\(\blacktrianglerright\) \(\) segmentidagi funksiyaning eng katta/eng kichik qiymatini topish uchun ushbu segmentdagi funksiya grafigini sxematik tarzda tasvirlash kerak.
Ushbu kichik mavzudagi masalalarda buni hosila yordamida bajarish mumkin: ortish (\(f">0\) ) va kamayish (\(f") oraliqlarini toping.<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktrianglerright\) Funksiya faqat \(\) segmentining ichki nuqtalarida emas, balki uning uchlarida ham eng katta/eng kichik qiymatni olishi mumkinligini unutmang.
\(\blacktrianglerright\) Funksiyaning eng katta/eng kichik qiymati koordinata qiymatidir \(y=f(x)\) .
\(\blacktrianglerright\) \(f(t(x))\) murakkab funksiyaning hosilasi qoidaga muvofiq topiladi: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(massiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Funktsiya ) f(x) & \text(Terivativ ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(massiv) \to'rt \to'rt \to'rt \to'rt \begin(massiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Funktsiya ) f(x) & \text(Terivativ ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(massiv)\]
1-topshiriq №2357
Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng
\([-10; -2]\) segmentidagi \(y = e^(x^2 - 4)\) funksiyaning eng kichik qiymatini toping.
ODZ: \(x\) - ixtiyoriy.
1) \
\ Shunday qilib, \(x = 0\) uchun \(y" = 0\) .
3) Ko'rib chiqilayotgan segment bo'yicha \([-10; -2]\) doimiy belgisi \(y"\) intervallarni topamiz:
4) \([-10; -2]\) segmentidagi grafikning eskizi:
Shunday qilib, funksiya eng kichik qiymatiga \([-10; -2]\) da \(x = -2\) da erishadi.
\ Jami: \(1\) – \([-10; -2]\) da \(y\) funksiyaning eng kichik qiymati.
Javob: 1
2-topshiriq №2355
Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) segmentida \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) - ixtiyoriy.
1) \
Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] hosila har qanday \(x\) uchun mavjud.
2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni toping:
3) Ko'rib chiqilayotgan segmentdagi \([-1; 1]\) doimiy belgisi \(y"\) intervallarni topamiz:
4) \([-1; 1]\) segmentidagi grafikning eskizi:
Shunday qilib, funktsiya eng katta qiymatiga \([-1; 1]\) da \(x = -1\) yoki \(x = 1\) da erishadi. Keling, ushbu nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini taqqoslaylik.
\ Jami: \(2\) – eng yuqori qiymat\(y\) funksiyalari \([-1; 1]\) da.
Javob: 2
3-topshiriq №2356
Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng
\(\) segmentida \(y = \cos 2x\) funksiyaning eng kichik qiymatini toping.
ODZ: \(x\) - ixtiyoriy.
1) \
Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] hosila har qanday \(x\) uchun mavjud.
2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni toping:
(bu erda hosila belgilari almashinadigan cheksiz sonli intervallar mavjud).
3) Ko'rib chiqilayotgan \(\) segmentdagi doimiy belgisi \(y"\) intervallarni topamiz:
4) \(\) segmentidagi grafikning eskizi:
Shunday qilib, funktsiya \(\) da \(x = \dfrac(\pi)(2)\) da eng kichik qiymatiga etadi.
\ Jami: \(-1\) - \(\) da \(y\) funksiyasining eng kichik qiymati.
Javob: -1
4-topshiriq №915
Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng
Funktsiyaning eng katta qiymatini toping
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Keling, ODZ haqida qaror qabul qilaylik:
1) \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) ni, keyin \(y(t)=-\log_(17)t\) ni belgilaymiz.
Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– ODZda, biz ildizni topamiz \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . \(y\) funksiyaning hosilasi \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) uchun mavjud emas, lekin bu tenglama uchun salbiy diskriminant, shuning uchun uning yechimlari yo'q. Funktsiyaning eng katta/eng kichik qiymatini topish uchun uning grafigi sxematik ko'rinishini tushunishingiz kerak.
2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni toping:
3) Grafikning eskizi:
Shunday qilib, funksiya eng katta qiymatiga \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) da erishadi:
\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\o'ng) = -\log_(17)1 = 0\),
Jami: \(0\) – funksiyaning eng katta qiymati \(y\) .
Javob: 0
5-topshiriq №2344
Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng
Funksiyaning eng kichik qiymatini toping
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Keling, ODZ haqida qaror qabul qilaylik:
1) \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) ni belgilaymiz, keyin \(y(t)=\log_(3)t\) ni belgilaymiz.
Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– ODZda, biz ildizni qaerdan topamiz \(x = -4\) . \(y\) funksiyaning hosilasi \(x^2 + 8x + 19 = 0\) bo'lganda mavjud emas, lekin bu tenglama manfiy diskriminantga ega, shuning uchun uning yechimlari yo'q. Funktsiyaning eng katta/eng kichik qiymatini topish uchun uning grafigi sxematik ko'rinishini tushunishingiz kerak.
2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni toping:
3) Grafikning eskizi:
Shunday qilib, \(x = -4\) \(y\) funksiyaning minimal nuqtasidir va unda eng kichik qiymatga erishiladi:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Jami: \(1\) – funksiyaning eng kichik qiymati \(y\) .
Javob: 1
6-topshiriq №917
Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihonidan ko'ra qiyinroq
Funktsiyaning eng katta qiymatini toping
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Amaliy nuqtai nazardan, eng katta qiziqish funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun hosiladan foydalanishdir. Bu nima bilan bog'liq? Daromadni ko'paytirish, xarajatlarni minimallashtirish, uskunaning optimal yukini aniqlash ... Boshqacha qilib aytganda, hayotning ko'p sohalarida biz ba'zi parametrlarni optimallashtirish muammolarini hal qilishimiz kerak. Va bu funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish vazifalari.
Shuni ta'kidlash kerakki, funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari odatda funktsiyaning butun sohasi yoki ta'rif sohasining bir qismi bo'lgan ma'lum X oralig'ida qidiriladi. X intervalining o'zi segment, ochiq interval bo'lishi mumkin 
, cheksiz interval.
Ushbu maqolada biz eng katta va eng kichik qiymatlarni aniq topish haqida gaplashamiz berilgan funksiya bitta o'zgaruvchi y=f(x) .
Sahifani navigatsiya qilish.
Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymati - ta'riflar, rasmlar.
Keling, asosiy ta'riflarni qisqacha ko'rib chiqaylik.
Funktsiyaning eng katta qiymati 
bu har kim uchun 
tengsizlik haqiqatdir.
Funktsiyaning eng kichik qiymati X oraliqdagi y=f(x) bunday qiymat deyiladi 
bu har kim uchun tengsizlik haqiqatdir.
Ushbu ta'riflar intuitivdir: funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymati abscissada ko'rib chiqilayotgan intervalda qabul qilingan eng katta (eng kichik) qiymatdir.
Statsionar nuqtalar- bu funktsiyaning hosilasi nolga aylanadigan argumentning qiymatlari.
Eng katta va eng kichik qiymatlarni topishda bizga statsionar nuqtalar nima uchun kerak? Bu savolga Ferma teoremasi javob beradi. Bu teoremadan kelib chiqadiki, agar differensiallanuvchi funksiya qaysidir nuqtada ekstremumga (lokal minimum yoki mahalliy maksimal) ega bo‘lsa, u holda bu nuqta statsionar hisoblanadi. Shunday qilib, funktsiya ko'pincha X oralig'ida o'zining eng katta (eng kichik) qiymatini ushbu intervaldan statsionar nuqtalardan birida oladi.
Bundan tashqari, funktsiya ko'pincha ushbu funktsiyaning birinchi hosilasi mavjud bo'lmagan va funktsiyaning o'zi aniqlangan nuqtalarda o'zining eng katta va eng kichik qiymatlarini olishi mumkin.
Keling, ushbu mavzu bo'yicha eng keng tarqalgan savollardan biriga darhol javob beraylik: "Funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini aniqlash har doim mumkinmi"? Yo'q har doim emas. Ba'zan X oralig'ining chegaralari funksiyaning aniqlanish sohasi chegaralari bilan mos keladi yoki X oralig'i cheksizdir. Cheksizlikda va aniqlanish sohasi chegaralarida ba'zi funktsiyalar cheksiz katta va cheksiz kichik qiymatlarni olishi mumkin. Bunday hollarda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati haqida hech narsa deyish mumkin emas.
Aniqlik uchun biz grafik tasvirni beramiz. Rasmlarga qarang va ko'p narsa aniq bo'ladi.
Segmentda
Birinchi rasmda funksiya segment ichida joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi [-6;6].
