kasr son.
Kasr sonning o'nlik belgisi$0$ dan $9$ gacha boʻlgan ikki yoki undan ortiq raqamlar toʻplami boʻlib, ular orasida \textit (oʻnlik nuqta) deb ataladigan raqam mavjud.
1-misol
Masalan, $35,02$; $100,7$; $123\456,5$; $54.89$.
Raqamning o'nlik belgisidagi eng chap raqam nolga teng bo'lishi mumkin emas, faqat o'nlik nuqta birinchi raqamdan keyin $0$ bo'lgandagina istisno.
2-misol
Masalan, $0,357$; $0,064$.
Ko'pincha kasrli kasr kasr bilan almashtiriladi. Masalan, $35,02$; $100,7$; $123\456,5$; $54.89$.
O'nlik ta'rifi
Ta'rif 1
O'nlik kasrlar -- bu kasr sonlar bo'lib, o'nli tizimda ifodalanadi.
Masalan, $121,05; $67,9$; $345.6700$.
To'g'ri kasrlarni ixchamroq yozish uchun o'nlik kasrlar qo'llaniladi, ularning maxrajlari $10$, $100$, $1\000$ va hokazo. va aralash sonlar, kasr qismining maxrajlari $10$, $100$, $1\000$ va boshqalar.
Masalan, oddiy kasr$\frac(8)(10)$ oʻnlik kasr sifatida yozilishi mumkin $0.8$ va aralash son $405\frac(8)(100)$ oʻnlik $405.08$ sifatida yozilishi mumkin.
O'nlik kasrlarni o'qish
Muntazam kasrlarga mos keladigan o'nlik kasrlar oddiy kasrlar bilan bir xil o'qiladi, faqat oldinga "nol butun" iborasi qo'shiladi. Misol uchun, oddiy kasr $\frac(25)(100)$ ("yigirma besh yuzdan" o'qing) $0,25$ o'nlik kasrga mos keladi ("nol nuqta yigirma besh yuzdan" o'qing).
Aralash raqamlarga mos keladigan o'nlik kasrlar aralash raqamlar bilan bir xil tarzda o'qiladi. Masalan, $43\frac(15)(1000)$ aralash soni $43.015$ oʻnlik kasrga toʻgʻri keladi (“qirq uch nuqta oʻn besh mingdan bir qismini” oʻqing).
O'nli kasrlardagi o'rinlar
O'nli kasrni yozishda har bir raqamning ma'nosi uning pozitsiyasiga bog'liq. Bular. o'nlik kasrlarda ham tushuncha qo'llaniladi kategoriya.
O'nli kasrlardagi o'nli kasrgacha bo'lgan joylar natural sonlardagi o'rinlar bilan bir xil deyiladi. O'nli kasrdan keyingi kasrlar jadvalda keltirilgan:
1-rasm.
3-misol
Masalan, $56.328$ oʻnlik kasrda $5$ raqami oʻnliklar qatorida, $6$ birliklar qatorida, $3$ oʻninchi oʻrinda, $2$ yuzinchi oʻrinda, $8$ minglik qatorda. joy.
O'nli kasrlardagi o'rinlar ustunlik bilan ajralib turadi. O'nli kasrni o'qiyotganda, chapdan o'ngga - dan katta darajaga ko'taring yoshroq.
4-misol
Masalan, $56.328$ oʻnlik kasrda eng muhim (eng yuqori) oʻrin oʻnlik, eng past (eng past) oʻrin minginchi oʻrindir.
O'nli kasrni natural sonning raqamli parchalanishiga o'xshash raqamlarga kengaytirish mumkin.
5-misol
Masalan, $37.851$ oʻnli kasrni raqamlarga ajratamiz:
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
O'nli kasrlarni tugatish
Ta'rif 2
O'nli kasrlarni tugatish o'nlik kasrlar deyiladi, ularning yozuvlarida chekli sonli belgilar (raqamlar) mavjud.
Masalan, $0,138$; $5,34$; $56,123456$; 350 972,54 dollar.
Har qanday chekli o'nli kasr kasr yoki aralash songa aylantirilishi mumkin.
6-misol
Masalan, $7.39$ yakuniy oʻnli kasr $7\frac(39)(100)$ kasr raqamiga, oxirgi oʻnli kasr $0.5$ toʻgʻri umumiy kasrga $\frac(5)(10)$ (yoki) mos keladi. unga teng bo'lgan har qanday kasr, masalan, $\frac(1)(2)$ yoki $\frac(10)(20)$.
Kasrni kasrga aylantirish
$10, 100, \dots$ maxrajli kasrlarni oʻnli kasrlarga aylantirish
Ba'zi to'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazishdan oldin ularni "tayyorlash" kerak. Bunday tayyorgarlikning natijasi hisoblagichdagi raqamlar soni va maxrajdagi nollar soni bo'lishi kerak.
To'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish uchun "oldindan tayyorlash" mohiyati shundan iboratki, hisoblagichning chap tomoniga shunday sonli nol qo'shiladi. jami raqamlar maxrajdagi nollar soniga teng bo'ldi.
7-misol
Masalan, $\frac(43)(1000)$ kasrini o'nli kasrga o'tkazish uchun tayyorlaymiz va $\frac(043)(1000)$ olamiz. Va oddiy kasr $\frac(83)(100)$ hech qanday tayyorgarlikni talab qilmaydi.
Keling, shakllantiramiz $10$ yoki $100$ yoki $1\000$, $\dots$ boʻlgan toʻgʻri oddiy kasrni oʻnli kasrga aylantirish qoidasi:
$0$ yozing;
o'nli nuqta qo'ygandan keyin;
numeratordan raqamni yozing (agar kerak bo'lsa, tayyorgarlikdan keyin qo'shilgan nollar bilan birga).
