Ответ: 0,7157

2.

3.

4. номер не делится на 5

Решение: P(A) = m/n; m=1/

Оно равно 90 и вычтем из этих чисел те которые делятся на 5 (10,15,20,25…90,95). Их количество равно 18 => n=90-18=72

Ответ: 1/72

Решение: P(A)=m/n

а) P(A)=6/36 =1/6

Решение: C m n = n! / m!(n-m)!

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами, и 3 черных из 5 =>

С 3 5 способами.

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Ответ:

Решение:

Ответ: 0,3.

Решение:

A – выход из лабиринта.

P(A/H3) =0,2 –из 3 лабиринта

P(A/H4) = 0,1 –из 4 лабиринта

Ответ: 1/3; 2/5

9.

10.

11. .

Решение:

Решение:

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

13.

Решение:

Пусть B ни одного попадания

P(C)= 1 - 0,216 = 0,784

Ответ: 0,784

Решение:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

Ответ: 15/48 = 0,3125

16.

Решение:

17.

Решение:

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Решение:

Ответ: P(A) = 0,925

Студент в поисках книги посещает 3 библиотеки. Вероятность того, что они есть в библиотеке равны 0,4; 0,5; 0,1; а того, что они выданы или нет – равновероятные события. Какова вероятность того, что нужна книга найдена.

Решение: A-книга есть в библиотеке, B – книга не выдана.

P(B) = P(B -) = ½

P(A1) = 0,4 P(A2) = 0,5 P(A3) = 0,1

Определим вероятность того, что нужная книга найдена:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1/2 * (0,4 + 0,5 +0,1) = 1/2 * 1 = ½

Ответ: 1/2

23. Найти вероятности того, что дни рождения 12 человек прийдутся на разные месяцы года.

Решение: P(A)= m/n

n = --- A 12 = 12 12

P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12 7) = (11*5*7*5*1) / 12 7 = 7*8*25 / 12 7 = 1925 / 12 7

Ответ: 1925/12 7

24. В урне имеется 10 белых, 5 черных и 15 красных шаров. Извлекается последовательно 2 шара. Рассматриваются 2 события А - хотя бы один шар из двух вынутых красный, В - хотя бы один вынутый шар белый. Найти вероятность события С = А + В.

25. Наудачу набранный номер состоит из 5 цифр. Определить вероятность того, что все цифры в нем различны.

26. В магазин трикотажных изделий поступили носки, 60% которых получено от одной фабрики, 25% - другой и 15% - третьей. Найти вероятность того, что купленные покупателем носки изготовлены на второй или третьей фабрике.

Решение. A1-от 1 фабрики, P(A1) = 0,6;

А2 –от 2 фабрики; P(A2) = 0,25

A3 – от 3 фабрики; P(A3) = 0,15

P(A2+A3) = 0,25 + 0,15 = 0,4

Ответ: 0,4

Пассажир за получением билета может обратиться в одну из касс. Вероятность обращения в 1ую кассу составляет 0,4; во 2ую 0,35; и 3ью 0,25. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут проданы, равна для 1ой кассы 0,3; для 2ой 0,4, для 3ей 0,6. Найти вероятность того, что пассажир купит билет.

P(A) –вероятность не купить билет.

P(A) =0,4*0,3 + 0,35*0,4 + 0,25*0,6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P(A1) – вероятность купить билет = 1-P(A) = 1 – 0,41 = 0,59.

Ответ: P(A1) = 0,59.

28. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) хотя бы на одной появится 2 очка, б) на них выпадет по одинаковому числу очков.

Решение:

29. Из 9 жетонов, занумерованных разными однозначными цифрами, выбирается 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров покажет возрастание значений цифр.

Решение:

30. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Какова вероятность того, что выиграет хотя бы один билет из трех купленных?

31. Из полной колоды карт(52 листа) вынимают сразу 4 карты. Найти вероятность того, что все эти карты будут разным мастей.

Решение: Вероятность вытащить конкретную масть равна C 1 13

C 1 13 = 13(количество возможных способов).

Возможность вытащить карты из 52 = C 4 52 = 52! / 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P(A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 /270725 = 0,1054982

Ответ: P(A) = 0,1054982.

32. Имеется 3 урны. В первой из них 5 белых и 6 черных шаров, во второй 4 белых и 3 черных шара, в третьей 5 белых и 3 черных шара. Некто наугад выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из второй урны.

Решение:

Ответ: 0,9125

52. Какова вероятность получения 1 туза, туза и короля при сдаче 6 карт из колоды в 52 карты?

Машин были доставлены на станцию технического обслуживания. При этом 5 из них имели неисправность ходовой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью исправны. Какова вероятность того, что машина с неисправной ходовой частью имеет также неисправный мотор.

Решение:

11111111 8 с неисправным мотором

5 с неипр ходов частью 11111 1111111111 10 исправны

11111111111111111111 всего 20

3 с неиспр мотор и ход часть111

P = m/n m-кол-во машин с неисправной ходовой частью и неисправным мотором; m=3

n – кол-во машин с неисправной ходовой частью; n=5

P = 3/5 – вероятность, что машина с неисправной ходовой частью имеет неисправный мотор.

