Vyeta teoremasi yordamida tenglamalarni yechish. Vyeta teoremasi. Yechimlarga misollar. Kub tenglama uchun Vyeta teoremasi

Vyeta teoremasi (aniqrog‘i, Vyeta teoremasiga teskari teorema) kvadrat tenglamalarni yechish vaqtini qisqartirish imkonini beradi. Siz uni qanday ishlatishni bilishingiz kerak. Vyeta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechishni qanday o'rganish mumkin? Bir oz o'ylab ko'rsangiz qiyin emas.

Endi biz faqat qisqartirilgan kvadrat tenglamaning Vyeta teoremasi bo'yicha yechim haqida gapiramiz. kvadrat tenglama a, ya'ni x² koeffitsienti bo'lgan tenglama, birga teng. Shuningdek, Viet teoremasi yordamida berilmagan kvadrat tenglamalarni yechish mumkin, lekin hech bo'lmaganda ildizlardan biri butun son emas. Ularni taxmin qilish qiyinroq.

Vyeta teoremasiga teskari teorema quyidagicha ifodalanadi: agar x1 va x2 raqamlari shunday bo'lsa,

u holda x1 va x2 kvadrat tenglamaning ildizlari

Kvadrat tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechishda faqat 4 ta variant mumkin. Agar siz fikrlash chizig'ini eslasangiz, butun ildizlarni tezda topishni o'rganishingiz mumkin.

I. Agar q musbat son bo‘lsa,

bu shuni anglatadiki, x1 va x2 ildizlari bir xil belgili raqamlardir (chunki faqat raqamlarni ko'paytirishda bir xil belgilar ijobiy raqam bo'lib chiqadi).

I.a. Agar -p ijobiy son bo'lsa, (mos ravishda, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Agar -p manfiy son bo'lsa, (mos ravishda, p>0), keyin ikkala ildiz manfiy sonlar (biz bir xil ishorali raqamlarni qo'shdik va manfiy raqam oldik).

II. Agar q manfiy son bo'lsa,

bu x1 va x2 ildizlari turli xil belgilarga ega ekanligini bildiradi (sonlarni ko'paytirishda faqat omillarning belgilari boshqacha bo'lganda manfiy son olinadi). Bunday holda, x1+x2 endi yig'indi emas, balki farqdir (axir, raqamlarni qo'shganda turli belgilar kattadan kichikni ayirib tashlaymiz). Demak, x1+x2 x1 va x2 ildizlarning bir-biridan qanchalik farq qilishini, ya’ni bir ildiz ikkinchisidan qanchalik katta ekanligini (mutlaq qiymatda) ko‘rsatadi.

II.a. Agar -p ijobiy son bo'lsa, (ya'ni, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Agar -p manfiy son bo'lsa, (p>0), u holda kattaroq (modulo) ildiz manfiy sondir.

Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida echishni misollar yordamida ko‘rib chiqamiz.

Berilgan kvadrat tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yeching:

Bu yerda q=12>0, demak, x1 va x2 ildizlar bir xil ishorali sonlardir. Ularning yig'indisi -p=7>0, shuning uchun ikkala ildiz ham musbat sonlardir. Ko'paytmasi 12 ga teng bo'lgan butun sonlarni tanlaymiz. Bular 1 va 12, 2 va 6, 3 va 4. 3 va 4 juftlik uchun yig'indi 7 ga teng. Bu 3 va 4 tenglamaning ildizi ekanligini bildiradi.

IN bu misolda q=16>0, ya'ni x1 va x2 ildizlari bir xil belgili sonlar. Ularning yig'indisi -p=-10 ga teng<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Bu erda q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 bo'lsa, katta raqam ijobiy bo'ladi. Shunday qilib, ildizlar 5 va -3 ga teng.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Kvadrat tenglamani yechish usullaridan biri foydalanishdir VIET formulalari, bu FRANCOIS VIETTE sharafiga nomlangan.

U 16-asrda frantsuz qiroliga xizmat qilgan mashhur huquqshunos edi. Bo'sh vaqtida u astronomiya va matematikani o'rgangan. U kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi.

Formulaning afzalliklari:

1 . Formulani qo'llash orqali siz tezda yechim topishingiz mumkin. Chunki kvadratga ikkinchi koeffitsientni kiritish shart emas, keyin undan 4ac ayirish, diskriminantni topish va ildizlarni topish uchun uning qiymatini formulaga almashtirish kerak.