8-misol
$\frac(23)(100)$ to'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantiring.
Yechim.
Maxraj $100$ raqamini o'z ichiga oladi, unda $2$ va ikkita nol mavjud. Numeratorda $23$ raqami mavjud bo'lib, u $2$.raqamlar bilan yozilgan. Bu shuni anglatadiki, bu kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun tayyorlashning hojati yo'q.
Keling, $0$ yozamiz, kasrni qo'yamiz va hisoblagichdan $23$ raqamini yozamiz. Biz $0,23$ o'nlik kasrni olamiz.
Javob: $0,23$.
9-misol
$\frac(351)(100000)$ to'g'ri kasrni kasr shaklida yozing.
Yechim.
Bu kasrning numeratori $3$ raqamlarini o'z ichiga oladi va maxrajdagi nollar soni $5$ ni tashkil qiladi, shuning uchun bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun tayyorlanishi kerak. Buning uchun numeratorning chap tomoniga $5-3=2$ nol qo'shishingiz kerak: $\frac(00351)(100000)$.
Endi biz kerakli kasrni hosil qilishimiz mumkin. Buning uchun $0$ yozing, so'ngra vergul qo'ying va raqamdan raqamni yozing. Biz $0,00351$ kasrni olamiz.
Javob: $0,00351$.
Keling, shakllantiramiz $10$, $100$, $\dots$ maxrajlari boʻlgan notoʻgʻri kasrlarni oʻnli kasrlarga aylantirish qoidasi:
numeratordan raqamni yozing;
Asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ng tomonda shuncha sonni ajratish uchun kasr nuqtasidan foydalaning.
10-misol
$\frac(12756)(100)$ noo'rin kasrni o'nli kasrga aylantiring.
Yechim.
$12756$ sonini yozamiz, keyin o'ngdagi $2$ raqamlarini kasr bilan ajratamiz, chunki $2$ asl kasrning maxraji nolga teng. Biz o'nlik kasrni $127,56$ olamiz.
Sifatida:
± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …
bu yerda ± kasr belgisi: yoki +, yoki -,
, sonning butun va kasr qismlari o'rtasida ajratuvchi vazifasini bajaradigan kasr nuqtasi,
dk- o'nlik sonlar.
Bunday holda, o'nli kasrgacha (uning chap tomonida) sonlar tartibi oxiriga ega (har bir raqam uchun min 1), kasrdan keyin (o'ngda) u ikkala chekli bo'lishi mumkin (variant sifatida, kasrdan keyin hech qanday raqam bo'lmasligi mumkin) va cheksiz.
O'nlik qiymat ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … haqiqiy raqam:
chekli yoki cheksiz sonli hadlar yig'indisiga teng.
Haqiqiy sonlarni o‘nli kasrlar yordamida ifodalash butun sonlarni o‘nlik sanoq sistemasida yozishni umumlashtirishdir. Butun sonning o'nli ko'rinishida kasrdan keyin hech qanday raqam yo'q, shuning uchun tasvir quyidagicha ko'rinadi:
± d m … d 1 d 0 ,
Va bu bizning raqamimizni o'nlik sanoq sistemasida yozishga to'g'ri keladi.
O'nlik- bu 1 ni 10, 100, 1000 va shunga o'xshash qismlarga bo'lish natijasidir. Bu kasrlar hisob-kitoblar uchun juda qulaydir, chunki ular butun sonlarni sanash va yozishga asoslangan bir xil pozitsion tizimga asoslanadi. Buning yordamida o'nli kasrlar bilan ishlashning yozuvlari va qoidalari butun sonlar bilan deyarli bir xil.
O'nli kasrlarni yozishda siz maxrajni belgilashingiz shart emas, u tegishli raqam egallagan joy bilan belgilanadi. Avval raqamning butun qismini yozamiz, so'ngra o'ngga o'nli nuqta qo'yamiz. O'nlik nuqtadan keyingi birinchi raqam o'ndan birlar sonini, ikkinchisi - yuzdan birlar sonini, uchinchisi - mingdan birlar sonini va hokazo. Kasrdan keyin joylashgan raqamlar o'nli kasrlar.
Masalan: 
O'nli kasrlarning afzalliklaridan biri shundaki, ularni oddiy kasrlarga juda oson qisqartirish mumkin: o'nli kasrdan keyingi raqam (biz uchun bu 5047). hisoblagich; maxraj teng n-10 ning kuchi, bu erda n- kasrlar soni (biz uchun bu n=4):
O'nli kasrda butun son bo'lmaganda, kasrdan oldin nol qo'yamiz:
O'nli kasrlarning xossalari.
1. O'ngga nol qo'shilganda o'nli kasr o'zgarmaydi:
13.6 =13.6000.
2. O'nli kasr oxiridagi nollar olib tashlanganda o'nli kasr o'zgarmaydi:
0.00123000 = 0.00123.
Diqqat! O'nlik kasr oxirida YO'Q nollarni olib tashlay olmaysiz!
3. O'nli kasrni mos ravishda 1, 2, 2 va shunga o'xshash o'ngga o'tkazganimizda o'nli kasr 10, 100, 1000 va shunga o'xshash marta ortadi:
3,675 → 367,5 (kasr yuz marta oshdi).
4. O'nli kasr mos ravishda 1, 2, 3 va shunga o'xshash o'rinlarni chapga o'tkazganimizda o'nli kasr o'n, yuz, ming va hokazo marta kichik bo'ladi:
1536,78 → 1,53678 (kasr ming marta kichikroq bo'ldi).
O'nli kasrlarning turlari.
O'nlik kasrlarga bo'linadi final, cheksiz Va davriy o'nli kasrlar.