Ответ: 3/5

Ответ: 21/625; 219/625; 247/625

67. В первой бригаде из 8 тракторов 2 требуют ремонта, во второй из 6-1.Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Определить вероятность того, что а)оба исправны, б)хотя бы один исправен, в) только один исправен

a)P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

б)P(A) = 1-P(--- A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

в) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них выделено 3 премии. Определить вероятность того, что премию получат: а) двое мужчин и одна женщина; б) только женщины; в) хотя бы один мужчина.

Решение: а) A-1 мужчина

B- 2 мужчины

С- 1 женщина

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154

б) A-1 женщина

B-2 женщины

С-3 женщины

P(A) = 8/20 ; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049

в) A-хотя бы 1 мужчина

A все женщины

P(A)=1- P(--- A)

P(--- A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049

69. Из 25 работников, предприятия 10 имеют высшее образование: Определить вероятность того, что из случайно отобранных трех человек высшее образование имеют; а) три человека; б) один человек; в) хотя бы один человек.

Решение:

70. На карточках написаны буквы «К», «А», «Р», «Т», «О», «Ч», «К», «А». Карточки перемешивают и кладут в порядке их вытаскивания. Какова вероятность того, что получится: а) слово «КАРТОЧКА»; б) слово «КАРТА»; в) слово «ТОК».

71. В коробке из 25 изделий 15 повышенного качества. Наудачу извлекается 3 изделия. Определить вероятность того, что: а) одно из них повышенного качества; б) все три изделия повышенного качества; в) хотя бы одно изделие повышенного качества.

Решение:

72. Бросается три игральных кости. Какова вероятность того, что: а) хотя бы на одной из них появится 5 очков; б) на всех выпадут нечетные цифры; в) на всех костях выпадут одинаковые цифры

73. В первом ящике из 6 шаров 4 красных и 2 черных, во втором ящике из 7 шаров 2 красных и 5 черных. Из первого ящика во второй, переложили один шар, затем из второго в первый переложили один шар. Найти вероятность того, что шар извлеченный после этого из первого ящика - черный.

74. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием 0,1, вторым 0,15. а)Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется не стандартным, б) Взятое изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность, что оно выпущено на втором предприятии.

Решение:

75. Имеется три урны. В первой 3 белых и 2 черных шара, во второй и третьей по 4 белых и 3 черных шара. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар взят из третьей урны?

Решение: P(H1) = 1/3; P(H2) =1/3; P(H3) = 1/3.

P(A) – вероятность вытащить белый шар.

Если выбирается 1ая урна P(A/H1) = 3/5

2ая P(A/H2) = 4/7

3я P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Ответ: 1/3

76. Семена для посева в хозяйство поступают из трех семеноводческих хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40 % всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства 90%, второго 85%, третьего 95%. а) Определить вероятность того, что наудачу "взятое семя не взойдет, б) Наудачу взятое семя не взошло. Какова вероятность, что оно получено от второго хозяйства?

77. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.

Решение: H1-выбор студента который выучил все, H2 – выбор студента, который выучил 25 вопросов, H3 – выбор студента, который выучил 20 вопросов, H4 – выбор студента, который выучил 10 вопросов.

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-те кто выучил все вопросы, n- все студенты.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(A/H1) = 1 – Вероятность того, что студент, который выучил всё,ответил на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – вероятность того, что студент ответит на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – вероятность того, что студент, который выучил 20 вопросов ответит на 2 вопроса билета.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – вероятность того, что студент, который выучил 10 вопросов, ответит на 2 вопроса билета.

Используя формулу полной вероятности найдем вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на 2 вопроса билета:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Ответ: 5/6

78. Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки 99%, необработанных 85%. А) Какова вероятность того, что случайно взятое семя взойдет? Б) Случайно взятое семя взошло. Какова вероятность того,что оно выращено из обработанного семени?

Решение : H1-обработанные семена, H2 – необработанные семена, A – семя взошло.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0,95 ; P(H2) = 0,05

P(A/H1) = 0,99 –веротность того,что случайно взятое семя взойдет,если оно обработано.

P(A/H2) = 0,85 – Вероятность того,что случайно взятое семя взойдет, если оно необработанно.

А) по формуле полной вероятности найдем вероятность, что случайно взятое семя взойдет:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P(A/H2)

P(A) = 0,95* 0,99 + 0,05*0,85 = 0,9405 +0,0425 = 0,983

Ответ: 0,983

79. В магазин поступают телевизоры четырех заводов. Вероятность того, что в течение года телевизор не будет иметь неисправность, равна: для первого завода 0,9, для второго 0,8, для третьего 0,8 и для четвертого 0,99. Случайно выбранный телевизор в течение года вышел из - строя. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?

80. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, втором 0,6 и третьем 0,8. Определить вероятность того, что покупатель купит товар в каком-то магазине. Покупатель купил товар. Найти вероятность того, что он купил его во втором магазине.

Ответ: 0,7157

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,75, второго 0,85,
третьего 0,95. Найти вероятность того, что а) откажут два станка, б) все три станка будут работать безотказно,в) хотя бы один станок откажет в работе.

3. Из колоды содержащей 52 карты вынимается наугад 3. Найти вероятность того, что это тройка, семёрка и туз.