Ikkinchi rasmda tasvirlangan ishni ko'rib chiqing. Keling, segmentni ga o'zgartiramiz. Ushbu misolda funktsiyaning eng kichik qiymati statsionar nuqtada, eng katta qiymati esa oraliqning o'ng chegarasiga to'g'ri keladigan abscissa joylashgan nuqtada erishiladi.
3-rasmda [-3;2] segmentining chegara nuqtalari funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlariga mos keladigan nuqtalarning abstsissalaridir.
Ochiq intervalda
To'rtinchi rasmda funksiya ochiq intervalda (-6;6) joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi.
Intervalda eng katta qiymat haqida xulosa chiqarish mumkin emas.
Cheksizlikda
Ettinchi rasmda keltirilgan misolda funksiya eng katta qiymatni (max y) abscissa x=1 bo'lgan statsionar nuqtada oladi va eng kichik qiymatga (min y) intervalning o'ng chegarasida erishiladi. Minus cheksizlikda funktsiya qiymatlari asimptotik tarzda y=3 ga yaqinlashadi.
Intervalda funktsiya eng kichik va eng katta qiymatga erishmaydi. X = 2 o'ngdan yaqinlashganda, funktsiya qiymatlari minus cheksizlikka moyil bo'ladi (x=2 chiziq vertikal asimptotadir) va abscissa plyus cheksizlikka moyil bo'lganligi sababli, funktsiya qiymatlari asimptotik tarzda y = 3 ga yaqinlashadi. Ushbu misolning grafik tasviri 8-rasmda ko'rsatilgan.
Segmentdagi uzluksiz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish algoritmi.
Keling, segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga imkon beruvchi algoritmni yozaylik.
- Biz funktsiyani aniqlash sohasini topamiz va uning butun segmentni o'z ichiga olganligini tekshiramiz.
- Biz birinchi hosila mavjud bo'lmagan va segmentda joylashgan barcha nuqtalarni topamiz (odatda bunday nuqtalar modul belgisi ostida argumentli funktsiyalarda va kasr-ratsional ko'rsatkichli quvvat funktsiyalarida topiladi). Agar bunday nuqtalar bo'lmasa, keyingi nuqtaga o'ting.
- Biz segmentga tushadigan barcha statsionar nuqtalarni aniqlaymiz. Buning uchun biz uni nolga tenglashtiramiz, hosil bo'lgan tenglamani echamiz va mos ildizlarni tanlaymiz. Agar statsionar nuqtalar bo'lmasa yoki ularning hech biri segmentga tushmasa, keyingi nuqtaga o'ting.
- Funktsiyaning qiymatlarini tanlangan statsionar nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa), birinchi hosila mavjud bo'lmagan nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa), shuningdek x=a va x=b nuqtalarida hisoblaymiz.
- Funktsiyaning olingan qiymatlaridan biz eng katta va eng kichikni tanlaymiz - ular mos ravishda funktsiyaning kerakli eng katta va eng kichik qiymatlari bo'ladi.
Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun misolni yechish algoritmini tahlil qilaylik.
Misol.
Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping
- segment bo'yicha;
- segmentida [-4;-1] .
Yechim.
Funktsiyani aniqlash sohasi noldan tashqari haqiqiy sonlarning butun to'plamidir, ya'ni. Ikkala segment ham ta'rif sohasiga kiradi.
Funktsiyaning hosilasini toping: 
Shubhasiz, funktsiyaning hosilasi segmentlarning barcha nuqtalarida va [-4;-1] mavjud.
Tenglamadan statsionar nuqtalarni aniqlaymiz. Yagona haqiqiy ildiz x=2. Bu statsionar nuqta birinchi segmentga tushadi.
Birinchi holda, biz segmentning uchlari va statsionar nuqtadagi funktsiya qiymatlarini hisoblaymiz, ya'ni x=1, x=2 va x=4 uchun: 
Shuning uchun funksiyaning eng katta qiymati 
x=1 va eng kichik qiymatda erishiladi 
– x=2 da.
Ikkinchi holda, biz funktsiya qiymatlarini faqat segmentning uchlarida hisoblaymiz [-4;-1] (chunki u bitta statsionar nuqtani o'z ichiga olmaydi): 
Yechim.
Funktsiyaning domenidan boshlaylik. Kasrning maxrajidagi kvadrat trinomial yo'qolib ketmasligi kerak: 
Muammo bayonotidagi barcha intervallar funksiyani aniqlash sohasiga tegishli ekanligini tekshirish oson.
Funktsiyani farqlaylik: 
Shubhasiz, hosila butun funktsiyani aniqlash sohasida mavjud.