2 . Yechimsiz siz ildizlarning belgilarini aniqlashingiz va ildizlarning qiymatlarini tanlashingiz mumkin.

3 . Ikki yozuv tizimini hal qilib, ildizlarni o'zlari topish qiyin emas. Yuqoridagi kvadrat tenglamada ildizlarning yig'indisi minus belgisi bilan ikkinchi koeffitsientning qiymatiga teng. Yuqoridagi kvadrat tenglamadagi ildizlarning mahsuloti uchinchi koeffitsientning qiymatiga teng.

4 . Ushbu ildizlardan foydalanib, kvadrat tenglamani yozing, ya'ni teskari masalani yeching. Masalan, bu usul nazariy mexanika masalalarini yechishda qo'llaniladi.

5 . Etakchi koeffitsient birga teng bo'lganda formuladan foydalanish qulay.

Kamchiliklari:

1 . Formula universal emas.

Vieta teoremasi 8-sinf

Formula
Agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0 bo'lsa, u holda:

Misollar
x 1 = -1; x 2 = 3 - tenglamaning ildizlari x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Qarama-qarshi teorema

Formula
Agar x 1, x 2, p, q raqamlari shartlar bilan bog'langan bo'lsa:

U holda x 1 va x 2 tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0.

Misol
Uning ildizlaridan foydalanib, kvadrat tenglama tuzamiz:

X 1 = 2 - ? 3 va x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Kerakli tenglama quyidagi ko'rinishga ega: x 2 - 4x + 1 = 0.

Vieta teoremasi ko'pincha allaqachon topilgan ildizlarni tekshirish uchun ishlatiladi. Agar siz ildizlarni topgan bo'lsangiz, \(p) qiymatlarini hisoblash uchun \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) formulalaridan foydalanishingiz mumkin. \) va \(q\ ). Va agar ular asl tenglamadagi kabi bo'lib chiqsa, unda ildizlar to'g'ri topilgan.

Masalan, dan foydalanib, \(x^2+x-56=0\) tenglamani yechib, ildizlarini olamiz: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Keling, hal qilish jarayonida xatoga yo'l qo'yganimizni tekshirib ko'ramiz. Bizning holatda, \(p=1\) va \(q=-56\). Vieta teoremasi bo'yicha bizda:

\(\begin(holatlar)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(holatlar)\) \(\Chap o'q\) \(\begin(holatlar)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(holatlar)\) \(\Chap oʻng oʻq\) \(\begin(holatlar)-1=-1\\-56=-56\end(holatlar)\ )

Ikkala bayonot ham birlashdi, ya'ni biz tenglamani to'g'ri yechdik.

Ushbu tekshirish og'zaki ravishda amalga oshirilishi mumkin. Bu 5 soniya davom etadi va sizni ahmoqona xatolardan qutqaradi.

Vietaning qarama-qarshi teoremasi

Agar \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), u holda \(x_1\) va \(x_2\) kvadrat tenglamaning ildizlari \ (x^ 2+px+q=0\).

Yoki oddiy usulda: agar sizda \(x^2+px+q=0\) koʻrinishdagi tenglama boʻlsa, u holda \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot) tizimini yechish. x_2=q\ end(cases)\) uning ildizlarini topasiz.

Ushbu teorema tufayli siz kvadrat tenglamaning ildizlarini tezda topishingiz mumkin, ayniqsa bu ildizlar bo'lsa. Bu mahorat juda muhim, chunki u ko'p vaqtni tejaydi.

Misol . \(x^2-5x+6=0\) tenglamasini yeching.