4. Найти вероятность того, что абонемент наберет правильный двухзначный номер, если он знает, что данный номер не делится на 5

Решение: P(A) = m/n; m=1/

Посчитаем общее количество двухзначных чисел. Оно равно 90 и вычтем из этих чисел те которые делятся на 5 (10,15,20,25…90,95). Их количество равно 18 => n=90-18=72

Ответ: 1/72

5. Игральная кость подброшена 2 раза: а) Найти вероятность того, что сумма очков на верхних гранях составит 7.б)найти вероятность того, что хотя бы 2 очка появится при одном подбрасывание.

Решение: P(A)=m/n

а) P(A)=6/36 =1/6

б) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. В урне имеется 5 черных и 7 красных шаров. Последовательно (без возвращения) извлекается три шара. Найти вероятность того, что а)все три шара будут красными, б)три шара красными или черными.

Решение: C m n = n! / m!(n-m)!

C 3 12 = 220 - вариантов вытащить три шара.

а) Вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами.

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами, и 3 черных из 5 =>

С 3 5 способами.

m = C 3 7 + С 3 5 = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Ответ: а) P(A) = 7/44 ; б) P (A2) = 9/44

В группе из 15 человек 6 человек занимаются спортом. Найти вероятность того, что из случайно отобранных 7 человек 5 человек занимаются спортом.

Решение: P(A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7!*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = (5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0,03

Ответ: 0,3.

Мышь может выбрать наугад один из 5 лабиринтов. Известно, что вероятность ее выхода из различных лабиринтов за 3 минута равны 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Пусть оказалось, что мышь выбралась из лабиринта за 3 минуты. Какова вероятность того, что она выбрала первый лабиринт? Второй лабиринт?

Решение: Изначально вероятности выбора лабиринта мышью равны:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – вероятность выбора 1,2,3,4,5 лабиринт соответственно.

A – выход из лабиринта.

P(A/H1) = 0,5 – Вероятность выхода мыши из 1 лабиринта

P(A/H2) = 0,6 – из 2 лабиринта.

P(A/H3) =0,2 –из 3 лабиринта

P(A/H4) = 0,1 –из 4 лабиринта

P(A/H5) = 0,1 – из 5 лабиринта

По формуле полной вероятности:

P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) +P(H3)P(A/H3) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0,5+0,6+0,2+0,1+0,1)=1/5*1,5=1,5*3/2 = 3/10 –вероятность выхода мыши из лабиринта за 3 минуты.

А)Найдем вероятность того,что мышь выбрала первый лабиринт(по формуле Бэйеса):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /(3/10) = 1/10*10/3 = 1/3

Б) Найдем вероятность того,что мышь выбрала второй лабиринт(по формуле Бэйеса)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3/25* 10/3 = 10/25 = 2/5

Ответ: 1/3; 2/5

9. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что из 5 билетов выигрышным является один.

10. В сентябре вероятность дождливого дня 0,3. Команда «Статистик» выигрывает в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый день эта вероятность равна 0,3. Известно, что в сентябре они выиграли некоторую игру.Какова вероятность, что в тот день: а) шел дождь; б) был ясный день.

11. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7, вторым - 0,5, третьим -0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.

Решение:

В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартных, во втором 30 деталей, из них 25 стандартных, в третьем 10 деталей, из них 8 стандартных. Из случайно взятого ящика наудачу взята одна деталь, которая оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она взята из второго ящика.

Решение: P(H i) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39

13. На каждой из пяти одинаковых карточек написана одна из следующих букв: А, Е, Н, С, Т. Карточки
перемешаны. Определить вероятность того, что из вынутых и положенных в ряд карточек а) можно составить
слово «СТЕНА», б) из трех карточек можно составить слово «НЕТ».

Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,46, второго 0,6.

Решение:

Пусть B ни одного попадания

A1 – попадания при 1-ом выстреле.

А2 – попадание при 2-ом выстреле.

P(B) = -- А1 - А2 = 0,54* 0,4 = 0,216

Тогда С - хотя бы одно попадание.

P(C)= 1 - 0,216 = 0,784

Ответ: 0,784

Имеется 3 урны. В первой урне 6 черных и 4 белых, во второй 5 белых и 5 черных, в третьей 7 белых и 3 черных. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что выбрана вторая урна.

Решение:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Ответ: 15/48 = 0,3125

16. Монета подбрасывается 3 раза. Найти вероятность того, что герб появится: а) все 3 раза, б) только один раз, в)хотя бы один раз

Решение:

17. На отдельных карточках написаны цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все карточки перемешиваются, после чего наугад берут 5 карточек и раскладывают их в ряд. Определить вероятность того, что будет получено число 1 2 0 3 5. (Задачу решить, используя определение вероятности события и теоремы теории вероятностей)

Три известных экономиста одновременно предложили свои теории, которые считались равновероятными. После наблюдения над состоянием экономики оказалось, что вероятность того развития, которое она получила на самом деле в соответствии с первой теорией равна 0,5; со второй – 0,7; с третьей – 0,4. Каким образом это изменят вероятности правильности трех теорий.

Решение:

P(A/H1)=0,5; P(A/H2)=0,7; P(A/H3)=0,4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

В Магазине продается 4 магнитофона. Вероятность того, что они выдержат гарантийный срок, соответственно равны: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Найти вероятность того, что взятый найдачу магнитофон выдержит гарантийный срок.