Keling, statsionar nuqtalarni topamiz. da hosila nolga tushadi. Bu statsionar nuqta (-3;1] va (-3;2) oraliqlari ichiga tushadi.
Endi siz har bir nuqtada olingan natijalarni funksiya grafigi bilan solishtirishingiz mumkin. Moviy nuqtali chiziqlar asimptotalarni ko'rsatadi.
Ushbu nuqtada biz funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish bilan yakunlashimiz mumkin. Ushbu maqolada muhokama qilingan algoritmlar sizga minimal harakatlar bilan natijalarni olish imkonini beradi. Biroq, birinchi navbatda funktsiyaning o'sishi va kamayishi oraliqlarini aniqlash foydali bo'lishi mumkin va shundan keyingina har qanday intervalda funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari haqida xulosa chiqarish mumkin. Bu aniqroq rasm va natijalar uchun qat'iy asos beradi.
Funktsiyaga ruxsat bering y =f(X) oraliqda uzluksiz [ a, b]. Ma'lumki, bunday funktsiya ushbu segmentda maksimal va minimal qiymatlarga etadi. Funktsiya bu qiymatlarni segmentning ichki nuqtasida ham qabul qilishi mumkin [ a, b] yoki segment chegarasida.
Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun [ a, b] zarur:
1) oraliqdagi funksiyaning kritik nuqtalarini toping ( a, b);
2) topilgan kritik nuqtalarda funksiya qiymatlarini hisoblash;
3) segment oxiridagi funksiya qiymatlarini hisoblang, ya'ni qachon x=A va x = b;
4) funktsiyaning barcha hisoblangan qiymatlaridan eng kattasini va eng kichikini tanlang.
Misol. Eng kattasini toping va eng kichik qiymat funktsiyalari
segmentida.
Muhim nuqtalarni topish:
Bu nuqtalar segment ichida yotadi; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
nuqtada x= 3 va nuqtada x= 0.
Qavariqlik va burilish nuqtasi uchun funktsiyani o'rganish.
Funktsiya y = f (x) chaqirdi qavariq orasida (a, b) , agar uning grafigi shu intervalning istalgan nuqtasida chizilgan tangens ostida yotsa va deyiladi qavariq pastga (botiq), agar uning grafigi tangens ustida joylashgan bo'lsa.
Qavariqlik botiqlik bilan almashtiriladigan yoki aksincha nuqta deyiladi burilish nuqtasi.
Qavariqlik va burilish nuqtasini tekshirish algoritmi:
1. Ikkinchi turdagi kritik nuqtalarni, ya'ni ikkinchi hosila nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalarni toping.
2. Sanoq chizig‘idagi kritik nuqtalarni oraliqlarga ajratgan holda chizing. Har bir oraliqda ikkinchi hosilaning belgisini toping; bo'lsa, u holda funktsiya yuqoriga qavariq bo'ladi, agar, u holda funksiya pastga qavariq bo'ladi.
3. Agar ikkinchi turdagi kritik nuqtadan o`tayotganda ishora o`zgarib, bu nuqtada ikkinchi hosila nolga teng bo`lsa, bu nuqta burilish nuqtasining abssissasidir. Uning ordinatasini toping.
Funksiya grafigining asimptotalari. Asimptotalar uchun funktsiyani o'rganish.
Ta'rif. Funksiya grafigining asimptotasi deyiladi Streyt, bu xususiyatga ega bo‘lib, grafikning istalgan nuqtasidan bu chiziqgacha bo‘lgan masofa grafadagi nuqta koordinata boshidan cheksiz harakat qilganda nolga intiladi.
Asimptotlarning uch turi mavjud: vertikal, gorizontal va eğimli.
Ta'rif. To'g'ri chiziq deyiladi vertikal asimptota funktsiya grafikasi y = f(x), agar funktsiyaning bu nuqtadagi bir tomonlama chegaralaridan kamida bittasi cheksizlikka teng bo'lsa, ya'ni
bu yerda funksiyaning uzilish nuqtasi, ya’ni u ta’rif sohasiga tegishli emas.
Misol.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 - uzilish nuqtasi.
Ta'rif. Streyt y =A chaqirdi gorizontal asimptota funktsiya grafikasi y = f(x) da, agar
Misol.
|
x | |||
|
y |
Ta'rif. Streyt y =kx +b (k≠ 0) chaqiriladi qiya asimptota funktsiya grafikasi y = f(x) da, qaerda
Funksiyalarni o'rganish va grafiklarni qurishning umumiy sxemasi.