Yakuniy o'nlik kasr bu kasr kasrdan keyin chekli sonli raqamlarni o'z ichiga olgan kasr (yoki umuman yo'q), ya'ni. shunday ko'rinadi:
Haqiqiy sonni chekli o'nli kasr sifatida ko'rsatish mumkin, agar bu son ratsional bo'lsa va kamaytirilmas kasr sifatida yozilsa. p/q maxraj q 2 va 5 dan boshqa tub omillarga ega emas.
Cheksiz kasr.
Cheksiz takrorlanuvchi raqamlar guruhini o'z ichiga oladi davr. Davr qavs ichida yoziladi. Masalan, 0,12345123451234512345… = 0.(12345).
Davriy kasr- bu cheksiz o'nli kasr bo'lib, unda o'nli kasrdan keyin ma'lum bir joydan boshlangan raqamlar ketma-ketligi vaqti-vaqti bilan takrorlanadigan raqamlar guruhidir. Boshqa so'zlar bilan aytganda, davriy kasr- o'nlik kasr quyidagicha ko'rinadi:
Bunday kasr odatda qisqacha quyidagicha yoziladi:
Raqamlar guruhi b 1 … b l, bu takrorlanadi kasr davri, bu guruhdagi raqamlar soni davr uzunligi.
Davriy kasrda davr kasrdan keyin darhol kelsa, bu kasr ekanligini anglatadi toza davriy. O'nli kasr va 1-daqiq o'rtasida raqamlar bo'lsa, kasr bo'ladi aralash davriy, va kasrdan keyin davrning 1 raqamigacha bo'lgan raqamlar guruhi kasr oldingi davr.
Masalan, 1,(23) = 1,2323... kasr sof davriy, 0,1(23) = 0,12323... kasr aralash davriydir.
Davriy kasrlarning asosiy xossasi, ular o'nlik kasrlarning butun to'plamidan ajralib turadiganligi sababli, davriy kasrlar va faqat ular ratsional sonlarni ifodalaydi. Aniqroq aytganda, quyidagilar sodir bo'ladi:
Har qanday cheksiz davriy o'nli kasr ratsional sonni ifodalaydi. Aksincha, ratsional son cheksiz o'nli kasrga kengaytirilsa, bu kasr davriy bo'lishini anglatadi.
Ko'rsatmalar
Agarda shakl kasrlar butunligini tasavvur qilishimiz kerak raqam, keyin maxraj sifatida bittasini ishlating va asl qiymatini hisoblagichga qo'ying. Belgilanishning bu shakli noto'g'ri oddiy kasr deb ataladi, chunki uning hisoblagichining moduli maxraj modulidan kattaroqdir. Masalan, raqam 74 ni 74/1 deb yozish mumkin va raqam-12 - -12/1 kabi. Agar kerak bo'lsa, siz bir xil miqdordagi numerator va maxrajni belgilashingiz mumkin - qiymat kasrlar bu holda u hali ham asl raqamga mos keladi. Masalan, 74=74/1=222/3 yoki -12=-12/1=-84/7.
Agar asl raqam kasrli formatda taqdim etiladi kasrlar, keyin butun qismini o'zgarishsiz qoldiring va ajratuvchi vergulni bo'sh joy bilan almashtiring. Numeratorga kasr qismini qo'ying va maxraj sifatida asl sonning kasridagi raqamlar soniga teng darajali darajaga ko'tarilgan o'ndan foydalaning. Olingan kasr qismini pay va maxrajni bir xilga bo'lish orqali kamaytirish mumkin. raqam. Masalan, kasrli kasrlar 7.625 7 625/1000 oddiy kasrga to'g'ri keladi, u qisqartirilgandan keyin 7 5/8 qiymatini oladi. Belgilanishning bu shakli keng tarqalgan kasrlar aralashgan. Agar kerak bo'lsa, u noto'g'ri bo'lishi mumkin oddiy ko'rinish, butun qismni maxrajga ko'paytirish va natijani raqamga qo'shish: 7,625 = 7,625/1000 = 7 5/8 = 61/8.
Agar dastlabki o'nlik kasr davriy bo'lsa, masalan, formatdagi ekvivalentini hisoblash uchun tenglamalar tizimidan foydalaning. kasrlar oddiy. Aytaylik, agar asl kasr 3,5(3) bo'lsa, unda biz o'ziga xoslikka ega bo'lishimiz mumkin: 100*x-10*x=100*3,5(3)-10*3,5(3). Undan biz 90*x=318 tenglikni chiqarishimiz mumkin va kerakli kasr 318/90 ga teng bo'ladi, bu qisqargandan keyin 3 24/45 oddiy kasrni beradi.
Manbalar:
- 450 000 sonni 2 ta raqam koʻpaytmasi sifatida koʻrsatish mumkinmi?
Kundalik hayotda tabiiy bo'lmagan sonlar ko'pincha uchraydi: 1, 2, 3, 4 va boshqalar. (5 kg kartoshka) va kasr, butun bo'lmagan sonlar (5,4 kg piyoz). Ularning ko'pchiligi taqdim etilgan shakl o'nli kasrlar. Lekin o'nli kasrni ichida ifodalang shakl kasrlar etarlicha sodda.
Ko'rsatmalar
Masalan, "0,12" raqami berilgan. Agar bu kasr bo'lmasa va uni xuddi shunday tasavvur qilsangiz, u quyidagicha ko'rinadi: 12/100 ("o'n ikki"). Yuzdan qutulish uchun , siz ham hisoblagichni, ham maxrajni ularning raqamlarini ajratadigan raqamga bo'lishingiz kerak. Bu raqam 4. Keyin, hisoblagich va maxrajni bo'linib, biz raqamni olamiz: 3/25.