Решение: Вероятность покупки 1магнитофон –1/4 ; 2 – 1/4; 3 – 1/4 ; 4 –1/4.

P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925

Ответ: P(A) = 0,925

Когда бросается монета, можно сказать, что она упадет орлом вверх, или вероятность этого составляет 1/2. Конечно, это не означает того, что если монета подбрасывается 10 раз, она обязательно упадет вверх орлом 5 раз. Если монета является "честной" и если она подбрасывается много раз, то орел выпадет очень близко в половине случаев. Таким образом, существует два вида вероятностей: экспериментальная и теоретическая .

Экспериментальная и теоретическая вероятность

Если бросить монетку большое количество раз - скажем, 1000 - и посчитать, сколько раз выпадет орел, мы можем определить вероятность того, что выпадет орел. Если орел выпадет 503 раза, мы можем посчитать вероятность его выпадения:
503/1000, или 0,503.

Это экспериментальное определение вероятности. Такое определение вероятности вытекает из наблюдения и изучения данных и является довольно распространенным и очень полезным. Вот, к примеру, некоторые вероятности которые были определены экспериментально:

1. Вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы составляет 1/11.

2. Если вы целуетесь, с кем-то, кто болен простудой, то вероятность того, что вы тоже заболеете простудой, составляет 0,07.

3. Человек, который только что был освобожден из тюрьмы, имеет 80% вероятности возвращения назад в тюрьму.

Если мы рассматриваем бросание монеты и беря во внимание то, что столь же вероятно, что выпадет орел или решка, мы можем вычислить вероятность выпадение орла: 1 / 2. Это теоретическое определение вероятности. Вот некоторые другие вероятности, которые были определены теоретически, с помощью математики:

1. Если находится 30 человек в комнате, вероятность того, что двое из них имеют одинаковый день рождения (исключая год), составляет 0,706.

2. Во время поездки, Вы встречаете кого-то, и в течение разговора обнаруживаете, что у вас есть общий знакомый. Типичная реакция: "Этого не может быть!". На самом деле, эта фраза не подходит, потому что вероятность такого события достаточно высока - чуть более 22%.

Таким образом, экспериментальная вероятность определяются путем наблюдения и сбора данных. Теоретические вероятности определяются путем математических рассуждений. Примеры экспериментальных и теоретических вероятностей, как например, рассмотренных выше, и особенно тех, которые мы не ожидаем, приводят нас, к ваэности изучения вероятности. Вы можете спросить: "Что такое истинная вероятность?" На самом деле, таковой нет. Экспериментально можно определить вероятности в определенных пределах. Они могут совпадать или не совпадать с вероятностями, которые мы получаем теоретически. Есть ситуации, в которых гораздо легче определить один из типов вероятности, чем другой. Например, было бы довольно найти вероятность простудиться, используя теоретическую вероятность.

Вычисление экспериментальных вероятностей

Рассмотрим сначала экспериментальное определение вероятности. Основной принцип, который мы используем для вычисления таких вероятностей, является следующим.

Принцип P (экспериментальный)

Если в опыте, в котором проводится n наблюдений, ситуация или событие Е происходит m раз за n наблюдений, то говорят, что экспериментальная вероятность события равна P (E) = m/n.

Пример 1 Социологический опрос. Было проведено экспериментальное исследование, чтобы определить количество левшей, правшей и людей, у которых обе руки развиты одинаково Результаты показаны на графике.

a) Определите вероятность того, что человек - правша.

b) Определите вероятность того, что человек - левша.

c) Определите вероятность того, что человек одинаково свободно владеет обеими руками.

d) В большинстве турниров, проводимых Профессиональной Ассоциацией Боулинга, участвуют 120 игроков. На основании данных этого эксперимента, сколько игроков могут быть левшой?

Решение

a)Число людей, являющиеся правшами, составляет 82, количество левшей составляет 17, а число тех, кто одинаково свободно владеет двумя руками - 1. Общее количество наблюдений - 100. Таким образом, вероятность того, что человек правша, есть Р
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятность того, что человек левша, есть Р, где
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятность того, что человек одинаково свободно владеет двумя руками составляет P, где
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

d) 120 игроков в боулинг, и из (b) мы можем ожидать, что 17% - левши. Отсюда
17% от 120 = 0,17.120 = 20,4,
то есть мы можем ожидать, что около 20 игроков являются левшами.

Пример 2 Контроль качества . Для производителя очень важно держать качество своей продукции на высоком уровне. На самом деле, компании нанимают инспекторов контроля качества для обеспечения этого процесса. Целью является выпуск минимально возможного количества дефектных изделий. Но так как компания производит тысячи изделий каждый день, она не может позволить себе проверять каждое изделие, чтобы определить, бракованное оно или нет. Чтобы выяснить, какой процент продукции являются дефектным, компания проверяет гораздо меньше изделий.
Министерство сельского хозяйства США требует, чтобы 80% семян, которые продают производители, прорастали. Для определения качества семян, которые производит сельхозкомпания, высаживается 500 семян из тех, которые были произведены. После этого подсчитали, что 417 семян проросло.

a) Какова вероятность того, что семя прорастет?

b) Отвечают ли семена государственным стандартам?