Funksiyalarni tadqiq qilish algoritmiy = f(x) :
1. Funksiyaning aniqlanish sohasini toping D (y).
2. Grafikning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarini toping (agar iloji bo'lsa). x= 0 va at y = 0).
3. Funksiyaning juft va toqligini tekshiring ( y (‒ x) = y (x) ‒ parite; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ g'alati).
4. Funksiya grafigining asimptotalarini toping.
5. Funksiyaning monotonlik oraliqlarini toping.
6. Funksiyaning ekstremal qismini toping.
7. Funksiya grafigining qavariqlik (qavariq) va burilish nuqtalari oraliqlarini toping.
8. O‘tkazilgan tadqiqotlar asosida funksiya grafigini tuzing.
Misol. Funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing.
1) D (y) =
x= 4 - uzilish nuqtasi.
2) Qachon x = 0,
(0; ‒ 5) – bilan kesishish nuqtasi oh.
Da y = 0,
3)
y(‒
x)=
funktsiyasi umumiy ko'rinish(juft ham, toq ham emas).
4) Biz asimptotalarni tekshiramiz.
a) vertikal
b) gorizontal
c) qayerda qiya asimptotalarni toping
‒qiyshiq asimptota tenglamasi
5) B berilgan tenglama funksiyaning monotonlik intervallarini topishning hojati yo'q.
6)
Bu kritik nuqtalar funksiyani aniqlashning butun sohasini (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) va (10; +∞) oraliqlarga ajratadi. Olingan natijalarni quyidagi jadval shaklida taqdim etish qulay:
|
qo'shimchalar yo'q |
Jadvaldan ko'rinib turibdiki, nuqta X= ‒2‒maksimal nuqta, nuqtada X= 4‒ekstremum yo'q, X= 10 - minimal ball.
(‒ 3) qiymatni tenglamaga almashtiramiz:
9 + 24 ‒ 20 > 0
25 ‒ 40 ‒ 20 < 0
121 ‒ 88 ‒ 20 > 0
Ushbu funktsiyaning maksimal qiymati 
(‒ 2; ‒ 4) – maksimal ekstremum.
Ushbu funktsiyaning minimal qiymati ga teng 
(10; 20) – minimal ekstremum.
7) funktsiya grafigining qavariq va egilish nuqtasini tekshiring
Ushbu maqolada men bu haqda gaplashaman eng katta va eng kichik qiymatni topish algoritmi funktsiyalari, minimal va maksimal nuqtalari.
Nazariy jihatdan bu biz uchun foydali bo'ladi hosilaviy jadval Va farqlash qoidalari. Hammasi bu plastinkada:
Eng katta va eng kichik qiymatni topish algoritmi.
Menga tushuntirish qulayroq aniq misol. Ko'rib chiqing:
Misol:[–4;0] segmentida y=x^5+20x^3–65x funksiyaning eng katta qiymatini toping.
1-qadam. Biz hosilani olamiz.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
2-qadam. Ekstremum nuqtalarni topish.
Ekstremal nuqta funktsiya eng katta yoki minimal qiymatiga erishgan nuqtalarni chaqiramiz.
Ekstremum nuqtalarni topish uchun funktsiyaning hosilasini nolga tenglashtirish kerak (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Endi biz bu bikvadrat tenglamani yechamiz va topilgan ildizlar bizning ekstremum nuqtalarimizdir.
Men bunday tenglamalarni t = x ^ 2, keyin 5t ^ 2 + 60 t - 65 = 0 ni almashtirish orqali hal qilaman.
Tenglamani 5 ga kamaytiramiz, biz olamiz: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Biz teskari o'zgarishni amalga oshiramiz x ^ 2 = t:
X_(1 va 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 va 4) = ±sqrt(-13) (biz istisno qilamiz, ildiz ostida manfiy raqamlar bo'lishi mumkin emas, albatta, agar biz murakkab sonlar haqida gapirmasak)
Jami: x_(1) = 1 va x_(2) = -1 - bu bizning ekstremum nuqtalarimiz.
3-qadam. Eng katta va eng kichik qiymatni aniqlang.
O'zgartirish usuli.
Shartda bizga [b][–4;0] segmenti berildi. x=1 nuqta bu segmentga kiritilmagan. Shuning uchun biz buni hisobga olmaymiz. Lekin x=-1 nuqtadan tashqari, segmentimizning chap va o'ng chegaralarini, ya'ni -4 va 0 nuqtalarini ham hisobga olishimiz kerak. Buning uchun biz ushbu uch nuqtaning barchasini asl funktsiyaga almashtiramiz. E'tibor bering, asl shartda berilgan (y=x^5+20x^3–65x), ba'zi odamlar uni lotinga almashtira boshlaydilar...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Demak, funksiyaning eng katta qiymati [b]44 va u [b]-1 nuqtada erishiladi, bu funksiyaning segmentdagi maksimal nuqtasi deb ataladi [-4; 0].
Biz qaror qildik va javob oldik, biz ajoyibmiz, siz dam olishingiz mumkin. Lekin to'xtang! Sizningcha, y (-4) ni hisoblash juda qiyin emasmi? Cheklangan vaqt sharoitida boshqa usuldan foydalanish yaxshidir, men buni shunday deb atayman:
Belgilar doimiyligi oraliqlari orqali.
Bu intervallar funksiya hosilasi uchun, ya’ni bikvadrat tenglamamiz uchun topiladi.
Men buni shunday qilaman. Men yo'naltirilgan segmentni chizaman. Nuqtalarni qo'yaman: -4, -1, 0, 1. Berilgan segmentga 1 kiritilmaganiga qaramay, belgining doimiylik intervallarini to'g'ri aniqlash uchun uni hali ham qayd etish kerak. Keling, 1 dan ko'p marta kattaroq sonni olaylik, aytaylik 100 va uni aqliy ravishda 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 bikvadrat tenglamamizga almashtiramiz. Hech narsani hisoblamagan holda ham, 100 nuqtada aniq bo'ladi. funktsiya ortiqcha belgisiga ega. Bu 1 dan 100 gacha bo'lgan oraliqlar uchun u ortiqcha belgisiga ega ekanligini anglatadi. 1 dan o'tayotganda (biz o'ngdan chapga boramiz), funktsiya belgisini minusga o'zgartiradi. 0 nuqtadan o'tayotganda funktsiya o'z belgisini saqlab qoladi, chunki bu tenglamaning ildizi emas, balki faqat segmentning chegarasi. -1 dan o'tganda, funktsiya yana belgisini ortiqcha ga o'zgartiradi.
Nazariyadan biz funktsiyaning hosilasi qaerda ekanligini bilamiz (va biz buni aniq chizganmiz) belgisini ortiqcha dan minusga o'zgartiradi (bizning holatimizda -1 nuqta) funksiyaga etadi uning mahalliy maksimal (y(-1)=44, avvalroq hisoblangan) bu segmentda (bu mantiqan juda tushunarli, funktsiya o'sishni to'xtatdi, chunki u maksimal darajaga yetdi va pasayishni boshladi).
Shunga ko'ra, bu erda funktsiyaning hosilasi belgisini minusdan ortiqchaga o'zgartiradi, erishiladi funktsiyaning mahalliy minimumi. Ha, ha, biz mahalliy minimal nuqtani ham topdik 1 va y(1) segmentdagi funksiyaning minimal qiymati, deylik -1 dan +∞ gacha. Esda tutingki, bu faqat LOCAL MINIMUM, ya'ni ma'lum bir segmentdagi minimal. Funktsiyaning haqiqiy (global) minimumi u erda -∞ da yetib boradi.
Menimcha, birinchi usul nazariy jihatdan soddaroq, ikkinchisi esa arifmetik amallar nuqtai nazaridan oddiyroq, ammo nazariya nuqtai nazaridan ancha murakkabroq. Axir, ba'zida funksiya tenglamaning ildizidan o'tayotganda ishorani o'zgartirmaydigan holatlar mavjud va umuman olganda siz ushbu mahalliy, global maksimal va minimallar bilan adashishingiz mumkin, garchi siz buni baribir yaxshi o'zlashtirishingiz kerak bo'ladi. texnik universitetga kirishni rejalashtirish (va yana nima uchun Yagona davlat imtihonini topshirish va bu vazifani hal qilish). Ammo amaliyot va faqat amaliyot sizni bunday muammolarni bir marta va butunlay hal qilishga o'rgatadi. Va bizning veb-saytimizda mashq qilishingiz mumkin. Bu yerga .
Agar sizda biron bir savol bo'lsa yoki biror narsa tushunarsiz bo'lsa, so'rashni unutmang. Men sizga javob berishdan va maqolaga o'zgartirish va qo'shimchalar kiritishdan xursand bo'laman. Esda tutingki, biz bu saytni birgalikda yaratamiz!