Agar biz ko'proq kundalik mahsulotni ko'rib chiqsak, unda ko'pincha uning og'irligi, masalan, 0,478 kg yoki shunga o'xshashligi aniq bo'ladi shakl kasrlar:
478/1000 = 239/500. Bu kasr juda xunuk va agar iloji bo'lsa, bu o'nli kasrni yanada qisqartirish mumkin edi. Va barchasi bir xil usuldan foydalanadi: numeratorni ham, denominatorni ham ajratadigan raqamni tanlash. Bu raqam eng katta umumiy omilga ega. Faktor "eng katta", chunki uni ikki marta 2 ga bo'lishdan ko'ra, hisoblagichni ham, maxrajni ham darhol 4 ga (birinchi misolda bo'lgani kabi) bo'lish ancha qulayroqdir.
Mavzu bo'yicha video
O'nlik kasr- xilma-xillik kasrlar, maxrajda "yumaloq" raqam mavjud: 10, 100, 1000 va boshqalar, Masalan, kasr 5/10 0,5 kasr belgisiga ega. Ushbu tamoyilga asoslanib, kasr ichida ifodalanishi mumkin shakl kasr kasrlar.
Ko'rsatmalar
Biz raqamli dunyoda yashayapmiz. Agar ilgari asosiy qadriyatlar yer, pul yoki ishlab chiqarish vositalari bo'lsa, endi texnologiya va axborot hamma narsani hal qiladi. Muvaffaqiyatga erishmoqchi bo'lgan har bir kishi, qanday shaklda taqdim etilishidan qat'i nazar, har qanday raqamlarni tushunishga majburdir. Belgilanishning odatiy o'nlik shakliga qo'shimcha ravishda, raqamlarni ifodalashning boshqa ko'plab qulay usullari mavjud (aniq vazifalar kontekstida). Keling, ulardan eng keng tarqalganini ko'rib chiqaylik.
Sizga kerak bo'ladi
- Kalkulyator
Ko'rsatmalar
O'nli sonni kasr sifatida ko'rsatish uchun, avvalo, uning haqiqiy son yoki haqiqiy son ekanligini ko'rib chiqish kerak. Butun raqam umuman vergul yo'q yoki verguldan keyin nol bor (yoki ko'p nol, bu bir xil narsa). Agar kasrdan keyin ba'zi raqamlar bo'lsa, bu raqam haqiqiylarga ishora qiladi. Butun raqam kasr sifatida ifodalash juda oson: numeratorning o'zi kiradi raqam, va maxraj bo'ladi. O'nli kasr bilan bu deyarli bir xil, faqat biz numeratordagi verguldan xalos bo'lgunimizcha, kasrning ikkala tomonini o'nga ko'paytiramiz.
Ushbu maqolada biz qanday qilib ko'rib chiqamiz kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish, shuningdek, hisobga oling teskari jarayon– o‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga o‘tkazish. Bu erda biz kasrlarni konvertatsiya qilish qoidalarini ko'rsatamiz va odatiy misollarga batafsil echimlarni taqdim etamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish
Keling, biz bilan shug'ullanadigan ketma-ketlikni belgilaylik kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish.
Birinchidan, maxrajlari 10, 100, 1000, ... bo‘lgan kasrlarni o‘nli kasr sifatida qanday ifodalashni ko‘rib chiqamiz. Bu o'nli kasrlar mohiyatan 10, 100, ... bo'lgan oddiy kasrlarni yozishning ixcham shakli ekanligi bilan izohlanadi.
Shundan so'ng, biz davom etamiz va har qanday oddiy kasrni (faqat maxrajlari 10, 100, ... bo'lganlarni emas) o'nli kasr sifatida qanday yozishni ko'rsatamiz. Oddiy kasrlarga shu tarzda ishlov berilsa, ham chekli o'nli kasrlar, ham cheksiz davriy o'nli kasrlar olinadi.
Endi hamma narsa haqida tartibda gaplashaylik.
Maxrajlari 10, 100, ... bo‘lgan oddiy kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish
Ba'zi to'g'ri kasrlar o'nli kasrlarga o'tkazishdan oldin "oldindan tayyorgarlik" ni talab qiladi. Bu oddiy kasrlar uchun amal qiladi, ularning sonidagi raqamlar soni maxrajdagi nol sonidan kichikdir. Misol uchun, 2/100 oddiy kasr birinchi navbatda o'nli kasrga o'tkazish uchun tayyorlanishi kerak, lekin 9/10 kasr hech qanday tayyorgarlikni talab qilmaydi.
To'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish uchun "oldindan tayyorlash" hisoblagichning chap tomoniga shunchalik ko'p nol qo'shishdan iborat bo'lib, u erdagi raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. Misol uchun, nollarni qo'shgandan keyin kasr o'xshash bo'ladi.
To'g'ri kasrni tayyorlaganingizdan so'ng, uni o'nli kasrga aylantirishni boshlashingiz mumkin.
beraylik maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ... boʻlgan toʻgʻri oddiy kasrni oʻnli kasrga aylantirish qoidasi. U uch bosqichdan iborat:
- 0 yozish;
- undan keyin biz kasr nuqtasini qo'yamiz;
- Numeratordan raqamni yozamiz (agar biz ularni qo'shsak, qo'shilgan nollar bilan birga).
Keling, misollarni yechishda ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.
Misol.
37/100 to'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantiring.
Yechim.
Maxrajda ikkita nolga ega bo'lgan 100 raqami mavjud. Numerator 37 raqamini o'z ichiga oladi, uning yozuvi ikkita raqamga ega, shuning uchun bu kasrni o'nlik kasrga aylantirish uchun tayyorlanish shart emas.
Endi biz 0 ni yozamiz, o'nli kasrni qo'yamiz va hisoblagichdan 37 raqamini yozamiz va o'nlik kasr 0,37 ni olamiz.