Решение a) Мы знаем, что из 500 семян, которые были высажены, 417 проросли. Вероятность прорастания семян Р, и
P = 417/500 = 0,834, или 83.4%.

b) Так как процент проросших семян превысил 80% по требованию, семена отвечают государственным стандартам.

Пример 3 Телевизионные рейтинги. Согласно статистических данных, в Соединенных Штатах 105 500 000 домохозяйств с телевизорами. Каждую неделю, информация о просмотре передач собирается и обрабатывается. В течение одной недели 7815000 домохозяйств были настроены на популярный комедийный сериал "Все любят Реймонда" на CBS и 8302000 домохозяйств были настроены на популярный сериал «Закон и порядок» на NBC (Источник: Nielsen Media Research). Какова вероятность того, что телевизор одного дома настроен на «Everybody Loves Raymond" в течение данной недели? на «Закон и порядок»?

Решениеn Вероятность того, что телевизор в одном домохозяйстве настроен на "Все любят Реймонда" равна Р, и
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Возможность, что телевизор домохозяйства был настроен на «Закон и порядок» составляет P, и
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Эти проценты называются рейтингами.

Теоретическая вероятность

Предположим, что мы проводим эксперимент, такие, как бросание монетки ли дротиков, вытаскивание карты из колоды, или проверка изделий на качество на сборочной линии. Каждый возможный результат такого эксперимента называется исход . Множество всех возможных исходов называется пространством исходов . Событие это множество исходов, то есть подмножество пространства исходов.

Пример 4 Бросание дротиков. Предположим, что в эксперименте «метание дротиков» дротик попадает в мишень. Найдите каждое из нижеследующих:

b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы это: попадание в черное (Ч), попадание в красное (К) и попадание в белое (Б).

b) Пространство исходов есть {попадание в черное, попадание в красное, попадание в белое}, которое может быть записано просто как {Ч, К, Б}.

Пример 5 Бросание игральных костей. Игральная кость это куб с шестью гранями, на каждой их которых нарисовано от одной до шести точек.


Предположим, что мы бросаем игральную кость. Найдите
a) Исходы
b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Мы обозначаем вероятность того, что событие Е случается в качестве Р (Е). Например, "монета упадет решкой" можно обозначать H. Тогда Р (Н) представляет собой вероятность того, монета упадет решкой. Когда все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность появления, говорят, что они равновероятны. Чтобы увидеть различия между событиями, которые равновероятны, и неравновероятными событиями, рассмотрим мишень, изображенную ниже.

Для мишени A, события попадания в черное, красное и белое равновероятны, так как черные, красные и белые сектора - одинаковые. Однако, для мишени B зоны с этими цветами не одинаковы, то есть попадание в них не равновероятно.

Принцип P (Теоретический)

Если событие E может случиться m путями из n возможных равновероятных исходов из пространства исходов S, тогда теоретическая вероятность события, P(E) составляет
P(E) = m/n.

Пример 6 Какая вероятность выкинуть 3, бросив игральный кубик?

Решение На игральном кубике 6 равновероятных исходов и существует только одна возможность выбрасивания цифры 3. Тогда вероятность P составит P(3) = 1/6.

Пример 7 Какая вероятность выбрасывания четной цифры на игральном кубике?

Решение Событие - это выбрасывание четной цифры. Это может случиться 3 способами (если выпадет 2, 4 или 6). Число равновероятных исходов равно 6. Тогда вероятность P(четное) = 3/6, или 1/2.

Мы будем использовать ряд примеров, связанных со стандартной колодой из 52 карт. Такая колода состоит из карт, показанных на рисунке ниже.

Пример 8 Какая вероятность вытянуть туза из хорошо перемешанной колоды карт?

Решение Существует 52 исхода (количество карт в колоде), они равновероятны (если колода хорошо перемешана), и есть 4 способа вытянуть туза, поэтому согласно принципу P, вероятность
P(вытягивания туза) = 4/52, или 1/13.

Пример 9 Предположим, что мы выбираем не глядя, один шарик из мешка с 3-мя красными шариками и 4-мя зелеными шариками. Какова вероятность выбора красного шарика?

Решение Существует 7 равновероятных исходов достать любой шарик, и так как число способов вытянуть красный шарик равно 3, получим
P(выбора красного шарика) = 3/7.

Следующие утверждения - это результаты из принципа P.

Свойства вероятности

a) Если событие E не может случиться, тогда P(E) = 0.
b) Если событие E случиться непременно тогда P(E) = 1.
c) Вероятность того, что событие Е произойдет это число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, в бросании монеты, событие, когда монета упадет на ребро имеет нулевую вероятность. Вероятность того, что монета либо на орел или решку имеет вероятность 1.

Пример 10 Предположим, что вытягиваются 2 карты из колоды с 52-мя картами. Какова вероятность того, что обе из них пики?

Решение Число путей n вытягивания 2 карт из хорошо перемешанной колоды с 52 картами есть 52 C 2 . Так как 13 из 52 карт являются пиками, число способов m вытягивания 2-х пик есть 13 C 2 . Тогда,
P(вытягивания 2-х пик)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Пример 11 Предположим, что 3 человека выбираются случайно из группы, состоящей из 6-ти мужчин и 4-х женщин. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 мужчина и 2 женщины?

Решение Число способов выбора троих человек из группы 10 человек 10 C 3 . Один мужчина может быть выбран 6 C 1 способами, и 2 женщины могут быть выбраны 4 C 2 способами. Согласно фундаментальному принципу подсчета, число способов выбора 1-го мужчины и 2-х женщин 6 C 1 . 4 C 2 . Тогда, вероятность что будет выбраны 1-го мужчины и 2-х женщин есть
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Пример 12 Бросание игральных кубиков. Какая вероятность выбрасывания в сумме 8 на двух игральных кубиках?

Решение На каждом игральном кубике есть 6 возможных исходов. Исходы удваиваются, то есть существует 6.6 или 36 возможных способа, в котором могут выпасть цифры на двух кубиках. (Лучше, если кубики разные, скажем один красный а второй голубой - это поможет визуализировать результат.)

Пары цифр, в сумме составляющие 8, показаны на рисунке внизу. Есть 5 возможных способов получения суммы, равной 8, отсюда вероятность равна 5/36.

Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

• достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
• невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
• случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

• Равновозможными.
• Совместимыми.
• Несовместимыми.
• Противоположными (взаимоисключающими).
• Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

• Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
• Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
• Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
• Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
• Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
• Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
• Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

• A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
• B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
• C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

1. Бубновая.
2. Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.

Что такое вероятность?

Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.

Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

1. Ты позвонил в 1ю дверь
2. Ты позвонил в 2ю дверь
3. Ты позвонил в 3ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.

Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .

Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.

Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:

Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1) Позвонить в 1-ую дверь
2) Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а) Друг за 1-ой дверью
б) Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.

А почему не?

Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.

Хрестоматийный пример - бросание монетки.

1. Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
2. Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.

И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .

Отличить зависимые события от независимых легко:

1. Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
2. Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.

Давай немного потренируемся определять вероятность.

Пример 1.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты:

1. Орел-орел
2. Орел-решка
3. Решка-орел
4. Решка-решка

Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:

Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.

Ответ:

Пример 2.

В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.

Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.

Решение:

Сколько всего возможных исходов? .

То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.

А сколько благоприятных исходов?

Потому что в коробке только конфет с орехами.

Ответ:

Пример 3.

В коробке шаров. из них белые, - черные.

1. Какова вероятность вытащить белый шар?
2. Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?

Решение:

а) В коробке всего шаров. Из них белых.

Вероятность равна:

б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .

Ответ:

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?

Вероятность вытащить красный шар

Зеленый шар:

Красный или зеленый шар:

Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.

Пример 4.

В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.

Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?

Решение:

Давай посчитаем количество благоприятных исходов.

НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.

Вероятность всех событий. А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) - .

Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер - .

Ответ:

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали - .

А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?

Всего возможных вариантов:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.

Какова вероятность выпадения раз подряд орла?

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка - , орла - .

Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:

Можешь проверить сам, составив таблицу.

Правило сложения вероятностей несовместных событий.

Так стоп! Новое определение.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Всего вариантов, нам подходит.

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:

Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?

Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.

В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?

Решение:

Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).

Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:

Ответ:

Пример 6.

Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?

Решение.

Как мы можем получить очков?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятность выпадения одной (любой) грани - .

Считаем вероятность:

Ответ:

Тренировка.

Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.

Задачи:

Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.

1. Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
2. Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
3. Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
4. Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
5. Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.

Ответы:

1. В колоде карты каждого достоинства, значит:
2. События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»). Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально, а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:

   Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже карта, из них картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:

   Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:

   Ответ:

3. После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
   1) Первой картой вытаскиваем Туза, второй - валета, даму или короля
   2) Первой картой вытаскиваем валета, даму или короля, второй - туза.Т.е. (туз и (валет или дама или король)) или ((валет или дама или король) и туз). Не забываем про уменьшение количества карт в колоде!

Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.

В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).

Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.

А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).

Определение:

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. темы и ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.

А в процентах: .

Примеры (реши сам):

1. С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
2. С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
3. В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?

Решения:

1. Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность

   С решкой то же самое: .

2. Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
   Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое.
3. Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .

Полная вероятность

Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).

Такое событие называется невозможным .

А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.

Такое событие называется достоверным .

Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .

В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.

Пример:

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?

Решение:

Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.

Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Независимые события и правило умножения

Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?

Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?

Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.

Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).

Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :

Вероятности независимых событий переменожаются.

Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.

Еще примеры:

1. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
2. Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
3. Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?

Ответы:

1. События независимы, значит, работает правило умножения: .
2. Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
3. 12 может получиться только, если выпадут две -ки: .

Несовместные события и правило сложения

Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.

Пример.

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?

Решение .

Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .

Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.

Эту же вероятность можно представить в таком виде: .

Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.

Задачи смешанного типа

Пример.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?

Решение .

Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.

Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:

Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).

Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:

Попробуй сам:

1. С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?

Решения:

1. (Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): .
2. Какие есть варианты? и. Тогда:
   Выпало (и) или (и) или (и): .

Еще пример:

Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?

Решение:

Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу ? Это же просто: все время летят решки, значит.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Независимые события

Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий

Несовместные события

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Вероятности несовместных событий складываются.

Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Условия их приобретения изложены здесь:

Кликните , приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

23. В ящике содержатся деталей, изготовленных на заводе 1, деталей - на заводе 2 и деталей - заводе 3. Вероятности изготовления брака на заводах с номерами 1, 2 и 3 соответственно равны, и. Найдите вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется качественной.

Hi- гипотеза, что деталь изготовлена на i заводе

P(Hi)-вероятность того, что деталь изготовлена на 1 заводе

24. В урну, содержащую шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном количестве белых шаров в урне.

Hi-первоначально в урне i белых шаров

А- событие, сост, в том, что извлечен белый шар

25. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй - 6 белых и 9 черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар - белый?

26. С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает деталей, со 2-го и 3-го - по и соответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно, и. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной, а также вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что она оказалась бракованной.

27. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 23 белых шара, во втором - 9 белых и 14 черных шаров, в третьем - 23 черных шара. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность того, что шар вынут из второго ящика.

28. В среднем из 100 клиентов банка 53 обслуживаются первым операционистом и 47 - вторым. Вероятности того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет и соответственно для первого и второго служащих банка. Какова вероятность, что клиент, для обслуживания которого потребовалась помощь заведующего, был направлен к первому операционисту?

n1-1-ый операционист

n2-2-ой операционист

А-событие, сост. в том, что, что потребуется помощь заведующего

29. Имеется 13 монет, из которых 3 штуки бракованные: вследствие заводского брака на этих монетах с обеих сторон отчеканен герб. Наугад выбранную монету, не разглядывая, бросают 9 раз, причем при всех бросаниях она ложится гербом вверх. Найдите вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами.

H1-монета хорошая

H2 - бракованная монета

А-событие, состю в том, что при всех бросании монета легла гербом

30. Детали, изготовленные в цехе, попадают к одному из 2-х контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к 1-му контролёру, равна 0,8; ко 2-му - 0,2. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной 1-м контролёром равна 0,96; 2-м контролёром - 0,98. Годная деталь при проверке оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что эту деталь проверял 1-й контролёр.

31. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс (А,B,C). Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно 0,4;0,5 и 0,1. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира, имеющиеся в кассе билеты распроданы равны соответственно 0,4; 0,3 и 0,1. Найдите вероятность того, что билет куплен. В какой из касс это могло произойти с наибольшей вероятностью?

32. В первой урне белых и черных шаров, во второй - белых и черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар, который оказывается белым. Какова вероятность того, что два шара, переложенные из второй урны в первую, были разных цветов?

Схема Бернулли. Числа. Наиболее вероятное число успехов

33. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна. Сделано выстрелов. Найдите вероятность того, что в цель попали менее трех раз.

34. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно, точек последовательно бросают случайным образом на этот отрезок. Найдите вероятность того, что количество точек, попавших на отрезок длины будет больше или меньше.

М-событие, сост. в том, что на отрезок АС попало не менее 2 точек

М с чертой - событие, сост. в том, что попало 2 точки

Р - вероятность попадания на АС при 1 бросании

35. Вероятность попадания стрелком в цель равна. Сделано выстрелов. Определите наивероятнейшее число попаданий в цель.

Схема Бернулли. Приближенные формулы Лапласа и Пуассона

36. Вероятность выпуска бракованного изделия равна. Найдите вероятность того, что среди выпущенных изделий ровно изделий без брака.

37. Вероятность выпуска бракованного изделия равна. Найдите вероятность того, что среди выпущенных изделий будет хотя бы одно, но не более бракованных изделий.

38. Всхожесть семян данного растения равна. Найдите вероятность того, что из посаженных семян число проросших семян заключено между и.

39. Прядильщица обслуживает веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна. Найдите вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет более чем на веретенах.

Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна. Какова вероятность того, что на базу поступят некачественных изделия?

• 40. При введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается в случаях. Определите вероятность того, что из вакцинированных детей заболеют.
• 2. Дискретные случайные величины

Закон распределения случайной величины

41. Случайная величина принимает только целые значения. При этом вероятности возможных значений пропорциональны значениям: . Найдите значение константы и вероятность.

Независимые дискретные случайные величины

• 43. Независимые дискретные случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность.
• 44. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность.
• 45. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность.
• 46. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность.
• 47. Независимые случайные величины и принимают только целые значения: - от до, - от до. Найдите, если известно, что возможные значения и равновероятны.
• 48. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите.
• 49. Независимые случайные величины принимают только целые значения от до. Найдите вероятность, если известно, что все возможные значения равновероятны.

50. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность того, что примут разные значения.

51. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью, - от до с вероятностью, - от до с вероятностью. Найдите вероятность.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

52. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание и вероятность.

53. Дискретная случайная величина принимает только целые значения, каждое с вероятностью. Найдите математическое ожидание и вероятность.

54. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение и вероятность.

56. Для случайной величины известно, что. Найдите дисперсию.

57. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и. При этом, . Найдите математическое ожидание.

59. Дискретные случайные величины распределены по закону, заданному таблицей

63. Независимые случайные величины могут принимать только значения и. При этом, . Найдите математическое ожидание.

64. Вероятность выигрыша рублей в одной партии равна, вероятность проигрыша рублей равна. Найдите дисперсию капитала игрока после партий.

Основные дискретные законы распределения и их характеристики

65. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых и соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросают точек. Пусть случайная величина - число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание и дисперсию.