Yechim : Vietaning teskari teoremasidan foydalanib, biz ildizlarning quyidagi shartlarni qondirishini aniqlaymiz: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Tizimning ikkinchi tenglamasiga qarang \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) sonni qaysi ikkitaga ajratish mumkin? \(2\) va \(3\), \(6\) va \(1\) yoki \(-2\) va \(-3\) va \(-6\) va \(- 1\). Tizimning birinchi tenglamasi sizga qaysi juftlikni tanlash kerakligini aytadi: \(x_1+x_2=5\). \(2\) va \(3\) oʻxshash, chunki \(2+3=5\).
Javob : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Misollar . Vyeta teoremasining teskarisidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Yechim :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) qanday omillarga ajraladi? \(2\) va \(7\), \(-2\) va \(-7\), \(-1\) va \(-14\), \(1\) va \(14\ ). Qaysi juft sonlar qo‘shilsa \(15\) ga teng? Javob: \(1\) va \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) qanday omillarga ajraladi? \(-2\) va \(2\), \(4\) va \(-1\), \(1\) va \(-4\). Qaysi juft raqamlar qo‘shilsa \(-3\) ga teng? Javob: \(1\) va \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) qanday omillarga ajraladi? \(4\) va \(5\), \(-4\) va \(-5\), \(2\) va \(10\), \(-2\) va \(-10\ ), \(-20\) va \(-1\), \(20\) va \(1\). Qaysi juft raqamlar qo‘shilsa \(-9\) ga teng? Javob: \(-4\) va \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) qanday omillarga ajraladi? \(390\) va \(2\). Ular \(88\) ga qo'shiladimi? Yo'q. \(780\) yana qanday koʻpaytiruvchilarga ega? \(78\) va \(10\). Ular \(88\) ga qo'shiladimi? Ha. Javob: \(78\) va \(10\).

Oxirgi atamani barcha mumkin bo'lgan omillarga (oxirgi misolda bo'lgani kabi) kengaytirish shart emas. Siz darhol ularning yig'indisi \(-p\) beradimi yoki yo'qligini tekshirishingiz mumkin.

Muhim! Viet teoremasi va teskari teorema faqat , ya'ni \(x^2\) koeffitsienti birga teng bo'lgan teorema bilan ishlaydi. Agar bizga dastlab kamaytirilmagan tenglama berilgan bo'lsa, uni oddiygina \(x^2\) oldidagi koeffitsientga bo'lish orqali qisqartirishimiz mumkin.

Masalan, \(2x^2-4x-6=0\) tenglamasi berilsin va biz Vyeta teoremalaridan birini ishlatmoqchimiz. Lekin biz qila olmaymiz, chunki \(x^2\) koeffitsienti \(2\) ga teng. Keling, butun tenglamani \(2\) ga bo'lish orqali undan xalos bo'laylik.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Tayyor. Endi siz ikkala teoremadan ham foydalanishingiz mumkin.

Tez-tez beriladigan savollarga javoblar

Savol: Vieta teoremasidan foydalanib, siz biron bir narsani hal qila olasizmi?
Javob: Afsuski yo'q. Agar tenglamada butun sonlar bo'lmasa yoki tenglamaning ildizlari bo'lmasa, Viet teoremasi yordam bermaydi. Bunday holda siz foydalanishingiz kerak diskriminant . Yaxshiyamki, maktab matematikasidagi tenglamalarning 80% butun sonli echimlarga ega.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida ildiz formulalaridan tashqari boshqa foydali munosabatlar ham mavjud. Vyeta teoremasi. Ushbu maqolada kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasining formulasi va isbotini keltiramiz. Keyinchalik, Veta teoremasiga qarama-qarshi teoremani ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng, biz eng tipik misollarning echimlarini tahlil qilamiz. Va nihoyat, biz haqiqiy ildizlar o'rtasidagi munosabatni aniqlaydigan Vieta formulalarini yozamiz algebraik tenglama n daraja va uning koeffitsientlari.

Sahifani navigatsiya qilish.

Vyeta teoremasi, formulasi, isboti

D=b 2 −4·a·c bo‘lgan a·x 2 +b·x+c=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Bu natijalar tasdiqlangan Vyeta teoremasi:

Teorema.

Agar x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning ildizlari a x 2 +b x+c=0, u holda ildizlar yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan b va a koeffitsientlarining nisbati va ko'paytmasiga teng bo'ladi. ildizlar c va a koeffitsientlarining nisbatiga teng, ya'ni.

Isbot.

Vyeta teoremasining isbotini quyidagi sxema bo‘yicha bajaramiz: ma’lum ildiz formulalari yordamida kvadrat tenglama ildizlarining yig‘indisi va ko‘paytmasini tuzamiz, keyin hosil bo‘lgan ifodalarni o‘zgartiramiz va ularning −b/ ga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz. a va c/a.