Javob:
0,37 .
10, 100, ... numeratorlari bo'lgan to'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish ko'nikmalarini mustahkamlash uchun biz boshqa misolning yechimini tahlil qilamiz.
Misol.
107/10 000 000 to'g'ri kasrni o'nli kasr shaklida yozing.
Yechim.
Numeratordagi raqamlar soni 3 ga, maxrajdagi nollar soni esa 7 ga teng, shuning uchun bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun tayyorlash kerak. Numeratorning chap tomoniga 7-3=4 nol qo'shishimiz kerak, shunda u erdagi raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. olamiz.
Faqat kerakli o'nli kasrni yaratish qoladi. Buning uchun birinchidan, biz 0 yozamiz, ikkinchidan, vergul qo'yamiz, uchinchidan, raqamdan raqamni 0000107 nol bilan birga yozamiz, natijada bizda 0,0000107 o'nlik kasr mavjud.
Javob:
0,0000107 .
Noto'g'ri kasrlar o'nli kasrlarga o'tkazishda hech qanday tayyorgarlikni talab qilmaydi. Quyidagilarga rioya qilish kerak maxrajlari 10, 100, ... bo‘lgan noto‘g‘ri kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish qoidalari:
- numeratordan raqamni yozing;
- Asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ng tomonda shuncha sonni ajratish uchun kasr nuqtasidan foydalanamiz.
Keling, misolni yechishda ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.
Misol.
56,888,038,009/100,000 noo'rin kasrni o'nli kasrga aylantiring.
Yechim.
Birinchidan, biz raqamni 56888038009 raqamidan yozamiz, ikkinchidan, o'ngdagi 5 ta raqamni o'nli kasr bilan ajratamiz, chunki asl kasrning maxrajida 5 ta nol bor. Natijada bizda 568880.38009 o'nlik kasr mavjud.
Javob:
568 880,38009 .
Aralash sonni kasr qismining maxraji 10 yoki 100 yoki 1000, ... bo'lgan o'nli kasrga aylantirish uchun siz aralash sonni noto'g'ri oddiy kasrga aylantirib, keyin hosil bo'lgan kasrni o'zgartirishingiz mumkin. kasrni o'nli kasrga. Ammo siz quyidagilarni ham ishlatishingiz mumkin kasr maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ... boʻlgan aralash sonlarni oʻnli kasrlarga aylantirish qoidasi:
- agar kerak bo'lsa, qo'shish orqali asl aralash sonning kasr qismini "oldindan tayyorlash" ni bajaramiz kerakli miqdor numeratorning chap tomonidagi nollar;
- asl aralash sonning butun qismini yozing;
- kasr nuqtasini qo'ying;
- Numeratordan raqamni qo'shilgan nollar bilan birga yozamiz.
Keling, aralash sonni o'nli kasr sifatida ko'rsatish uchun barcha kerakli qadamlarni bajargan misolni ko'rib chiqaylik.
Misol.
Aralash sonni kasrga aylantiring.
Yechim.
Kasr qismining maxrajida 4 ta nol bor, lekin hisoblagich 2 ta raqamdan iborat 17 raqamini o'z ichiga oladi, shuning uchun raqamning chap tomoniga ikkita nol qo'shishimiz kerak, shunda u erdagi raqamlar soni soniga teng bo'ladi. maxrajdagi nollar. Buni qilgandan so'ng, hisoblagich 0017 bo'ladi.
Endi biz asl sonning butun qismini, ya'ni 23 raqamini yozamiz, o'nli kasrni qo'yamiz, shundan so'ng biz raqamdan raqamni qo'shilgan nollar bilan birga yozamiz, ya'ni 0017 va biz kerakli o'nli kasrni olamiz. kasr 23.0017.
Keling, butun yechimni qisqacha yozamiz: 
.
Albatta, avval aralash sonni noto'g'ri kasr sifatida ifodalash va keyin uni o'nli kasrga aylantirish mumkin edi. Ushbu yondashuv bilan yechim quyidagicha ko'rinadi: .
Javob:
23,0017 .
Kasrlarni chekli va cheksiz davriy o'nli kasrlarga aylantirish
Siz nafaqat maxrajlari 10, 100, ... bo'lgan oddiy kasrlarni, balki boshqa maxrajli oddiy kasrlarni ham o'nli kasrga o'tkazishingiz mumkin. Endi biz buni qanday qilishni aniqlaymiz.
Ayrim hollarda dastlabki oddiy kasr 10, yoki 100 yoki 1000, ... maxrajlaridan biriga osonlik bilan qisqartiriladi (oddiy kasrni yangi maxrajga olib kelishga qarang), shundan so‘ng hosil bo‘lgan kasrni ifodalash qiyin emas. o'nlik kasr sifatida. Masalan, 2/5 kasrni maxraji 10 bo'lgan kasrga qisqartirish mumkinligi aniq, buning uchun pay va maxrajni 2 ga ko'paytirish kerak, bu esa 4/10 kasrni beradi. oldingi paragrafda muhokama qilingan qoidalar, osonlik bilan o'nlik kasrga aylantiriladi 0, 4 .
Boshqa hollarda, oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirishning boshqa usulini qo'llashingiz kerak, biz hozir ko'rib chiqamiz.
Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun kasrning soni maxrajga bo'linadi, hisoblagich birinchi navbatda o'nli kasrdan keyin istalgan sonli nol bilan teng o'nli kasr bilan almashtiriladi (bu haqda biz teng va bo'limda gaplashdik. teng bo'lmagan o'nli kasrlar). Bunday holda, bo'lish natural sonlar ustuniga bo'linish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi va dividendning butun qismining bo'linishi tugagach, qismda kasr qo'yiladi. Bularning barchasi quyida keltirilgan misollarning echimlaridan aniq bo'ladi.
Misol.
621/4 kasrni kasrga aylantiring.
Yechim.
621 numeratoridagi sonni o'nli kasr sifatida ifodalaymiz, undan keyin kasr va bir nechta nollarni qo'shamiz. Birinchidan, 2 ta raqamni 0 qo'shamiz, keyinroq, agar kerak bo'lsa, har doim ko'proq nol qo'shishimiz mumkin. Shunday qilib, bizda 621.00 bor.
Endi 621 000 sonini ustun bilan 4 ga ajratamiz. Dastlabki uchta qadam uzoq bo'linishdan farq qilmaydi natural sonlar, ulardan keyin biz quyidagi rasmga kelamiz: 
Dividenddagi kasr nuqtasiga shunday etib boramiz, qolgan qismi esa noldan farq qiladi. Bunday holda, biz kasrni qismga qo'yamiz va vergullarga e'tibor bermasdan, ustunga bo'linishni davom ettiramiz: 
Bu bo'linishni yakunlaydi va natijada biz dastlabki oddiy kasrga mos keladigan 155,25 o'nli kasrni olamiz.
Javob:
155,25 .
Materialni birlashtirish uchun boshqa misolning yechimini ko'rib chiqing.
Misol.
21/800 kasrni kasrga aylantiring.
Yechim.
Bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun 21000... o'nlik kasr ustuni bilan 800 ga bo'lamiz. Birinchi qadamdan so'ng, biz qismga kasr nuqtasini qo'yishimiz kerak va keyin bo'linishni davom ettiramiz: 
Nihoyat, biz qolgan 0 ni oldik, bu 21/400 oddiy kasrni o'nlik kasrga aylantirishni yakunlaydi va biz o'nlik kasr 0,02625 ga keldik.
Javob:
0,02625 .
Numeratorni oddiy kasrning maxrajiga bo'lganda, biz hali ham 0 ning qoldig'ini ololmasligimiz mumkin. Bunday hollarda bo'linish cheksiz davom ettirilishi mumkin. Biroq, ma'lum bir qadamdan boshlab, qoldiqlar vaqti-vaqti bilan takrorlana boshlaydi va qismdagi raqamlar ham takrorlanadi. Bu asl kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylantirilganligini anglatadi. Buni misol bilan ko'rsatamiz.
Misol.
19/44 kasrni kasr shaklida yozing.
Yechim.
Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun ustunga bo'linishni bajaring: 
Bo'linish paytida 8 va 36 qoldiqlari takrorlana boshlaganligi allaqachon aniq bo'lib, bo'linishda 1 va 8 raqamlari takrorlanadi. Shunday qilib, 19/44 asl oddiy kasr davriy kasr 0,43181818...=0,43(18) kasrga aylantiriladi.
Javob:
0,43(18) .
Ushbu fikrni yakunlash uchun biz qaysi oddiy kasrlarni chekli o'nli kasrlarga va qaysilarini faqat davriy kasrlarga aylantirish mumkinligini aniqlaymiz.
Oldimizda kamaytirilmaydigan oddiy kasr bo'lsin (agar kasr kamaytiriladigan bo'lsa, avval kasrni kamaytiramiz) va biz uni qaysi o'nli kasrga aylantirish mumkinligini aniqlashimiz kerak - chekli yoki davriy.
Ko'rinib turibdiki, agar oddiy kasrni 10, 100, 1000, ... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin bo'lsa, unda hosil bo'lgan kasrni oldingi bandda muhokama qilingan qoidalarga muvofiq osonlik bilan yakuniy o'nli kasrga aylantirish mumkin. Ammo maxrajlarga 10, 100, 1000 va hokazo. Hamma oddiy kasrlar berilmaydi. Faqat maxrajlari 10, 100, ... sonlaridan kamida bittasi bo'lgan kasrlarni bunday maxrajlarga keltirish mumkin va qanday sonlar 10, 100, ... ning bo'luvchisi bo'lishi mumkin? 10, 100, ... raqamlari bu savolga javob berishga imkon beradi va ular quyidagicha: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Bundan kelib chiqadiki, bo'luvchilar 10, 100, 1000 va hokazo. faqat parchalanishlari bo'lgan raqamlar bo'lishi mumkin asosiy omillar faqat 2 va (yoki) 5 raqamlarini o'z ichiga oladi.
Endi oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish haqida umumiy xulosa chiqarishimiz mumkin:
- agar maxrajni tub ko'paytmalarga ajratishda faqat 2 va (yoki) 5 raqamlari mavjud bo'lsa, u holda bu kasr yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin;
- agar maxrajning kengayishida ikkilik va beshlikdan tashqari boshqa tub sonlar bo'lsa, u holda bu kasr cheksiz o'nli davriy kasrga aylanadi.
Misol.
Oddiy kasrlarni o'nli kasrga o'tkazmasdan, ayting-chi, 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 kasrlarning qaysi biri oxirgi o'nli kasrga, qaysi biri faqat davriy kasrga aylantirilishi mumkin.
Yechim.
47/20 kasrning maxraji 20=2·2·5 kabi tub ko‘paytmalarga ajratiladi. Bu kengayishda faqat ikkita va beshlik bor, shuning uchun bu kasrni 10, 100, 1000, ... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin (bu misolda 100 maxrajiga), shuning uchun oxirgi kasrga aylantirilishi mumkin. kasr.
7/12 kasrning maxraji 12=2·2·3 kabi tub ko‘paytmalarga ajratiladi. U 2 va 5 dan farqli 3 ning tub koeffitsientini o'z ichiga olganligi sababli, bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida tasvirlab bo'lmaydi, lekin davriy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.
Fraksiya 21/56 - kontraktil, qisqargandan keyin u 3/8 shaklini oladi. Maxrajni tub ko'rsatkichlarga ko'paytirish 2 ga teng uchta omilni o'z ichiga oladi, shuning uchun oddiy kasr 3/8 va shuning uchun teng kasr 21/56 yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.
Nihoyat, 31/17 kasr maxrajining kengayishi 17 ning o'zi, shuning uchun bu kasrni cheklangan o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi, lekin cheksiz davriy kasrga aylantirilishi mumkin.
Javob:
47/20 va 21/56 sonli o'nli kasrga aylantirilishi mumkin, lekin 7/12 va 31/17 faqat davriy kasrga aylantirilishi mumkin.
Oddiy kasrlar cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarga aylanmaydi
Oldingi paragrafdagi ma’lumotlar “Kasrning sonini maxrajga bo‘lish natijasida cheksiz davriy bo‘lmagan kasr hosil bo‘lishi mumkinmi?” degan savol tug‘iladi.
Javob: yo'q. Oddiy kasrni o'zgartirganda, natija chekli o'nli kasr yoki cheksiz davriy o'nli kasr bo'lishi mumkin. Keling, nima uchun bunday ekanligini tushuntirib beraylik.
Qoldiqqa boʻlinish teoremasidan maʼlum boʻladiki, qoldiq har doim boʻluvchidan kichik boʻladi, yaʼni baʼzi bir butun sonni q butun soniga boʻlsak, qolgan 0, 1, 2 sonlaridan faqat bittasi boʻlishi mumkin. , ..., q−1. Bundan kelib chiqadiki, ustun oddiy kasr hisobining butun qismini q maxrajiga bo'lishni tugatgandan so'ng, q dan ortiq bo'lmagan bosqichda quyidagi ikkita holatdan biri yuzaga keladi:
- yoki biz 0 ning qoldig'ini olamiz, bu bo'linishni tugatadi va biz oxirgi o'nli kasrni olamiz;
- yoki biz ilgari paydo bo'lgan qoldiqni olamiz, shundan so'ng qolganlar oldingi misoldagi kabi takrorlana boshlaydi (chunki teng sonlarni q ga bo'lishda yuqorida aytib o'tilgan bo'linish teoremasidan kelib chiqadigan teng qoldiqlar olinadi), bu cheksiz davriy kasrga olib keladi.
Boshqa variantlar bo'lishi mumkin emas, shuning uchun oddiy kasrni o'nli kasrga o'tkazishda cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrni olish mumkin emas.
Ushbu bandda keltirilgan mulohazalardan, shuningdek, o'nli kasr davrining uzunligi har doim mos keladigan oddiy kasrning maxraji qiymatidan kichik ekanligi kelib chiqadi.
O'nli kasrlarni kasrga o'tkazish
Endi o'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirishni aniqlaymiz. Yakuniy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishdan boshlaylik. Shundan so'ng biz cheksiz davriy o'nli kasrlarni invertatsiya qilish usulini ko'rib chiqamiz. Xulosa qilib aytganda, cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning mumkin emasligi haqida gapiraylik.
Keyingi o‘nli kasrlarni kasrga o‘tkazish
Yakuniy kasr sifatida yozilgan kasrni olish juda oddiy. Yakuniy kasrni oddiy kasrga aylantirish qoidasi uch bosqichdan iborat:
- birinchidan, agar mavjud bo'lsa, o'nli kasrni va chapdagi barcha nollarni olib tashlagan holda, berilgan o'nli kasrni hisoblagichga yozing;
- ikkinchidan, maxrajga bittadan yozing va asl kasrdagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha nol qo'shing;
- uchinchidan, agar kerak bo'lsa, hosil bo'lgan fraktsiyani kamaytiring.
Keling, misollarning yechimlarini ko'rib chiqaylik.
Misol.
3.025 kasrni kasrga aylantiring.
Yechim.
Agar dastlabki o'nli kasrdan kasrni olib tashlasak, biz 3025 raqamini olamiz. Chap tomonda biz bekor qiladigan nol yo'q. Shunday qilib, biz kerakli kasrning soniga 3025 yozamiz.
Biz maxrajga 1 raqamini yozamiz va uning o'ng tomoniga 3 ta nol qo'shamiz, chunki asl kasrda kasrdan keyin 3 ta raqam mavjud.
Shunday qilib, biz 3,025/1,000 oddiy kasrni oldik. Bu kasrni 25 ga kamaytirish mumkin, biz olamiz 
.
Javob:
.
Misol.
0,0017 o'nli kasrni kasrga aylantiring.
Yechim.
O'nli kasrsiz asl kasr 00017 ga o'xshaydi, chapdagi nollarni tashlab, biz kerakli oddiy kasrning hisobi bo'lgan 17 raqamini olamiz.
Biz maxrajda to'rt nol bilan bittasini yozamiz, chunki asl o'nli kasrda kasrdan keyin 4 ta raqam mavjud.
Natijada, bizda 17/10 000 oddiy kasr bor. Bu kasr kamaytirilmaydi va o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish tugallangan.
Javob:
.
Dastlabki yakuniy o'nli kasrning butun qismi nolga teng bo'lsa, uni oddiy kasrni chetlab o'tib, darhol aralash raqamga aylantirish mumkin. beraylik yakuniy kasrni aralash songa aylantirish qoidasi:
- kasrdan oldingi raqam kerakli aralash sonning butun qismi sifatida yozilishi kerak;
- kasr qismining numeratorida chapdagi barcha nollarni tashlaganingizdan so'ng, asl o'nlik kasrning kasr qismidan olingan raqamni yozishingiz kerak;
- kasr qismining maxrajiga 1 raqamini yozish kerak, unga o'ngga dastlabki o'nli kasrdagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha nol qo'shing;
- agar kerak bo'lsa, olingan aralash sonning kasr qismini kamaytiring.
O'nli kasrni aralash songa o'tkazish misolini ko'rib chiqamiz.
Misol.
152.06005 o'nli kasrni aralash son sifatida ifodalang
Ko'rsatmalar
O'nli kasrlarni aylantirishni o'rganing kasrlar oddiylarga. Vergul bilan qancha belgi ajratilganligini hisoblang. O'nli kasrning o'ng tomonidagi bitta raqam maxrajning 10 ni, ikkitasi 100 ni, uchtasi 1000 ni va boshqalarni bildiradi. Masalan, o'nlik kasr 6,8 "olti nuqta sakkiz" ga o'xshaydi. Uni o'zgartirganda, birinchi navbatda, butun birliklar sonini yozing - 6. maxrajda 8 raqami paydo bo'ladi. Qisqartirish qoidalarini eslang. Agar pay va maxraj bir xil songa bo'linadigan bo'lsa, kasrni umumiy bo'luvchi bilan kamaytirish mumkin. Bu holda, raqam 2. 6 8/10 = 6 2/5.
Oʻnli kasrlarni qoʻshib koʻring kasrlar. Agar siz buni ustunda qilsangiz, ehtiyot bo'ling. Barcha raqamlarning raqamlari bir-birining ostida - vergul ostida bo'lishi kerak. Qo'shish qoidalari bilan ishlashda bo'lgani kabi bir xil. Xuddi shu 6,8 raqamiga boshqa o'nlik kasr qo'shing - masalan, 7,3. Sakkizdan pastga uch, vergul ostiga vergul, oltidan pastga yetti qo‘ying. Qo'shishni oxirgi raqamdan boshlang. 3+8=11, ya'ni 1 ni yozing, 1 ni eslang. Keyin, 6+7 qo'shing, siz 13 ga ega bo'lasiz. Xayolingizda qolgan narsalarni qo'shing va natijani yozing - 14.1.
Ayirish xuddi shu printsipga amal qiladi. Raqamlarni bir-birining ostiga, vergulni esa vergul ostiga yozing. Har doim undan qo'llanma sifatida foydalaning, ayniqsa minuenddagi undan keyingi raqamlar soni subtrahenddagidan kamroq bo'lsa. Berilgan raqamdan ayirish, masalan, 2.139. Ikkitasini oltitaning ostiga, bittasini sakkiztaning ostiga va qolgan ikkita raqamni nol bilan belgilash mumkin bo'lgan keyingi raqamlar ostiga yozing. Ma'lum bo'lishicha, minuend 6,8 emas, balki 6,800. Ushbu amalni bajarish orqali siz jami 4.661 olasiz.
Salbiy raqamlar bilan harakatlar raqamlar bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi. Qo'shishda minus qavslar tashqarisida, berilgan raqamlar esa qavs ichida bo'ladi va ular orasiga plyus qo'yiladi. Oxir-oqibat bu chiqadi. Ya'ni, -6,8 va -7,3 ni qo'shsangiz, 14,1 ning bir xil natijasini olasiz, lekin uning oldida "-" belgisi bilan. Agar ayirma minuenddan katta bo'lsa, minus ham qavsdan chiqariladi, dan Ko'proq kami chegirib tashlanadi. 6,8 dan -7,3 ni ayirish. Ifodani quyidagi tarzda o'zgartiring. 6,8 - 7,3= -(7,3 - 6,8) = -0,5.
O'nli kasrlarni ko'paytirish uchun kasrlar, hozircha vergulni unuting. Ularni shunday ko'paytiring, sizning oldingizda butun sonlar bor. Shundan so'ng, ikkala omilda o'nli kasrdan keyin o'ngdagi raqamlar sonini hisoblang. Ishda bir xil sonli belgilarni ajrating. 6,8 va 7,3 ni ko'paytirish sizga jami 49,64 ni beradi. Ya'ni, o'nli kasrning o'ng tomonida siz 2 ta belgiga ega bo'lasiz, ko'paytma va ko'paytmada esa bittadan bor edi.
Berilgan kasrni qandaydir butun songa bo'ling. Bu harakat xuddi butun sonlar bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi. Asosiysi, vergulni unutmaslik va agar butun birliklar soni bo'linuvchiga bo'linmasa, boshida 0 qo'yish kerak. Misol uchun, bir xil 6,8 ni 26 ga bo'lishga harakat qiling. Boshiga 0 qo'ying, chunki 6 26 dan kichik. Uni vergul bilan ajrating, keyin o'ndan va yuzdan keyin keladi. Natijada taxminan 0,26 bo'ladi. Aslida, bu holda cheksiz davriy bo'lmagan kasr olinadi, uni kerakli aniqlik darajasiga yaxlitlash mumkin.
Ikki o'nli kasrni bo'lishda, dividend va bo'luvchi bir xil songa ko'paytirilsa, qism o'zgarmasligi xususiyatidan foydalaning. Ya'ni ikkalasini ham o'zgartiring kasrlar o'nli kasrlar soniga qarab butun sonlarga. Agar siz 6,8 ni 7,3 ga bo'lmoqchi bo'lsangiz, ikkala raqamni ham 10 ga ko'paytirish kifoya qiladi. Ma'lum bo'lishicha, 68 ni 73 ga bo'lish kerak. Agar raqamlardan birida o'nlik kasrlar ko'proq bo'lsa, avval uni butun songa, keyin esa ikkinchi raqamga aylantiring. Uni bir xil raqamga ko'paytiring. Ya'ni, 6,8 ni 4,136 ga bo'lishda dividend va bo'luvchini 10 ga emas, balki 1000 marta oshiring. 6800 ni 1436 ga bo'lib, 4,735 ni oling.