66. Производится независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются монет. Пусть - число испытаний, в которых выпало герба. Найдите математическое ожидание.

Число испытаний, в которых выпало герба.

• 67. Случайные величины распределены по биномиальному закону с параметрами и. Найдите математическое ожидание.
• 68. Случайные величины независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами и. Найдите математическое ожидание.

69. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно. Наудачу точек последовательно бросают на отрезок. - случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины. Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины.

70. Производится независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются игральные кости. Пусть - число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались. Найдите дисперсию.

71. Производится независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Пусть - число успехов в испытаниях с номерами, - число успехов в испытаниях с номерами. Найдите дисперсию.

U- число успехов в испытаниях с номерами 1,2,3,4

V- число успехов в испытаниях с номерами 5,6,7

W- число успехов в испытаниях с номерами 8.9.10.

Каждая из величин имеет биномиальное распределение

72. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых и соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина - число бросаний. Найдите математическое ожидание и дисперсию.

Геометрическое распределение

73. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается палаток и рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).

T-время ожидания

T1, T2-независимы

Т1-время ожидания 1-го выигрыша

Т2-время ожидания др. выигрыша

74. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события в одном испытании равна. Пусть - время ожидания наступления события раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание и дисперсию.

Ti-время ожидания от (i-1)-ого до i-ого события

Геометрическое распределение

75. Случайные величины распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.

• 76. Случайные величины независимы и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.
• 77. Случайные величины распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию, если их математические ожидания равны, а коэффициент корреляции и равен.

78. Случайная составляющая выручки равна, где - биномиальная случайная величина с параметрами и. Случайная составляющая затрат имеет вид, где - пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что и - независимы, а.

79. Для пуассоновской случайной величины отношение. Найдите математическое ожидание.

Ковариация и коэффициент корреляции

80. Даны математические ожидания случайных величин и: , их дисперсии, и ковариация Cov. Найдите математическое ожидание и дисперсию.

• 81. Случайные величины принимают только значения и. Найдите дисперсию, если вероятности, а коэффициент корреляции и равен.
• 82. Для случайных величин даны их математические ожидания и дисперсии, а также коэффициент корреляции. Найдите математическое ожидание.
• 83. Случайные величины распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.
• 84. Случайные величины независимы и распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.

85. Случайные величины распределены по закону Пуассона. Найдите, если и, а коэффициент корреляции и равен.

3. Непрерывные случайные величины

Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины

86. Случайная величина имеет функцию распределения. Найдите плотность вероятности случайной величины.

87. Случайная величина имеет функцию распределения. Найдите плотность вероятности случайной величины.

88. Случайная величина имеет функцию распределения. Найдите плотность вероятности случайной величины.

• 89. Распределение непрерывной случайной величины задано плотностью вероятности. Найдите плотность вероятности случайной величины.
• 90. Случайная величина имеет плотность вероятности. Найдите плотность вероятности случайной величины.
• 91. Случайная величина имеет плотность вероятности Найдите константу и вероятность.

92. Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид. Найдите константу и вероятность.

93. Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид. Найдите константу и вероятность.

94. Плотность вероятности случайной величины имеет вид. Найдите и.

Равномерное распределение на отрезке

95. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите вероятность.

• 96. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите вероятность.
• 97. Случайные величины независимы и равномерно распределены на отрезке. Найдите математическое ожидание.

98. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке Найдите коэффициент корреляции случайных величин и

• 99. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите математическое ожидание.
• 100. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите дисперсию.
• 101. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите.
• 102. Случайная величина равномерно распределена на отрезке. Найдите.
• 103. Найдите математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайных величин и с равномерными законами распределения: - на отрезке, - на отрезке.
• 104. Случайные величины и независимые и равномерно распределены на отрезках: - на отрезке, - на отрезке. Найдите.

Показательное распределение

105. Случайные величины и независимые и распределены по показательному закону, причём, . Найдите.

106. Случайные величины независимы и распределены по показательному закону. Найдите, если.

• 107. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание, если дисперсия.
• 108. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание, если дисперсия.
• 109. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите вероятность, если.

Нормальное распределение на прямой

110. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность.

• 111. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и. Найдите вероятность попадания в интервал.
• 112. Для нормальной случайной величины известно, что математическое ожидание и вероятность Найдите дисперсию.
• 113. Для нормальной случайной величины известно, что дисперсия и вероятность. Найдите математическое ожидание.
• 114. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность.

115. Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величин равны 1. Найдите вероятность.

• 116. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность.
• 117. Для независимых нормальных случайных величин, известны их математические ожидания и дисперсии: , . Найдите вероятность.
• 118. Независимые нормальные случайные величины имеют одинаковые параметры: , . Для случайной величины найдите вероятность.

119. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность.

• 120. Случайные величины и независимые и распределены по нормальному закону, причём, . Найдите.
• 4. Случайные векторы

Двумерные дискретные случайные векторы

121. Найдите распределение случайной величины и, если известно распределение случайного дискретного вектора:

Для случайного дискретного вектора, распределенного по закону выясните, зависимы или нет события и.

выясните, зависимы или нет события и.

125. Найдите распределение случайной величины и, если известно распределение дискретного случайного вектора: