga qarab). Boshqa bo'limlarda shunga o'xshash misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz.
Misol № 20
Bu yerda siz hatto almashtirmasdan ham qila olasiz...
Subtrahendni o'ngga siljitish va ikkala asosni ikkitaning vakolatlari orqali ifodalash kifoya: , va keyin darhol kvadrat tenglamaga o'ting.
Misol № 21
Bu ham juda standart tarzda hal qilinadi: keling, qanday qilib buni tasavvur qilaylik.
Keyin, almashtirsak, kvadrat tenglamani olamiz: keyin,
Logarifm nima ekanligini allaqachon bilasiz, to'g'rimi? Yo'qmi? Unda zudlik bilan mavzuni o'qing!
Birinchi ildiz segmentga tegishli emasligi aniq, lekin ikkinchisi aniq emas!
Ammo biz buni tez orada bilib olamiz!
O'shandan beri (bu logarifmning xususiyati!)
Ikkala tomondan ayirish, keyin biz olamiz:
Chap tomonni quyidagicha ifodalash mumkin:
ikkala tomonni ko'paytiring:
ga ko'paytirish mumkin, keyin
Keyin solishtiring:
shundan beri:
Keyin ikkinchi ildiz kerakli intervalga tegishli
Javob:
Ko'rib turganingizdek, ko'rsatkichli tenglamalarning ildizlarini tanlash logarifmlarning xossalarini etarlicha chuqur bilishni talab qiladi, shuning uchun men sizga eksponensial tenglamalarni yechishda iloji boricha ehtiyot bo'lishingizni maslahat beraman.
Siz tushunganingizdek, matematikada hamma narsa o'zaro bog'liq!
Matematika o'qituvchim aytganidek: "Matematikani, xuddi tarix kabi, bir kechada o'qib bo'lmaydi".
Qoida tariqasida, hammasi Murakkablik darajasi yuqori bo'lgan muammolarni hal qilishdagi qiyinchilik aynan tenglamaning ildizlarini tanlashdir.
Amaliyot uchun yana bir misol ...
22-misol
Ko'rinib turibdiki, tenglamaning o'zi juda oddiy hal qilinadi.
O'zgartirishni amalga oshirish orqali biz asl tenglamamizni quyidagiga kamaytiramiz:
Avval ko'rib chiqaylik birinchi ildiz.
Keling, solishtiramiz va: beri, keyin. (mulk logarifmik funktsiya, at).
Shunda birinchi ildiz bizning intervalimizga tegishli emasligi aniq bo'ladi.
Endi ikkinchi ildiz: . Bu aniq (chunki at funksiyasi ortib bormoqda).
Taqqoslash va ...
beri, keyin, bir vaqtning o'zida.
Shu tarzda men va orasidagi "qoziqni haydab" olaman.
Bu qoziq raqamdir.
Birinchi ifoda kichikroq, ikkinchisi esa kattaroq.
Keyin ikkinchi ifoda birinchisidan kattaroq va ildiz intervalga tegishli.
Javob: .
Va nihoyat, almashtirish juda g'ayrioddiy bo'lgan tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqaylik.
23-misol (Nostandart almashtirish bilan tenglama!)
Keling, darhol nima qilish mumkinligidan boshlaylik va nima qilish mumkin - printsipial jihatdan, buni qilish mumkin, lekin buni qilmaslik yaxshiroqdir.
Siz hamma narsani uch, ikki va oltita kuchlar orqali tasavvur qilishingiz mumkin.
Bu nimaga olib keladi?
Bu hech narsaga olib kelmaydi: darajalar chalkashligi, ulardan ba'zilaridan qutulish juda qiyin bo'ladi.
Keyin nima kerak?
E'tibor bering, a
Va bu bizga nima beradi?
Va biz qarorni kamaytirishimiz mumkinligi bu misol Yechish uchun oddiy eksponensial tenglama yetarli!
Birinchidan, tenglamamizni quyidagicha qayta yozamiz:
Endi hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini quyidagilarga ajratamiz:
Evrika! Endi biz almashtirishimiz mumkin, biz olamiz:
Xo'sh, endi ko'rgazmali muammolarni hal qilish navbati sizda, adashib qolmaslik uchun men ularga qisqacha izoh beraman! Omad tilaymiz!
Misol № 24
Eng qiyin!
Bu erda o'rinbosarni ko'rish juda qiyin! Ammo shunga qaramay, ushbu misol yordamida butunlay hal qilish mumkin to'liq kvadratni ta'kidlash.
Uni hal qilish uchun shuni ta'kidlash kifoya:
Keyin sizning o'rningiz:
(Iltimos, shuni esda tutingki, biz almashtirish paytida biz salbiy ildizni tashlay olmaymiz!!! Nima uchun deb o'ylaysiz?)
Endi misolni hal qilish uchun faqat ikkita tenglamani echishingiz kerak:
Ularning ikkalasini ham "standart almashtirish" bilan hal qilish mumkin (lekin ikkinchisi bitta misolda!)
Misol № 25
2. Bunga e'tibor bering va uni almashtiring.
Misol № 26
3. Sonni ko‘paytiruvchi omillarga ajrating va olingan ifodani soddalashtiring.
Misol № 27
4. Kasrning soni va maxrajini (yoki agar xohlasangiz) ga bo'ling va yoki almashtirishni bajaring.
Misol № 28
5. E'tibor bering va sonlar birikadi.
KO'RSATMA TENGLAMALARNI LOGARIFM USULIDA YECHISH. ILG'IY DARAJA
Bundan tashqari, keling, boshqa yo'lni ko'rib chiqaylik - ko'rsatkichli tenglamalarni logarifm usuli yordamida yechish.
Ushbu usul yordamida eksponensial tenglamalarni yechish juda mashhur deb ayta olmayman, lekin ba'zi hollarda faqat bu bizni olib kelishi mumkin to'g'ri qaror bizning tenglamamiz.
Bu, ayniqsa, tez-tez "deb nomlangan muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. aralash tenglamalar": ya'ni har xil turdagi funktsiyalar sodir bo'lganlar.
Misol № 29
umumiy holatda, uni faqat ikkala tomonning logarifmlarini (masalan, bazaga) olish orqali hal qilish mumkin, bunda dastlabki tenglama quyidagilarga aylanadi:
Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:
Logarifmik funktsiyaning ODZ ga ko'ra bizni faqat qiziqtirishi aniq.
Biroq, bu faqat logarifmning ODZ dan emas, balki yana bir sababga ko'ra kelib chiqadi.
O'ylaymanki, qaysi biri ekanligini taxmin qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi.
Keling, tenglamamizning ikkala tomonining logarifmini asosga olaylik:
Ko'rib turganingizdek, dastlabki tenglamamizning logarifmini olish bizni tezda to'g'ri (va chiroyli!) javobga olib keldi.
Keling, yana bir misol bilan mashq qilaylik.
Misol № 30
Bu erda ham hech qanday xatolik yo'q: keling, tenglamaning ikkala tomonining logarifmini asosga olaylik, keyin biz olamiz:
Keling, almashtiramiz:
Biroq, biz bir narsani o'tkazib yubordik! Qayerda xato qilganimni payqadingizmi? Axir, keyin:
bu talabni qondirmaydi (u qaerdan kelganini o'ylab ko'ring!)
Javob:
Quyidagi eksponensial tenglamalar yechimini yozishga harakat qiling:
Endi qaroringizni shu bilan solishtiring:
Misol № 31
Quyidagilarni hisobga olib, ikkala tomonni asosga logarifm qilamiz:
(ikkinchi ildiz almashtirish tufayli biz uchun mos emas)
Misol № 32
Bazaga logarifmlarni olaylik:
Olingan ifodani quyidagi shaklga aylantiramiz:
EKSPONENTAR TENGLAMALAR. QISQA TA'RIF VA ASOSIY FORMULALAR
Eksponensial tenglama
Shakl tenglamasi:
chaqirdi eng oddiy eksponensial tenglama.
Darajalar xossalari
Yechimga yondashuvlar
- Xuddi shu asosga qisqartirish
- Xuddi shu ko'rsatkichga qisqartirish
- O'zgaruvchan almashtirish
- Ifodani soddalashtirish va yuqoridagilardan birini qo'llash.
Orqaga Oldinga
Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.
Dars turi
: “Ko‘rsatkichli tenglamalar va ularni yechish usullari” mavzusidagi bilim, ko‘nikma va malakalarni umumlashtirish va kompleks qo‘llash darsi.Dars maqsadlari.
Uskunalar:
kompyuter va multimedia proyektori.Sinfda ishlatiladi axborot texnologiyalari : dars uchun uslubiy yordam - Microsoft Power Point dasturida taqdimot.
Darsning borishi
Har bir mahorat mashaqqatli mehnat bilan birga keladi
I. Dars maqsadini belgilash(Slayd raqami 2 )
Ushbu darsda biz “Eksponensial tenglamalar, ularning yechimlari” mavzusini umumlashtiramiz va umumlashtiramiz. Keling, ushbu mavzu bo'yicha turli yillardagi Yagona davlat imtihonining odatiy vazifalari bilan tanishaylik.
Eksponensial tenglamalarni yechish masalalarini Yagona davlat imtihon topshiriqlarining istalgan qismida topish mumkin. "qismida IN " Odatda ular eng oddiy eksponensial tenglamalarni echishni taklif qiladilar. "qismida BILAN " Siz ko'proq murakkab eksponensial tenglamalarni topishingiz mumkin, ularning echimi odatda vazifani bajarish bosqichlaridan biridir.
Masalan ( Slayd raqami 3 ).
- Yagona davlat imtihoni - 2007 yil
4-savol – ifodaning eng katta qiymatini toping x y, qayerda ( X; da) – tizim yechimi:
1-savol – Tenglamalarni yeching:
A) X 6 3X – 36 6 3X = 0;
b) 4 X +1 + 8 4X= 3.
4-savol – Ifodaning ma’nosini toping x + y, qayerda ( X; da) – tizim yechimi:
- Yagona davlat imtihoni - 2010 yil
II. Asosiy bilimlarni yangilash. Takrorlash
(Slaydlar № 4 – 6 dars uchun taqdimotlar)Ekranda ko'rsatilgan nazariy materialning qisqacha mazmuni mavzu bo'yicha.
Quyidagi masalalar muhokama qilinadi:
- Qanday tenglamalar deyiladi indikativ?
- Ularni hal qilishning asosiy usullarini ayting. Ularning turlariga misollar keltiring ( Slayd raqami 4 )
- Shaklning oddiy ko'rsatkichli tenglamalarini yechishda qanday teorema qo'llaniladi: va f(x) = a g(x) ?
- Eksponensial tenglamalarni yechishning yana qanday usullari mavjud? ( Slayd raqami 5 )
(Har bir usul uchun taklif qilingan tenglamalarni mustaqil yechish va slayd yordamida o'z-o'zini tekshirish)
- Faktorizatsiya usuli (bilan kuchlarning xususiyatlariga asoslanib bir xil asoslar, texnika: eng past ko'rsatkichli daraja qavs ichidan chiqariladi).
- Bir jinsli ko'rsatkichli tenglamalarni yechishda noldan boshqa ko'rsatkichli ifodaga bo'lish (ko'paytirish) texnikasi .
- Maslahat:
-
Keyingi izohlar bilan oxirgi ikki usul yordamida tenglamalarni yechish
(Slayd raqami 6 ).
. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .
2 2 2x – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,2 (2/5) 2x – 3 (2/5) X - 5 = 0,
t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...
III. Yagona davlat imtihon topshiriqlarini hal qilish 2010
Talabalar 3-slaydda dars boshida taklif qilingan vazifalarni mustaqil ravishda hal qilish bo'yicha ko'rsatmalardan foydalangan holda hal qiladilar, echishdagi muvaffaqiyatlarini va taqdimot yordamida ularga javoblarni tekshiradilar ( Slayd raqami 7). Ish davomida variantlar va echimlar muhokama qilinadi, e'tibor qaratiladi mumkin bo'lgan xatolar qaror qabul qilganda.
: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Javob: A) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (0,5 = 4 – 0,5 ga almashtirilishi mumkin)Yechim. ,
X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …
Javob: X= -5/2, X = 1/2.
: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, at cos y< 0.Yechim uchun ko'rsatmalar
. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,5 5 2g y+ 4 5 tg y - 1 = 0. Keling X= 5 tg y , …
5 tg y = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.
tg dan beri y= -1 va cos y< 0, keyin da II koordinatali chorak
Javob: da= 3/4 + 2k, k N.
IV. Kengashda jamoaviy ish
Yuqori darajadagi o'quv vazifasi ko'rib chiqilmoqda - Slayd raqami 8. Ushbu slayd yordamida o'qituvchi va talabalar o'rtasida dialog yuzaga keladi, bu yechimni ishlab chiqishga yordam beradi.
- Qaysi parametrda A tenglama 2 2 X – 3 2 X + A 2 – 4A= 0 ning ikkita ildizi bormi?Mayli t= 2 X, Qayerda t > 0 . olamiz t 2 – 3t + (A 2 – 4A) = 0 .
1). Tenglama ikkita ildizga ega bo'lgani uchun D > 0;
2). Chunki t 1,2 > 0, keyin t 1 t 2 > 0, ya'ni A 2 – 4A> 0 (?...).
Javob: A(– 0,5; 0) yoki (4; 4,5).
V. Test ishi
(Slayd raqami 9 )Talabalar ijro etishadi sinov ishi qog'oz varaqlarida, taqdimot yordamida bajarilgan ishlarni o'z-o'zini nazorat qilish va o'z-o'zini baholash, mavzu bo'yicha mustahkamlanib borish. Ular mustaqil ravishda ish kitoblarida yo'l qo'yilgan xatolar asosida bilimlarni tartibga solish va tuzatish dasturini belgilaydilar. Tugallangan mustaqil ish varaqlari tekshirish uchun o'qituvchiga topshiriladi.
Belgilangan raqamlar - asosiy daraja, yulduzcha bilan - murakkablik ortdi.
Yechim va javoblar.
3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,
x = -1.
4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,
3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,
3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,
3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (mos kelmaydi),
(3/5) X = 5, x = -1.
VI. Uyga vazifa
(Slayd raqami 10 )- § 11, 12-ni takrorlang.
- Kimdan Yagona davlat imtihon materiallari 2008 – 2010 yillar mavzu bo‘yicha vazifalarni tanlab, ularni yechish.
- Uyda test ishi :
Ushbu dars eksponensial tenglamalarni endigina o'rganishni boshlaganlar uchun mo'ljallangan. Har doimgidek, ta'rif va oddiy misollar bilan boshlaylik.
Agar siz ushbu darsni o'qiyotgan bo'lsangiz, men sizda eng oddiy tenglamalar - chiziqli va kvadratik tenglamalar haqida hech bo'lmaganda minimal tushunchaga ega ekanligingizga shubha qilaman: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ va hokazo. Endi muhokama qilinadigan mavzuda "tiqilib qolmaslik" uchun bunday konstruktsiyalarni hal qila olish juda zarur.
Demak, eksponensial tenglamalar. Sizga bir-ikki misol keltiraman:
\[((2)^(x))=4;\to'rt ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\to'rt ((9)^(x))=- 3\]
Ulardan ba'zilari sizga murakkabroq tuyulishi mumkin, boshqalari esa, aksincha, juda oddiy. Lekin ularning barchasida bitta muhim xususiyat bor: ularning yozuvida $f\left(x \right)=((a)^(x))$ eksponensial funksiya mavjud. Shunday qilib, ta'rifni kiritamiz:
Eksponensial tenglama - bu ko'rsatkichli funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tenglama, ya'ni. $((a)^(x))$ shaklining ifodasi. Belgilangan funktsiyaga qo'shimcha ravishda, bunday tenglamalar boshqa har qanday algebraik tuzilmalarni o'z ichiga olishi mumkin - polinomlar, ildizlar, trigonometriya, logarifmlar va boshqalar.
OK, unda. Biz ta'rifni saralab oldik. Endi savol tug'iladi: bu axlatni qanday hal qilish kerak? Javob oddiy va murakkab.
Keling, xushxabardan boshlaylik: ko'plab talabalarni o'rgatish tajribamdan shuni aytishim mumkinki, ularning ko'pchiligi eksponensial tenglamalarni bir xil logarifmlarga qaraganda ancha oson, hatto undan ham ko'proq trigonometriyani topadi.
Ammo yomon xabar bor: ba'zida barcha turdagi darsliklar va imtihonlar uchun muammolarni yozuvchilar "ilhom" bilan hayratda qoladilar va ularning dori bilan yallig'langan miyasi shunday shafqatsiz tenglamalarni ishlab chiqara boshlaydiki, ularni hal qilish nafaqat talabalar, balki ko'plab o'qituvchilar uchun ham muammoli bo'ladi. bunday muammolarga yopishib oling.
Biroq, qayg'uli narsalar haqida gapirmaylik. Keling, hikoyaning boshida berilgan uchta tenglamaga qaytaylik. Keling, ularning har birini hal qilishga harakat qilaylik.
Birinchi tenglama: $((2)^(x))=4$. Xo'sh, 4 raqamini olish uchun 2 raqamini qanday kuchga ko'tarish kerak? Ehtimol, ikkinchisi? Axir, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - va biz huquqqa ega bo'ldik raqamli tenglik, ya'ni. haqiqatan ham $x=2$. Rahmat, Cap, lekin bu tenglama shunchalik sodda ediki, hatto mening mushukim ham buni hal qila oldi :)
Keling, quyidagi tenglamani ko'rib chiqaylik:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Ammo bu erda hamma narsa biroz murakkabroq. Ko'pgina talabalar $((5)^(2))=25$ ko'paytirish jadvali ekanligini bilishadi. Ba'zilar, shuningdek, $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ manfiy kuchlarning ta'rifi ($((a)^(-n))= formulasiga o'xshash, deb gumon qilishadi. frac(1)(((a)^(n)))$).
Nihoyat, faqat bir nechtasi bu faktlarni birlashtirish mumkinligini tushunadi va quyidagi natijani beradi:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Shunday qilib, bizning asl tenglamamiz quyidagicha qayta yoziladi:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Ammo bu allaqachon butunlay hal qilinadi! Tenglamaning chap tomonida ko'rsatkichli funktsiya, tenglamaning o'ng tomonida ko'rsatkichli funktsiya mavjud, ulardan boshqa joyda hech narsa yo'q. Shuning uchun biz asoslarni "tashlab qo'yishimiz" va ko'rsatkichlarni ahmoqona tenglashtirishimiz mumkin:
Biz har qanday talaba bir-ikki qatorda yecha oladigan eng oddiy chiziqli tenglamani oldik. Yaxshi, to'rt qatorda:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Agar oxirgi to'rt qatorda nima bo'lganini tushunmasangiz, mavzuga qaytishni unutmang " chiziqli tenglamalar"va takrorlang. Chunki bu mavzuni aniq tushunmay turib, ko‘rsatkichli tenglamalarni qabul qilishga hali erta.
\[((9)^(x))=-3\]
Xo'sh, buni qanday hal qilishimiz mumkin? Birinchi fikr: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, shuning uchun asl tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:
\[((\left(((3)^(2)) \o'ng))^(x))=-3\]
Keyin biz eslaymizki, kuchni kuchga ko'tarishda ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:
\[((\left(((3)^(2)) \o'ng))^(x))=((3)^(2x))\O'ng strelka ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Va bunday qaror uchun biz halol ravishda munosib ikkitasini olamiz. Chunki biz Pokemonning tengligi bilan uchtasining oldidagi minus belgisini aynan shu uchlikning kuchiga yubordik. Lekin siz buni qilolmaysiz. Va buning sababi. Uchta kuchning turli kuchlarini ko'rib chiqing:
\[\begin(matritsa) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matritsa)\]
Ushbu planshetni kompilyatsiya qilishda men hech narsani buzmadim: men ijobiy kuchlarga qaradim, salbiy va hatto kasrlarga ham qaradim ... yaxshi, bu erda kamida bitta salbiy raqam qayerda? U ketdi! Va bunday bo'lishi mumkin emas, chunki $y=((a)^(x))$ eksponensial funktsiyasi, birinchidan, har doim faqat ijobiy qiymatlarni oladi (bir qancha ko'paytirilsa yoki ikkiga bo'linmasin, u baribir shunday bo'ladi. musbat son), ikkinchidan, bunday funktsiyaning asosi - $a$ soni - ta'rifi bo'yicha musbat son!
Xo'sh, $((9)^(x))=-3$ tenglamasini qanday yechish mumkin? Ammo hech qanday yo'l yo'q: ildizlar yo'q. Va bu ma'noda ko'rsatkichli tenglamalar kvadrat tenglamalarga juda o'xshash - ildizlar ham bo'lmasligi mumkin. Ammo agar ichkariga kirsa kvadrat tenglamalar ildizlar soni diskriminant tomonidan aniqlanadi (musbat diskriminant - 2 ta ildiz, salbiy - ildiz yo'q), keyin eksponensiyada hamma narsa teng belgining o'ng tomonida joylashganiga bog'liq.
Shunday qilib, keling, asosiy xulosani shakllantiramiz: $((a)^(x))=b$ ko‘rinishdagi eng oddiy eksponensial tenglama, agar $b \gt 0$ bo‘lsa, ildizga ega bo‘ladi. Ushbu oddiy haqiqatni bilib, sizga taklif qilingan tenglamaning ildizlari bor yoki yo'qligini osongina aniqlashingiz mumkin. Bular. Buni umuman hal qilishga arziydimi yoki darhol hech qanday ildiz yo'qligini yozishga arziydi.
Bu bilim bizga ko'p marta murakkabroq muammolarni hal qilishda yordam beradi. Hozircha qo'shiq so'zlari etarli - eksponensial tenglamalarni echishning asosiy algoritmini o'rganish vaqti keldi.
Eksponensial tenglamalarni yechish usullari
Shunday qilib, keling, muammoni shakllantiramiz. Eksponensial tenglamani yechish kerak:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]
Biz ilgari qo'llagan "sodda" algoritmga ko'ra, $b$ raqamini $a$ sonining kuchi sifatida ko'rsatish kerak:
Bundan tashqari, agar $x$ o'zgaruvchisi o'rniga biron bir ifoda mavjud bo'lsa, biz allaqachon yechish mumkin bo'lgan yangi tenglamani olamiz. Masalan:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\O'ng strelka ((2)^(x))=((2)^(3))\O'ng strelka x=3; \\& ((3)^(-x))=81\O'ng strelka ((3)^(-x))=((3)^(4))\O'ngga -x=4\O'ngga x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Oʻng strelka ((5)^(2x))=((5)^(3))\Oʻng 2x=3\Oʻng strelka x=\frac(3)( 2). \\\end (tekislash)\]
Va g'alati, bu sxema taxminan 90% hollarda ishlaydi. Qolgan 10% haqida nima deyish mumkin? Qolgan 10% shakldagi biroz "shizofrenik" eksponensial tenglamalar:
\[((2)^(x))=3;\to'rt ((5)^(x))=15;\to'rt ((4)^(2x))=11\]
Xo'sh, 3 ni olish uchun 2 ni qanday kuchga ko'tarish kerak? Birinchidan? Lekin yo'q: $((2)^(1))=2$ yetarli emas. Ikkinchidan? Yo'q: $((2)^(2))=4$ juda ko'p. Xo'sh, qaysi biri?
Bilimdon talabalar, ehtimol, allaqachon taxmin qilishgan: bunday hollarda, uni "chiroyli" hal qilishning iloji bo'lmaganda, "og'ir artilleriya" - logarifmlar o'ynaydi. Sizga shuni eslatib o'tamanki, logarifmlardan foydalangan holda har qanday musbat son har qanday boshqa ijobiy sonning kuchi sifatida ifodalanishi mumkin (bittasidan tashqari):
Ushbu formulani eslaysizmi? Talabalarimga logarifmlar haqida gapirganda, men doimo ogohlantiraman: bu formula (bu ham asosiy logarifmik identifikatsiya yoki, agar xohlasangiz, logarifmning ta'rifi) sizni juda uzoq vaqt ta'qib qiladi va eng ko'p "qalqib chiqadi". kutilmagan joylar. Xo'sh, u yuzaga chiqdi. Keling, tenglamamizni va ushbu formulani ko'rib chiqaylik:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Agar $a=3$ o'ng tomondagi asl raqamimiz va $b=2$ o'ng tomonni qisqartirmoqchi bo'lgan eksponensial funktsiyaning asosi deb hisoblasak, biz quyidagilarni olamiz:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\O'ng strelka 3=((2)^(((\log )_(2))3 ))) \\& ((2)^(x))=3\O‘ng yo‘l ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\O‘ng yo‘l x=( (\log )_(2))3. \\\end (tekislash)\]
Biz biroz g'alati javob oldik: $x=((\log )_(2))3$. Boshqa bir vazifada, ko'pchilik bunday javobga shubha qiladi va o'z yechimini ikki marta tekshirishni boshlaydi: agar biror joyda xatolik yuz bergan bo'lsa-chi? Men sizni xursand qilishga shoshilaman: bu erda xatolik yo'q va eksponensial tenglamalarning ildizlaridagi logarifmlar mutlaqo odatiy holatdir. Shunday qilib, ko'nik.
Endi qolgan ikkita tenglamani analogiya bo'yicha yechamiz:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\O'ng strelka ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \O'ng strelka x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Oʻng strelka ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Oʻng 2x=( (\log )_(4))11\O'ng strelka x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end (tekislash)\]
Bo'ldi shu! Aytgancha, oxirgi javob boshqacha yozilishi mumkin:
Biz logarifm argumentiga omil kiritdik. Ammo bu omilni bazaga qo'shishimizga hech kim to'sqinlik qilmaydi:
Bundan tashqari, uchta variant ham to'g'ri - bu oddiy turli shakllar bir xil raqamdagi yozuvlar. Qaysi birini tanlash va ushbu yechimda yozishni o'zingiz hal qilasiz.
Shunday qilib, biz $((a)^(x))=b$ ko‘rinishdagi har qanday ko‘rsatkichli tenglamalarni yechishni o‘rgandik, bunda $a$ va $b$ raqamlari qat’iy musbat. Biroq, bizning dunyomizning qattiq haqiqati shunday oddiy vazifalar juda, juda kamdan-kam uchrashasiz. Ko'pincha siz shunga o'xshash narsalarni uchratasiz:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end (tekislash)\]
Xo'sh, buni qanday hal qilishimiz mumkin? Buni umuman hal qilish mumkinmi? Va agar shunday bo'lsa, qanday qilib?
Vahimaga tushma. Bu tenglamalarning barchasi tez va osonlik bilan biz ko'rib chiqqan oddiy formulalarga tushadi. Siz faqat algebra kursidan bir nechta fokuslarni eslab qolishingiz kerak. Va, albatta, darajalar bilan ishlash qoidalari yo'q. Bularning barchasini hozir aytib beraman. :)
Eksponensial tenglamalarni konvertatsiya qilish
Eslash kerak bo'lgan birinchi narsa: har qanday eksponensial tenglama, qanchalik murakkab bo'lishidan qat'i nazar, u yoki bu usulni eng oddiy tenglamalarga - biz ko'rib chiqqan va biz qanday hal qilishni biladigan tenglamalarga qisqartirish kerak. Boshqacha qilib aytganda, har qanday eksponensial tenglamani yechish sxemasi quyidagicha ko'rinadi:
- Asl tenglamani yozing. Masalan: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Qandaydir g'alati narsalarni qiling. Yoki hatto "tenglamani o'zgartirish" deb nomlangan axlat;
- Chiqishda $((4)^(x))=4$ yoki shunga o'xshash boshqa shaklning eng oddiy ifodalarini oling. Bundan tashqari, bitta boshlang'ich tenglama bir vaqtning o'zida bir nechta bunday ifodalarni berishi mumkin.
Birinchi nuqta bilan hamma narsa aniq - hatto mening mushukim ham tenglamani qog'ozga yozishi mumkin. Uchinchi nuqta ham ko'proq yoki kamroq aniq ko'rinadi - biz yuqorida bunday tenglamalarning to'liq to'plamini hal qildik.
Ammo ikkinchi nuqta haqida nima deyish mumkin? Qanday o'zgarishlar? Nimani nimaga aylantiring? Va qanday qilib?
Xo'sh, keling, bilib olaylik. Avvalo, men quyidagilarni ta'kidlamoqchiman. Barcha eksponensial tenglamalar ikki turga bo'linadi:
- Tenglama bir xil asosli ko'rsatkichli funktsiyalardan iborat. Misol: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Formula turli asoslarga ega bo'lgan eksponensial funktsiyalarni o'z ichiga oladi. Misollar: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ va $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.
Birinchi turdagi tenglamalardan boshlaylik - ularni hal qilish eng oson. Va ularni hal qilishda bizga barqaror ifodalarni ta'kidlash kabi texnika yordam beradi.
Barqaror ifodani ajratib olish
Keling, ushbu tenglamani yana bir bor ko'rib chiqaylik:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Biz nimani ko'ramiz? To'rttasi turli darajalarga ko'tariladi. Ammo bu kuchlarning barchasi $x$ o'zgaruvchisining boshqa raqamlar bilan oddiy yig'indisidir. Shuning uchun darajalar bilan ishlash qoidalarini esga olish kerak:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end (tekislash)\]
Oddiy qilib aytganda, qo'shish kuchlar mahsulotiga, ayirish esa bo'linishga osonlikcha aylantirilishi mumkin. Keling, ushbu formulalarni tenglamamizdagi darajalarga qo'llashga harakat qilaylik:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1))))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(tekislash)\]
Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda asl tenglamani qayta yozamiz va keyin chapdagi barcha shartlarni to'playmiz:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(tekislash)\]
Birinchi to'rtta atama $((4)^(x))$ elementini o'z ichiga oladi - keling, uni qavsdan chiqaramiz:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \o'ng)=-11. \\\end(tekislash)\]
Tenglamaning ikkala tomonini $-\frac(11)(4)$ kasrga bo'lish qoladi, ya'ni. asosan teskari kasrga ko'paytiring - $ - \ frac (4) (11) $. Biz olamiz:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \o'ng )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \o'ng); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(tekislash)\]
Bo'ldi shu! Biz asl tenglamani eng sodda shaklga keltirdik va yakuniy javobni oldik.
Shu bilan birga, yechish jarayonida biz $((4)^(x))$ umumiy omilini topdik (va hatto uni qavsdan chiqarib oldik) - bu barqaror ifoda. U yangi o'zgaruvchi sifatida belgilanishi mumkin yoki siz uni diqqat bilan ifodalab, javob olishingiz mumkin. Har holda, yechimning asosiy printsipi quyidagilardan iborat:
Asl tenglamada barcha ko'rsatkichli funktsiyalardan osongina ajratiladigan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan barqaror ifodani toping.
Yaxshi xabar shundaki, deyarli har bir eksponensial tenglama bunday barqaror ifodani ajratib olishga imkon beradi.
Ammo yomon xabar shundaki, bu iboralar juda qiyin va ularni aniqlash juda qiyin bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, yana bir muammoni ko'rib chiqaylik:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Ehtimol, kimdir endi savol tug'diradi: "Pasha, sizni toshbo'ron qildingizmi? Bu erda turli xil asoslar mavjud - 5 va 0,2. Ammo keling, quvvatni 0,2 ga aylantirishga harakat qilaylik. Masalan, oddiy kasrga qisqartirish orqali o'nli kasrdan xalos bo'laylik:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \o'ng))))=((\left(\frac(2)(10) ) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng))))=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)) )\]
Ko'rib turganingizdek, 5 raqami maxrajda bo'lsa ham paydo bo'ldi. Shu bilan birga, indikator salbiy deb qayta yozildi. Va endi ulardan birini eslaylik eng muhim qoidalar darajalar bilan ishlash:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\O'ng strelka ((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^( -\left(x+1 \o'ng)))=((\left(\frac(5)(1) \o'ng))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Bu erda, albatta, men biroz yolg'on gapirdim. Chunki to'liq tushunish uchun salbiy ko'rsatkichlardan xalos bo'lish formulasi quyidagicha yozilishi kerak edi:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \o'ng))^(n ))\O‘ng strelka ((\chap(\frac(1)(5) \o‘ng))^(-\chap(x+1 \o‘ng)=((\left(\frac(5)(1) \ o'ng))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Boshqa tomondan, faqat kasrlar bilan ishlashimizga hech narsa to'sqinlik qilmadi:
\[((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)))=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)=((5)^(\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-\left(x+1 \o'ng) \o'ng) ))=((5)^(x+1))\]
Ammo bu holda, siz kuchni boshqa kuchga ko'tarishingiz kerak (sizga eslatib o'taman: bu holda ko'rsatkichlar birgalikda qo'shiladi). Lekin men kasrlarni "teskari" qilishim shart emas edi - ehtimol bu ba'zilar uchun osonroq bo'ladi :)
Har holda, asl eksponensial tenglama quyidagicha qayta yoziladi:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end (tekislash)\]
Shunday qilib, asl tenglamani ilgari ko'rib chiqilganidan ko'ra soddaroq hal qilish mumkinligi ma'lum bo'ldi: bu erda siz barqaror ifodani tanlashingiz shart emas - hamma narsa o'z-o'zidan qisqartirilgan. Shuni esda tutish kerakki, $1=((5)^(0))$, biz undan olamiz:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end (tekislash)\]
Bu yechim! Biz yakuniy javobni oldik: $x=-2$. Shu bilan birga, biz uchun barcha hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirgan bitta texnikani ta'kidlamoqchiman:
Eksponensial tenglamalarda, albatta, qutuling o'nli kasrlar, ularni oddiylarga aylantiring. Bu sizga darajalarning bir xil asoslarini ko'rish imkonini beradi va yechimni sezilarli darajada soddalashtiradi.
Keling, har xil asoslar mavjud bo'lgan murakkabroq tenglamalarga o'tamiz, ularni kuchlar yordamida bir-biriga qisqartirish mumkin emas.
Degrees xususiyatidan foydalanish
Sizga shuni eslatib o'tamanki, bizda yana ikkita keskin tenglama mavjud:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end (tekislash)\]
Bu erda asosiy qiyinchilik nima va qanday asosda berish kerakligi aniq emas. Qayerda ifodalarni o'rnating? Xuddi shu asoslar qayerda? Bularning hech biri yo'q.
Ammo keling, boshqa yo'ldan borishga harakat qilaylik. Agar tayyor bir xil bazalar bo'lmasa, ularni mavjud bazalarni faktoring orqali topishga harakat qilishingiz mumkin.
Birinchi tenglamadan boshlaylik:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Oʻng strelka ((21)^(3x))=((\chap(7\cdot 3 \oʻng))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end (tekislash)\]
Ammo siz buning aksini qilishingiz mumkin - 7 va 3 raqamlaridan 21 raqamini yarating. Buni chap tomonda qilish ayniqsa oson, chunki ikkala darajaning ko'rsatkichlari bir xil:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \o‘ng))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end (tekislash)\]
Bo'ldi shu! Siz ko'rsatkichni mahsulotdan tashqariga olib chiqdingiz va darhol bir nechta satrda echilishi mumkin bo'lgan chiroyli tenglamaga ega bo'ldingiz.
Endi ikkinchi tenglamani ko'rib chiqamiz. Bu erda hamma narsa ancha murakkab:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \o'ng))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
Bunday holda, kasrlar qisqartirilmaydigan bo'lib chiqdi, ammo agar biror narsani kamaytirish mumkin bo'lsa, uni kamaytirishni unutmang. Ko'pincha siz allaqachon ishlashingiz mumkin bo'lgan qiziqarli sabablar paydo bo'ladi.
Afsuski, biz uchun hech qanday maxsus narsa ko'rinmadi. Lekin mahsulotning chap tomonidagi ko‘rsatkichlar qarama-qarshi ekanligini ko‘ramiz:
Sizga eslatib o'taman: indikatordagi minus belgisidan xalos bo'lish uchun faqat kasrni "aylantirish" kerak. Keling, asl tenglamani qayta yozamiz:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \o'ng))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \o'ng))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\ chap (\ frac (1000) (27) \ o'ng)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100). \\\end(tekislash)\]
Ikkinchi qatorda $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) qoidasiga asosan qavsdan jami koʻrsatkichni chiqardik. \cdot b \right))^ (x))$ va oxirgisida ular oddiygina 100 sonini kasrga ko'paytirdilar.
Endi e'tibor bering, chapdagi (tayanchda) va o'ngdagi raqamlar biroz o'xshash. Qanaqasiga? Ha, bu aniq: ular bir xil miqdordagi kuchlardir! Bizda ... bor:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3))))=((\left(\frac() 10)(3) \o'ng))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac((3)^(2)(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \o'ng)))^(2)). \\\end(tekislash)\]
Shunday qilib, bizning tenglamamiz quyidagicha qayta yoziladi:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3)) \o'ng))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\o'ng))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3)) \o'ng))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \o'ng))^(3\left(x-1 \o'ng))))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3x-3))\]
Bunday holda, o'ng tomonda siz xuddi shu asosga ega bo'lgan darajani olishingiz mumkin, buning uchun kasrni shunchaki "aylantirish" kifoya qiladi:
\[((\left(\frac(3)(10) \o'ng))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(-2))\]
Bizning tenglamamiz nihoyat quyidagi shaklni oladi:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(tekislash)\]
Bu yechim. Uning asosiy g'oyasi hattoki bilan ham bog'liq turli asoslarda biz ilgak yoki nayrang bilan bu asoslarni bir xil narsaga kamaytirishga harakat qilmoqdamiz. Tenglamalarning elementar o'zgarishlari va kuchlar bilan ishlash qoidalari bunga yordam beradi.
Lekin qanday qoidalar va qachon foydalanish kerak? Bir tenglamada ikkala tomonni biror narsaga bo'lish, boshqasida esa ko'rsatkichli funktsiyaning asosini faktorlarga ajratish kerakligini qanday tushunasiz?
Bu savolga javob tajriba bilan keladi. Avval oddiy tenglamalarda qo'lingizni sinab ko'ring, so'ngra muammolarni asta-sekin murakkablashtiring - va tez orada sizning mahoratingiz o'sha Yagona Davlat imtihonidagi yoki har qanday mustaqil/sinov ishidagi har qanday eksponensial tenglamani yechish uchun etarli bo'ladi.
Va bu qiyin masalada sizga yordam berish uchun men tenglamalar to'plamini yuklab olishni taklif qilaman mustaqil qaror. Barcha tenglamalarning javoblari bor, shuning uchun siz har doim o'zingizni sinab ko'rishingiz mumkin.
Umuman olganda, sizga muvaffaqiyatli mashg'ulot tilayman. Va keyingi darsda ko'rishguncha - u erda biz yuqorida tavsiflangan usullar etarli bo'lmagan haqiqatan ham murakkab eksponensial tenglamalarni tahlil qilamiz. Va oddiy mashg'ulot ham etarli bo'lmaydi :)