Keling, ildizlarning yig'indisidan boshlaymiz va uni tuzamiz. Endi kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz, bizda . Hosil bo'lgan kasrning sonida, undan keyin:. Nihoyat, 2 dan keyin biz . Bu kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi uchun Vyeta teoremasining birinchi munosabatini isbotlaydi. Keling, ikkinchisiga o'tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasini tuzamiz: . Kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, oxirgi ko'paytmani quyidagicha yozish mumkin. Endi biz qavsni hisoblagichdagi qavsga ko'paytiramiz, lekin bu mahsulotni yiqitish tezroq bo'ladi kvadrat farq formulasi, Shunday qilib. Keyin, eslab, biz keyingi o'tishni amalga oshiramiz. Va kvadrat tenglamaning diskriminanti D=b 2 −4·a·c formulaga to‘g‘ri kelganligi sababli, oxirgi kasrdagi D o‘rniga b 2 −4·a·c ni qo‘yishimiz mumkin, biz olamiz. Qavslarni ochib, o'xshash atamalarni keltirganimizdan so'ng kasrga kelamiz va uning 4·a ga kamayishi ni beradi. Bu ildizlar hosilasi uchun Vyeta teoremasining ikkinchi munosabatini isbotlaydi.

Agar biz tushuntirishlarni o'tkazib yuborsak, Veta teoremasining isboti lakonik shaklga ega bo'ladi:
,
.

Shuni ta'kidlash kerakki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta ildizga ega. Ammo, agar bu holatda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblasak, Veta teoremasidagi tengliklar ham amal qiladi. Darhaqiqat, D=0 bo‘lganda kvadrat tenglamaning ildizi teng bo‘lsa, u holda va , va D=0 bo‘lgani uchun, ya’ni b 2 −4·a·c=0, bundan b 2 =4·a·c bo‘ladi. .

Amalda Vyeta teoremasi ko'pincha x 2 +p·x+q=0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga (etakchi koeffitsient a 1 ga teng) nisbatan qo'llaniladi. Ba'zan u faqat shu turdagi kvadrat tenglamalar uchun tuziladi, bu umumiylikni cheklamaydi, chunki har qanday kvadrat tenglama har ikki tomonni nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali ekvivalent tenglama bilan almashtirilishi mumkin. Vieta teoremasining tegishli formulasini keltiramiz:

Teorema.

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 +p x+q=0 qarama-qarshi belgi bilan olingan x koeffitsientiga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga, ya'ni x 1 ga teng. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema Vyeta teoremasiga teskari

Oldingi paragrafda keltirilgan Vyeta teoremasining ikkinchi formulasi shuni ko'rsatadiki, agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p x+q=0 bo'lsa, u holda x 1 +x 2 =−p munosabatlari , x 1 x 2 =q. Boshqa tomondan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yozma munosabatlardan x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning x 2 +p x+q=0 ildizlari ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, Veta teoremasining teskarisi to'g'ri. Uni teorema shaklida tuzamiz va isbotlaymiz.

Teorema.

Agar x 1 va x 2 raqamlari x 1 +x 2 =−p va x 1 · x 2 =q bo‘lsa, x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p · x+q bo‘ladi. =0.

Isbot.

x 2 +p·x+q=0 tenglamadagi p va q koeffitsientlarini ularning x 1 va x 2 orqali ifodalari bilan almashtirib, ekvivalent tenglamaga aylantiriladi.

Hosil bo‘lgan tenglamaga x o‘rniga x 1 raqamini qo‘yaylik va biz tenglikka ega bo‘lamiz. x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, bu har qanday x 1 va x 2 uchun 0=0 to'g'ri sonli tenglikni ifodalaydi, chunki x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Demak, x 1 tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, demak, x 1 ekvivalent x 2 +p·x+q=0 tenglamaning ildizi.

Agar tenglamada bo'lsa x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x o'rniga x 2 raqamini qo'ying, biz tenglikni olamiz x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Bu haqiqiy tenglik, chunki x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Demak, x 2 ham tenglamaning ildizi hisoblanadi x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, va shuning uchun tenglamalar x 2 +p·x+q=0.

Bu Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teoremani isbotlashni tugatadi.

Vyeta teoremasidan foydalanishga misollar

Vyeta teoremasi va unga qarama-qarshi teoremaning amaliy qo'llanilishi haqida gapirish vaqti keldi. Ushbu bo'limda biz eng tipik misollarning bir nechta yechimlarini tahlil qilamiz.

Keling, Vyeta teoremasiga teskari teoremani qo'llashdan boshlaylik. Berilgan ikkita raqam berilgan kvadrat tenglamaning ildizi ekanligini tekshirish uchun foydalanish qulay. Bunday holda, ularning yig'indisi va farqi hisoblab chiqiladi, shundan so'ng munosabatlarning haqiqiyligi tekshiriladi. Agar bu munosabatlarning ikkalasi ham qondirilsa, u holda teorema tufayli Veta teoremasiga qarama-qarshi bo'lib, bu raqamlar tenglamaning ildizlari ekanligi to'g'risida xulosa chiqariladi. Agar munosabatlarning kamida bittasi bajarilmasa, bu raqamlar kvadrat tenglamaning ildizi emas. Ushbu yondashuv topilgan ildizlarni tekshirish uchun kvadrat tenglamalarni echishda qo'llanilishi mumkin.

Misol.

1) x 1 =−5, x 2 =3 yoki 2) yoki 3) son juftlaridan qaysi biri 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning ildiz jufti hisoblanadi?

Yechim.

Berilgan 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a=4, b=−16, c=9. Vyeta teoremasiga ko‘ra, kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi −b/a ga, ya’ni 16/4=4 ga, ildizlarning ko‘paytmasi c/a ga, ya’ni 9 ga teng bo‘lishi kerak. /4.

Keling, berilgan uchta juftlikning har biridagi raqamlarning yig'indisi va mahsulotini hisoblab chiqamiz va ularni hozirgina olingan qiymatlar bilan solishtiramiz.

Birinchi holda bizda x 1 +x 2 =−5+3=−2. Olingan qiymat 4 dan farq qiladi, shuning uchun boshqa tekshirishni amalga oshirib bo'lmaydi, lekin Vyeta teoremasiga teskari teoremadan foydalanib, birinchi juft raqamlar berilgan kvadrat tenglamaning bir juft ildizi emas degan xulosaga kelish mumkin.

Keling, ikkinchi holatga o'tamiz. Bu erda, ya'ni birinchi shart bajariladi. Biz ikkinchi shartni tekshiramiz: natijada olingan qiymat 9/4 dan farq qiladi. Binobarin, ikkinchi juft sonlar kvadrat tenglamaning bir juft ildizi emas.

Oxirgi bitta holat qoldi. Bu erda va. Ikkala shart ham bajariladi, shuning uchun bu x 1 va x 2 raqamlari berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob:

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topishda Veta teoremasining teskarisi amalda qo‘llanilishi mumkin. Odatda, butun sonli koeffitsientli berilgan kvadrat tenglamalarning butun son ildizlari tanlanadi, chunki boshqa hollarda buni qilish juda qiyin. Bunday holda, ular ikkita sonning yig'indisi minus belgisi bilan olingan kvadrat tenglamaning ikkinchi koeffitsientiga teng bo'lsa va bu sonlarning ko'paytmasi bo'sh hadga teng bo'lsa, bu raqamlardan foydalanadilar. bu kvadrat tenglamaning ildizlari. Keling, buni bir misol bilan tushunaylik.

X 2 −5 x+6=0 kvadrat tenglamani olaylik. X 1 va x 2 raqamlari bu tenglamaning ildizi bo'lishi uchun ikkita tenglik bajarilishi kerak: x 1 + x 2 =5 va x 1 · x 2 =6. Faqatgina bunday raqamlarni tanlash qoladi. Bu holda buni qilish juda oddiy: bunday raqamlar 2 va 3 ga teng, chunki 2+3=5 va 2·3=6. Shunday qilib, 2 va 3 - bu kvadrat tenglamaning ildizlari.

Vyeta teoremasiga teskari teorema, ildizlardan biri allaqachon ma'lum yoki aniq bo'lsa, qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ikkinchi ildizini topish uchun foydalanish uchun ayniqsa qulaydir. Bunda ikkinchi ildizni har qanday munosabatdan topish mumkin.

Masalan, 512 x 2 −509 x −3=0 kvadrat tenglamani olaylik. Bu erda birlik tenglamaning ildizi ekanligini ko'rish oson, chunki bu kvadrat tenglamaning koeffitsientlari yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, x 1 = 1. Ikkinchi ildizni x 2, masalan, x 1 ·x 2 =c/a munosabatidan topish mumkin. Bizda 1 x 2 =−3/512 bor, undan x 2 =−3/512. Kvadrat tenglamaning ikkala ildizini ham shunday aniqladik: 1 va -3/512.

Ildizlarni tanlash faqat eng oddiy holatlarda tavsiya etilishi aniq. Boshqa hollarda, ildizlarni topish uchun siz diskriminant orqali kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalardan foydalanishingiz mumkin.

Vyeta teoremasining teskarisini amaliy qo‘llashning yana bir usuli - x 1 va x 2 ildizlari berilgan kvadrat tenglamalarni tuzish. Buning uchun berilgan kvadrat tenglamaning qarama-qarshi belgisi bilan x koeffitsientini beradigan ildizlarning yig'indisini va erkin muddatni beradigan ildizlarning ko'paytmasini hisoblash kifoya.

Misol.

Ildizlari -11 va 23 bo'lgan kvadrat tenglamani yozing.

Yechim.

x 1 =−11 va x 2 =23 ni belgilaymiz. Bu sonlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini hisoblaymiz: x 1 +x 2 =12 va x 1 ·x 2 =−253. Shuning uchun ko'rsatilgan raqamlar ikkinchi koeffitsienti -12 va erkin hadi -253 bo'lgan qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Ya’ni, x 2 −12·x−253=0 kerakli tenglamadir.

Javob:

x 2 −12·x−253=0 .

Kvadrat tenglamalar ildizlari belgilariga oid masalalarni yechishda Viet teoremasi juda tez-tez ishlatiladi. Vyeta teoremasi x 2 +p·x+q=0 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari belgilari bilan qanday bog‘langan? Mana ikkita tegishli bayonot:

Agar q erkin atamasi musbat son bo'lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, u holda ularning ikkalasi ham ijobiy yoki ikkalasi ham manfiy bo'ladi.
Agar q erkin atamasi manfiy son bo’lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lsa, ularning belgilari boshqacha bo’ladi, boshqacha aytganda, bir ildiz musbat, ikkinchisi manfiy.

Bu gaplar x 1 · x 2 =q formulasidan, shuningdek, musbat, manfiy sonlar va turli belgilarga ega sonlarni ko‘paytirish qoidalaridan kelib chiqadi. Keling, ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

R ijobiy. Diskriminant formuladan foydalanib D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 +8 ifoda qiymatini topamiz. har qanday real r uchun musbat, shuning uchun har qanday haqiqiy r uchun D>0. Shunday qilib, dastlabki kvadrat tenglama r parametrining har qanday haqiqiy qiymatlari uchun ikkita ildizga ega.

Keling, ildizlar qachon turli belgilarga ega ekanligini bilib olaylik. Agar ildizlarning belgilari har xil bo'lsa, ularning mahsuloti manfiy bo'ladi va Vyeta teoremasiga ko'ra, qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari mahsuloti erkin muddatga teng. Shuning uchun bizni r ning o'sha qiymatlari qiziqtiradi, ular uchun r-1 erkin atamasi manfiy bo'ladi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan r qiymatlarini topish uchun bizga kerak chiziqli tengsizlikni yechish r−1<0 , откуда находим r<1 .

Javob:

da r<1 .

Vieta formulalari

Yuqorida biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi haqida gapirdik va u tasdiqlaydigan munosabatlarni tahlil qildik. Ammo nafaqat kvadrat tenglamalarning, balki kub tenglamalarning, to'rtinchi darajali tenglamalarning haqiqiy ildizlari va koeffitsientlarini bog'laydigan formulalar mavjud. algebraik tenglamalar daraja n. Ular chaqiriladi Vyeta formulalari.

Shaklning n darajali algebraik tenglamasi uchun Vieta formulasini yozamiz va uning n ta haqiqiy ildizi x 1, x 2, ..., x n bor deb faraz qilamiz (ular orasida mos keladiganlari ham bo'lishi mumkin):

Vietaning formulalarini olish mumkin ko'phadning chiziqli omillarga parchalanishi haqidagi teorema, shuningdek, barcha mos keladigan koeffitsientlarning tengligi orqali teng ko'phadlarni aniqlash. Demak, polinom va uning shaklning chiziqli omillariga kengayishi tengdir. Oxirgi mahsulotdagi qavslarni ochib, tegishli koeffitsientlarni tenglashtirib, biz Vietaning formulalarini olamiz.

Xususan, n=2 uchun bizda kvadrat tenglama uchun allaqachon tanish bo'lgan Vyeta formulalari mavjud.

Kubik tenglama uchun Vyeta formulalari shaklga ega

Shuni ta'kidlash kerakki, Vyeta formulalarining chap tomonida elementar deb ataladigan narsa mavjud. simmetrik polinomlar.

Ma'lumotnomalar.

Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; tomonidan tahrirlangan A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 2010.- 368 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Sakkizinchi sinfda o‘quvchilar kvadrat tenglamalar va ularni yechish usullari bilan tanishadilar. Shu bilan birga, tajriba shuni ko'rsatadiki, ko'pchilik o'quvchilar to'liq kvadrat tenglamalarni echishda faqat bitta usuldan - kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanadilar. Yaxshi aqliy arifmetik ko'nikmalarga ega bo'lgan talabalar uchun bu usul aniq mantiqiy emas. Talabalar ko'pincha o'rta maktabda ham kvadrat tenglamalarni echishga majbur bo'lishadi va u erda diskriminantni hisoblash uchun vaqt sarflash juda achinarli. Menimcha, kvadrat tenglamalarni o‘rganishda Vyeta teoremasini qo‘llashga ko‘proq vaqt va e’tibor qaratish lozim (A.G. Mordkovich “Algebra-8” dasturiga ko‘ra “Vyeta teoremasi. Kvadratning parchalanishi” mavzusini o‘rganish uchun bor-yo‘g‘i ikki soat rejalashtirilgan. trinomial chiziqli omillarga").

Aksariyat algebra darsliklarida bu teorema qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun tuzilgan va shunday deyilgan: agar tenglamaning va ildizlari bo'lsa, ular uchun , , tengliklari qanoatlantiriladi. Keyin Veta teoremasiga qarama-qarshi bayonot tuziladi va ushbu mavzuni mashq qilish uchun bir qancha misollar taklif etiladi.

Keling, aniq misollar keltiramiz va Viet teoremasidan foydalanib, yechim mantiqini kuzatamiz.

Misol 1. Tenglamani yeching.

Aytaylik, bu tenglamaning ildizlari bor, ya'ni, va. Keyin, Veta teoremasiga ko'ra, tengliklar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak:

Iltimos, ildizlarning mahsuloti ijobiy raqam ekanligini unutmang. Demak, tenglamaning ildizlari bir xil belgiga ega. Va ildizlarning yig'indisi ham musbat son bo'lganligi sababli, tenglamaning ikkala ildizi ham musbat degan xulosaga kelamiz. Keling, yana ildizlarning mahsulotiga qaytaylik. Faraz qilaylik, tenglamaning ildizlari musbat sonlar. Keyin to'g'ri birinchi tenglikni faqat ikkita usulda olish mumkin (omillar tartibiga qadar): yoki . Keling, taklif qilingan raqamlar juftligini Veta teoremasining ikkinchi bayonotining maqsadga muvofiqligini tekshirib ko'ramiz: . Shunday qilib, 2 va 3 raqamlari ikkala tenglikni qanoatlantiradi va shuning uchun berilgan tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob: 2; 3.

Yuqoridagi kvadrat tenglamani Viet teoremasi yordamida yechishda fikrlashning asosiy bosqichlarini ajratib ko‘rsatamiz:

Vyeta teoremasining bayonini yozing

(*)

tenglama ildizlarining belgilarini aniqlang (Agar ildizlarning koʻpaytmasi va yigʻindisi musbat boʻlsa, ikkala ildiz ham musbat sonlar boʻladi. Agar ildizlarning koʻpaytmasi musbat son, ildizlarning yigʻindisi manfiy boʻlsa, u holda Agar ildizlarning ko'paytmasi manfiy son bo'lsa, unda ildizlarning yig'indisi musbat bo'lsa, u holda moduli kattaroq bo'lgan ildiz musbat sondir. ildizlar yig'indisi noldan kichik bo'lsa, moduli kattaroq ildiz manfiy sondir);
ko'paytmasi yozuvda (*) to'g'ri birinchi tenglikni beradigan butun sonlar juftlarini tanlang;
topilgan sonlar juftligidan (*) yozuvdagi ikkinchi tenglikka almashtirilganda toʻgʻri tenglikni beradigan juftni tanlang;
javobingizda tenglamaning topilgan ildizlarini ko'rsating.

Keling, yana bir nechta misollar keltiraylik.

2-misol: Tenglamani yeching .

Yechim.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin, Veta teoremasi bo'yicha, mahsulot ijobiy, yig'indisi esa manfiy son ekanligini ta'kidlaymiz. Bu shuni anglatadiki, ikkala ildiz ham manfiy sonlardir. 10 (-1 va -10; -2 va -5) ko'paytmasini beradigan juft omillarni tanlaymiz. Raqamlarning ikkinchi juftligi -7 ga qo'shiladi. Bu -2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari ekanligini anglatadi.

Javob: -2; -5.

3-misol: Tenglamani yeching .

Yechim.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin, Veta teoremasi bo'yicha, mahsulot salbiy ekanligini ta'kidlaymiz. Bu shuni anglatadiki, ildizlar turli belgilarga ega. Ildizlarning yig'indisi ham manfiy sondir. Bu eng katta modulga ega bo'lgan ildiz manfiy ekanligini anglatadi. Mahsulotni -10 (1 va -10; 2 va -5) beradigan juft omillarni tanlaymiz. Ikkinchi raqamlar juftligi -3 ga qo'shiladi. Bu 2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari ekanligini anglatadi.

Javob: 2; -5.

E'tibor bering, Vieta teoremasi, qoida tariqasida, to'liq kvadrat tenglama uchun shakllantirilishi mumkin: kvadrat tenglama bo'lsa ildizlari bor va ular uchun , , tengliklari qanoatlantiriladi. Biroq, bu teoremani qo'llash juda muammoli, chunki to'liq kvadrat tenglamada ildizlardan kamida bittasi (agar mavjud bo'lsa, albatta) kasr sondir. Va kasrlarni tanlash bilan ishlash uzoq va qiyin. Lekin hali ham chiqish yo'li bor.

To'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing . Tenglamaning ikkala tomonini birinchi koeffitsientga ko'paytiring A va tenglamani shaklda yozing . Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz va qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz, uning ildizlarini va (agar mavjud bo'lsa) Viet teoremasi yordamida topish mumkin. Keyin asl tenglamaning ildizlari bo'ladi. Yordamchi qisqartirilgan tenglamani yaratish juda oddiy ekanligini unutmang: ikkinchi koeffitsient saqlanib qoladi, uchinchi koeffitsient esa mahsulotga teng. ac. Talabalar ma'lum mahorat bilan darhol yordamchi tenglama tuzadilar, Vyeta teoremasidan foydalanib uning ildizlarini topadilar va berilgan to'liq tenglamaning ildizlarini ko'rsatadilar. Keling, misollar keltiraylik.

4-misol: Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama tuzamiz va Viet teoremasidan foydalanib, uning ildizlarini topamiz. Bu degani, asl tenglamaning ildizlari .

Javob: .

5-misol: Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama shaklga ega. Vyeta teoremasiga ko'ra, uning ildizlari . Asl tenglamaning ildizlarini topish .

Javob: .

Vyeta teoremasini qo'llash to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini og'zaki ravishda topishga imkon beradigan yana bir holat. Buni isbotlash qiyin emas 1 raqami tenglamaning ildizidir , agar va faqat agar. Tenglamaning ikkinchi ildizi Vyeta teoremasi bilan topiladi va ga teng. Boshqa bayonot: shunday qilib -1 raqami tenglamaning ildizi bo'lsin zarur va yetarli. U holda Vyeta teoremasi bo'yicha tenglamaning ikkinchi ildizi ga teng bo'ladi. Shu kabi gaplarni qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun shakllantirish mumkin.

6-misol: Tenglamani yeching.

E'tibor bering, tenglama koeffitsientlarining yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .