В прошлом уроке мы с вами успешно освоили (или повторили – кому как) ключевые понятия всей тригонометрии. Это тригонометрический круг , угол на круге , синус и косинус этого угла , а также освоили знаки тригонометрических функций по четвертям . Освоили подробно. На пальцах, можно сказать.
Но этого пока мало. Для успешного практического применения всех этих простых понятий нам необходим ещё один полезный навык. А именно – правильная работа с углами в тригонометрии. Без этого умения в тригонометрии – никак. Даже в самых примитивных примерах. Почему? Да потому, что угол – ключевая действующая фигура во всей тригонометрии! Нет, не тригонометрические функции, не синус с косинусом, не тангенс с котангенсом а именно сам угол . Нет угла – нету и тригонометрических функций, да…
Как правильно работать с углами на круге? Для этого нам надо железно усвоить два пункта.
1) Как отсчитываются углы на круге?
2) В чём они считаются (измеряются)?
Ответ на первый вопрос – и есть тема сегодняшнего урока. С первым вопросом мы детально разберёмся прямо здесь и сейчас. Ответ на второй вопрос здесь не дам. Ибо достаточно развёрнутый он. Как и сам второй вопрос очень скользкий, да.) Вдаваться в подробности пока не буду. Это – тема следующего отдельного урока.
Приступим?
Как отсчитываются углы на круге? Положительные и отрицательные углы.
У прочитавших название параграфа, возможно, уже волосы встали дыбом. Как так?! Отрицательные углы? Разве такое вообще возможно?
К отрицательным числам мы с вами уже попривыкли. На числовой оси их изображать умеем: справа от нуля положительные, слева от нуля отрицательные. Да и на градусник за окном поглядываем периодически. Особенно зимой, в мороз.) И денежки на телефоне в "минус" (т.е. долг ) иногда уходят. Это всё знакомо.
А что же с углами? Оказывается, отрицательные углы в математике тоже бывают! Всё зависит от того, как отсчитывать этот самый угол… нет, не на числовой прямой, а на числовой окружности! То бишь, на круге. Круг – вот он, аналог числовой прямой в тригонометрии!
Итак, как же отсчитываются углы на круге? Ничего не поделать, придётся нам для начала этот самый круг нарисовать.
Я нарисую вот такую красивую картинку:
Она очень похожа на картинки из прошлого урока. Есть оси, есть окружность, есть угол. Но есть и новая информация.
Также я добавил циферки 0°, 90°, 180°, 270° и 360° на осях. Вот это уже поинтереснее.) Что это за циферки? Правильно! Это значения углов, отсчитанные от нашей неподвижной стороны, которые попадают на координатные оси. Вспоминаем, что неподвижная сторона угла у нас всегда крепко-накрепко привязана к положительной полуоси ОХ. И любой угол в тригонометрии отсчитывается именно от этой полуоси. Это базовое начало отсчёта углов надо держать в голове железно. А оси – они же под прямым углом пересекаются, верно? Вот и прибавляем по 90° в каждой четверти.
И ещё добавлена красная стрелочка. С плюсом. Красная – это специально, чтобы в глаза бросалась. И в память хорошенько врезалась. Ибо это надо запомнить надёжно.) Что же означает эта стрелочка?
Так вот оказывается, если наш угол мы будем крутить по стрелочке с плюсом (против часовой стрелки, по ходу нумерации четвертей), то угол будет считаться положительным! В качестве примера на рисунке показан угол +45°. Кстати, обратите внимание, что осевые углы 0°, 90°, 180°, 270° и 360° также отмотаны именно в плюс! По красной стрелочке.
А теперь посмотрим на другую картинку:
Здесь почти всё то же самое. Только углы на осях пронумерованы в обратную сторону. По часовой стрелке. И имеют знак "минус".) Ещё нарисована синяя стрелочка. Также с минусом. Эта стрелочка – направление отрицательного отсчёта углов на круге. Она нам показывает, что, если мы будем откладывать наш угол по ходу часовой стрелки , то угол будет считаться отрицательным. Для примера я показал угол -45°.
Кстати, прошу заметить, что нумерация четвертей никогда не меняется! Неважно, в плюс или в минус мы мотаем углы. Всегда строго против часовой стрелки.)
Запоминаем:
1. Начало отсчёта углов – от положительной полуоси ОХ. По часам – "минус", против часов – "плюс".
2. Нумерация четвертей всегда против часовой стрелки вне зависимости от направления исчисления углов.
Кстати говоря, подписывать углы на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, каждый раз рисуя круг – вовсе не обязаловка. Это чисто для понимания сути сделано. Но эти циферки обязательно должны присутствовать в вашей голове при решении любой задачи по тригонометрии. Почему? Да потому, что эти элементарные знания дают ответы на очень многие другие вопросы во всей тригонометрии! Самый главный вопрос – в какую четверть попадает интересующий нас угол? Хотите верьте, хотите нет, но правильный ответ на этот вопрос решает львиную долю всех остальных проблем с тригонометрией. Этим важным занятием (распределением углов по четвертям) мы займёмся в этом же уроке, но чуть позже.
Величины углов, лежащих на осях координат (0°, 90°, 180°, 270° и 360°), надо запомнить! Запомнить накрепко, до автоматизма. Причём как в плюс, так и в минус.
А вот с этого момента начинаются первые сюрпризы. И вместе с ними и каверзные вопросы в мой адрес, да...) А что будет, если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным? Выходит, что одну и ту же точку на круге можно обозначить как положительным углом, так и отрицательным???
Совершенно верно! Так и есть.) Например, положительный угол +270° занимает на круге то же самое положение , что и отрицательный угол -90°. Или, например, положительный угол +45° на круге займёт то же самое положение , что и отрицательный угол -315°.
Смотрим на очередной рисунок и всё видим:
Точно так же положительный угол +150° попадёт туда же, куда и отрицательный угол -210°, положительный угол +230° – туда же, куда и отрицательный угол -130°. И так далее…
И что теперь делать? Как именно считать углы, если можно и так и сяк? Как правильно?
Ответ: по-всякому правильно! Ни одно из двух направлений отсчёта углов математика не запрещает. А выбор конкретного направления зависит исключительно от задания. Если в задании ничего не сказано прямым текстом про знак угла (типа "определите наибольший отрицательный угол" и т.п.), то работаем с наиболее удобными нам углами.
Конечно, например, в таких крутых темах, как тригонометрические уравнения и неравенства направление исчисления углов может колоссально влиять на ответ. И в соответствующих темах мы эти подводные камни рассмотрим.
Запоминаем:
Любую точку на круге можно обозначить как положительным, так и отрицательным углом. Любым! Каким хотим.
А теперь призадумаемся вот над чем. Мы выяснили, что угол 45° в точности совпадает с углом -315°? Как же я узнал про эти самые 315 ° ? Не догадываетесь? Да! Через полный оборот.) В 360°. У нас есть угол 45°. Сколько не хватает до полного оборота? Отнимаем 45 ° от 360 ° – вот и получаем 315 ° . Мотаем в отрицательную сторону – и получаем угол -315°. Всё равно непонятно? Тогда смотрим на картинку выше ещё раз.
И так надо поступать всегда при переводе положительных углов в отрицательные (и наоборот) – рисуем круг, отмечаем примерно заданный угол, считаем, сколько градусов не хватает до полного оборота, и мотаем получившуюся разность в противоположную сторону. И всё.)
Чем ещё интересны углы, занимающие на круге одно и то же положение, как вы думаете? А тем, что у таких углов совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс! Всегда!
Например:
Sin45° = sin(-315°)
Cos120° = cos(-240°)
Tg249° = tg(-111°)
Ctg333° = ctg(-27°)
А вот это уже крайне важно! Зачем? Да всё за тем же!) Для упрощения выражений. Ибо упрощение выражений – ключевая процедура успешного решения любых заданий по математике. И по тригонометрии в том числе.
Итак, с общим правилом отсчёта углов на круге разобрались. Ну а коли мы тут заикнулись про полные обороты, про четверти, то пора бы уже покрутить и порисовать эти самые углы. Порисуем?)
Начнём пока с положительных углов. Они попроще в рисовании будут.
Рисуем углы в пределах одного оборота (между 0° и 360°).
Нарисуем, например, угол 60°. Тут всё просто, никаких заморочек. Рисуем координатные оси, круг. Можно прямо от руки, безо всякого циркуля и линейки. Рисуем схематично : у нас не черчение с вами. Никаких ГОСТов соблюдать не надо, не накажут.)
Можно (для себя) отметить значения углов на осях и указать стрелочку в направлении против часов. Ведь мы же в плюс откладывать собираемся?) Можно этого и не делать, но в голове держать всяко надо.
И теперь проводим вторую (подвижную) сторону угла. В какой четверти? В первой, разумеется! Ибо 60 градусов – это строго между 0° и 90°. Вот и рисуем в первой четверти. Под углом примерно 60 градусов к неподвижной стороне. Как отсчитать примерно 60 градусов без транспортира? Легко! 60° – это две трети от прямого угла! Делим мысленно первую чертвертинку круга на три части, забираем себе две трети. И рисуем... Сколько у нас там по факту получится (если приложить транспортир и померить) – 55 градусов или же 64 – неважно! Важно, что всё равно где-то около 60° .
Получаем картинку:
Вот и всё. И инструментов не понадобилось. Развиваем глазомер! В задачах по геометрии пригодится.) Этот неказистый рисунок бывает незаменим, когда надо нацарапать круг и угол на скорую руку, не особо задумываясь о красоте. Но при этом нацарапать правильно , без ошибок, со всей необходимой информацией. Например, как вспомогательное средство при решении тригонометрических уравнений и неравенств.
Нарисуем теперь угол, например, 265°. Прикидываем, где он может располагаться? Ну, ясное дело, что не в первой четверти и даже не во второй: они на 90 и на 180 градусов оканчиваются. Можно сообразить, что 265° - это 180° плюс ещё 85°. То есть, к отрицательной полуоси ОХ (там, где 180°) надо добавить примерно 85°. Или, что ещё проще, догадаться, что 265° не дотягивает до отрицательной полуоси OY (там, где 270°) каких-то несчастных 5°. Одним словом, в третьей четверти будет этот угол. Очень близко к отрицательной полуоси OY, к 270 градусам, но всё-таки в третьей!
Рисуем:
Повторюсь, абсолютная точность здесь не требуется. Пускай в реальности этот угол получился, скажем 263 градуса. Но на самый главный вопрос (какая четверть?) мы ответили безошибочно. Почему этот вопрос самый главный? Да потому, что любая работа с углом в тригонометрии (неважно, будем мы рисовать этот угол или не будем) начинается с ответа именно на этот вопрос! Всегда. Если этот вопрос проигнорировать или пробовать на него ответить мысленно, то ошибки почти неизбежны, да… Оно вам надо?
Запоминаем:
Любая работа с углом (в том числе и рисование этого самого угла на круге) всегда начинается с определения четверти, в которую попадает этот угол.
Теперь, я надеюсь, вы уже безошибочно изобразите углы, например, 182°, 88°, 280°. В правильных четвертях. В третьей, первой и четвёртой, если что…)
Четвёртая четверть заканчивается углом 360°. Это один полный оборот. Ясен перец, что этот угол занимает на круге то же самое положение, что и 0° (т.е. начало отсчёта). Но углы на этом не заканчиваются, да…
Что делать с углами, большими 360°?
"А такие разве бывают?" – спросите вы. Бывают, ещё как! Бывает, например, угол 444°. А бывает, скажем, угол 1000°. Всякие углы бывают.) Просто визуально такие экзотические углы воспринимаются чуть сложнее, чем привычные нам углы в пределах одного оборота. Но рисовать и просчитывать такие углы тоже надо уметь, да.
Для правильного рисования таких углов на круге необходимо всё то же самое – выяснить, в какую четверть попадает интересующий нас угол. Здесь умение безошибочно определять четверть куда более важно, чем для углов от 0° до 360°! Сама процедура определения четверти усложняется всего одним шагом. Каким, скоро увидите.
Итак, например, нам надо выяснить, в какую четверть попадает угол 444°. Начинаем крутить. Куда? В плюс, разумеется! Угол-то нам дали положительный! +444°. Крутим, крутим… Крутанули на один оборот – дошли до 360°.
Сколько там осталось до 444°? Считаем оставшийся хвостик:
444°-360° = 84°.
Итак, 444° - это один полный оборот (360°) плюс ещё 84°. Очевидно, это первая четверть. Итак, угол 444° попадает в первую четверть. Полдела сделано.
Осталось теперь изобразить этот угол. Как? Очень просто! Делаем один полный оборот по красной (плюсовой) стрелке и добавляем ещё 84°.
Вот так:
Здесь я уж не стал загромождать рисунок – подписывать четверти, рисовать углы на осях. Это всё добро уже давно в голове быть должно.)
Зато я "улиткой" или спиралькой показал, как именно складывается угол 444° из углов 360° и 84°. Пунктирная красная линия – это один полный оборот. К которому дополнительно прикручиваются 84° (сплошная линия). Кстати, обратите внимание, что, если этот самый полный оборот отбросить, то это никак не повлияет на положение нашего угла!
А вот это важно! Положение угла 444° полностью совпадает с положением угла 84°. Никаких чудес нет, так уж получается.)
А можно ли отбросить не один полный оборот, а два или больше?
А почему – нет? Если угол здоровенный, то не просто можно, а даже нужно! Угол-то не изменится! Точнее, сам-то угол по величине, конечно же, изменится. А вот его положение на круге – никак нет!) На то они и полные обороты, что сколько экземпляров ни добавляй, сколько ни убавляй, всё равно будешь в одну и ту же точку попадать. Приятно, правда?
Запоминаем:
Если к углу прибавить (отнять) любое целое число полных оборотов, положение исходного угла на круге НЕ изменится!
Например:
В какую четверть попадает угол 1000°?
Никаких проблем! Считаем, сколько полных оборотов сидит в тысяче градусов. Один оборот - это 360°, ещё один – уже 720°, третий - 1080°… Стоп! Перебор! Значит, в угле 1000° сидит два полных оборота. Выбрасываем их из 1000° и считаем остаток:
1000° - 2 ·360° = 280°
Значит, положение угла 1000° на круге то же самое , что и у угла 280°. С которым работать уже гораздо приятнее.) И куда же попадает этот угол? В четвёртую четверть он попадает: 270° (отрицательная полуось OY) плюс ещё десяточка.
Рисуем:
Здесь я уже не рисовал пунктирной спиралькой два полных оборота: уж больно длинная она получается. Просто нарисовал оставшийся хвостик от нуля , отбросив все лишние обороты. Как будто бы их и не было вовсе.)
И ещё раз. По-хорошему, углы 444° и 84°, а также 1000° и 280° – разные. Но для синуса, косинуса, тангенса и котангенса эти углы – одинаковые!
Как вы видите, для того чтобы работать с углами, большими 360°, надо определить, сколько полных оборотов сидит в заданном большом угле. Это и есть тот самый дополнительный шаг, который обязательно надо предварительно проделывать при работе с такими углами. Ничего сложного, правда?
Отбрасывание полных оборотов, конечно, занятие приятное.) Но на практике при работе с совсем уж кошмарными углами случаются и затруднения.
Например:
В какую четверть попадает угол 31240° ?
И что же, будем много-много раз прибавлять по 360 градусов? Можно, если не горит особо. Но мы же не только складывать можем.) Ещё и делить умеем!
Вот и поделим наш большущий угол на 360 градусов!
Этим действием мы как раз и узнаем, сколько полных оборотов запрятано в наших 31240 градусах. Можно уголком поделить, можно (шепну на ушко:)) на калькуляторе.)
Получим 31240:360 = 86,777777….
То, что число получилось дробным – не страшно. Нас же только целые обороты интересуют! Стало быть, до конца делить и не надо.)
Итак, в нашем лохматом угле сидит аж 86 полных оборотов. Ужас…
В градусах это будет 86·360° = 30960°
Вот так. Именно столько градусов можно безболезненно выкинуть из заданного угла 31240°. Останется:
31240° - 30960° = 280°
Всё! Положение угла 31240° полностью идентифицировано! Там же, где и 280°. Т.е. четвёртая четверть.) Кажется, мы уже изображали этот угол ранее? Когда угол 1000° рисовали?) Там мы тоже на 280 градусов вышли. Совпадение.)
Итак, мораль сей басни такова:
Если нам задан страшный здоровенный угол, то:
1. Определяем, сколько полных оборотов сидит в этом угле. Для этого делим исходный угол на 360 и отбрасываем дробную часть.
2. Считаем, сколько градусов в полученном количестве оборотов. Для этого умножаем число оборотов на 360.
3. Отнимаем эти обороты от исходного угла и работаем с привычным углом в пределах от 0° до 360°.
Как работать с отрицательными углами?
Не вопрос! Точно так же, как и с положительными, только с одним единственным отличием. Каким? Да! Крутить углы надо в обратную сторону , в минус! По ходу часовой стрелки.)
Нарисуем, например, угол -200°. Сначала всё как обычно для положительных углов – оси, круг. Ещё синюю стрелочку с минусом изобразим да углы на осях по-другому подпишем. Их, естественно, также придётся отсчитывать в отрицательном направлении. Это будут всё те же самые углы, шагающие через 90°, но отсчитанные в обратную сторону, в минус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.
Картинка станет вот такой:
При работе с отрицательными углами часто возникает чувство лёгкого недоумения. Как так?! Получается, что одна и та же ось – это одновременно, скажем, и +90° и -270°? Неее, что-то тут нечисто…
Да всё чисто и прозрачно! Мы ведь же уже в курсе, что любую точку на круге можно обозвать как положительным углом, так и отрицательным! Совершенно любую. В том числе и на какой-то из координатных осей. В нашем случае нам нужно отрицательное исчисление углов. Вот и отщёлкиваем в минус все углы.)
Теперь нарисовать правильно угол -200° никакого труда не составляет. Это -180° и минус ещё 20°. Начинаем мотать от нуля в минус: четвёртую четверть пролетаем, третью тоже мимо, доходим до -180°. Куда мотать оставшуюся двадцатку? Да всё туда же! По часам.) Итого угол -200° попадает во вторую четверть.
Теперь вы понимаете, насколько важно железно помнить углы на осях координат?
Углы на осях координат (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) надо помнить именно для того, чтобы безошибочно определять четверть, куда попадает угол!
А если угол большой, с несколькими полными оборотами? Ничего страшного! Какая разница, куда эти самые полные обороты крутить – в плюс или в минус? Точка-то на круге не изменит своего положения!
Например:
В какую четверть попадает угол -2000°?
Всё то же самое! Для начала считаем, сколько полных оборотов сидит в этом злом угле. Чтобы не косячить в знаках, оставим минус пока в покое и просто поделим 2000 на 360. Получим 5 с хвостиком. Хвостик нас пока не волнует, его чуть позже сосчитаем, когда рисовать угол будем. Считаем пять полных оборотов в градусах:
5·360° = 1800°
Воот. Именно столько лишних градусов можно смело выкинуть из нашего угла без ущерба для здоровья.
Считаем оставшийся хвостик:
2000° – 1800° = 200°
А вот теперь можно и про минус вспомнить.) Куда будем мотать хвостик 200°? В минус, конечно же! Нам же отрицательный угол задан.)
2000° = -1800° - 200°
Вот и рисуем угол -200°, только уже без лишних оборотов. Только что его рисовали, но, так уж и быть, накалякаю ещё разок. От руки.
Ясен перец, что и заданный угол -2000°, так же как и -200°, попадает во вторую четверть.
Итак, мотаем себе на кру… пардон… на ус:
Если задан очень большой отрицательный угол, то первая часть работы с ним (поиск числа полных оборотов и их отбрасывание) та же самая, что и при работе с положительным углом. Знак "минус" на данном этапе решения не играет никакой роли. Учитывается знак лишь в самом конце, при работе с углом, оставшимся после удаления полных оборотов.
Как видите, рисовать отрицательные углы на круге ничуть не сложнее, чем положительные.
Всё то же самое, только в другую сторону! По часам!
А вот теперь - самое интересное! Мы рассмотрели положительные углы, отрицательные углы, большие углы, маленькие - полный ассортимент. Также мы выяснили, что любую точку на круге можно обозвать положительным и отрицательным углом, отбрасывали полные обороты… Нету никаких мыслей? Должно отложиться...
Да! Какую точку на круге ни возьми, ей будет соответствовать бесконечное множество углов! Больших и не очень, положительных и отрицательных - всяких! И разница между этими углами будет составлять целое число полных оборотов. Всегда! Так уж тригонометрический круг устроен, да...) Именно поэтому обратная задача - найти угол по известным синусу/косинусу/тангенсу/котангенсу - решается неоднозначно . И куда сложнее. В отличие от прямой задачи - по заданному углу найти весь набор его тригонометрических функций. И в более серьёзных темах тригонометрии (арки , тригонометрические уравнения и неравенства ) мы с этой фишкой будем сталкиваться постоянно. Привыкаем.)
1. В какую четверть попадает угол -345°?
2. В какую четверть попадает угол 666°?
3. В какую четверть попадает угол 5555°?
4. В какую четверть попадает угол -3700°?
5. Какой знак имеет cos 999°?
6. Какой знак имеет ctg 999°?
И это получилось? Прекрасно! Есть проблемы? Тогда вам .
Ответы:
1. 1
2. 4
3. 2
4. 3
5. "+"
6. "-"
В этот раз ответы выданы по порядку в нарушение традиций. Ибо четвертей всего четыре, а знаков так и вовсе два. Особо не разбежишься…)
В следующем уроке мы с вами поговорим про радианы, про загадочное число "пи", научимся легко и просто переводить радианы в градусы и обратно. И с удивлением обнаружим, что даже этих простых знаний и навыков нам будет уже вполне достаточно для успешного решения многих нетривиальных задачек по тригонометрии!
Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:
Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века. Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда "дуракам закон не писан". Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.
Что же такое "бесконечная гостиница"? Бесконечная гостиница - это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре "для посетителей" заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами "для гостей". Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у "бесконечной гостиницы" бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда - всегда только один, гостиница - она одна, коридор - только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно "впихнуть невпихуемое".
Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует - одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.
Вариант первый. "Пусть нам дано" одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:
Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.
Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю - РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:
Нижние индексы "один" и "два" указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.
Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.
Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения - это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).
воскресенье, 4 августа 2019 г.
Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:
Читаем: "... богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы."
Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:
Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.
За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду - имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.
суббота, 3 августа 2019 г.
Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.
Пусть у нас есть множество А , состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку "люди" Обозначим элементы этого множества через букву а , нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения "половой признак" и обозначим её буквой b . Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А на половой признак b . Обратите внимание, что теперь наше множество "люди" превратилось в множество "люди с половыми признаками". После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой - мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет - умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.
После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw . Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат - "множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин". Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.
Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.
Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как "правильно" применять их "знания". Этим "знаниям" они обучают нас.
В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с .
понедельник, 7 января 2019 г.
В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
среда, 4 июля 2018 г.
Я вам уже рассказывал, что , при помощи которой шаманы пытаются сортировать " " реальности. Как же они это делают? Как фактически происходит формирование множества?
Давайте внимательно разберемся с определением множества: "совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое". А теперь почувствуйте разницу между двумя фразами: "мыслимое как единое целое" и "мыслимое как целое". Первая фраза - это конечный результат, множество. Вторая фраза - это предварительная подготовка к формированию множества. На этом этапе реальность разбивается на отдельные элементы ("целое") из которых потом будет сформировано множество ("единое целое"). При этом фактор, позволяющий объединить "целое" в "единое целое", внимательно отслеживается, иначе у шаманов ничего не получится. Ведь шаманы заранее знают, какое именно множество они хотят нам продемонстрировать.
Покажу процесс на примере. Отбираем "красное твердое в пупырышку" - это наше "целое". При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть "целого" и формируем множество "с бантиком". Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.
А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем "твердое в пупырышку с бантиком" и объединим эти "целые" по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество "красное". Теперь вопрос на засыпку: полученные множества "с бантиком" и "красное" - это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.
Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество "красное твердое в пупырышку с бантиком". Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики . Вот как это выглядит.
Буква "а" с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется "целое" на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат - элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут "интуитивно" придти к такому же результату, аргументируя его "очевидностью", ведь единицы измерения не входят в их "научный" арсенал.
При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.
суббота, 30 июня 2018 г.
Если математики не могут свести понятие к другим понятиям, значит они ничего не понимают в математике. Отвечаю на : чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Ответ очень простой: числами и единицами измерения.
Это сегодня всё, что мы не возьмем, принадлежит какому-либо множеству (как нас уверяют математики). Кстати, вы в зеркале видели у себя на лбу список тех множеств, к которым принадлежите именно вы? И я такого списка не видел. Скажу больше - ни одна вещь в реальности не имеет бирочки со списком множеств, к которым эта вещь принадлежит. Множества - это всё выдумки шаманов. Как они это делают? Давайте заглянем немного в глубь истории и посмотрим, как выглядели элементы множества до того, как математики-шаманы растащили их по своим множествам.
Давним-давно, когда о математике ещё никто и не слышал, а кольца были только у деревьев и у Сатурна, огромные стада диких элементов множеств бродили по физическим полям (ведь математических полей шаманы ещё не придумали). Выглядели они приблизительно так.
Да, не удивляйтесь, с точки зрения математики все элементы множеств больше всего похожи на морских ежей - из одной точки, как иголки, во все стороны торчат единицы измерений. Для тех, кто , напоминаю, что любую единицу измерения геометрически можно представить как отрезок произвольной длины, а число - как точку. Геометрически любую величину можно представить как пучок отрезков, торчащих в разные стороны из одной точки. Эта точка - точка ноль. Рисовать это произведение геометрического искусства я не буду (нет вдохновения), но вы легко это можете представить.
Какие же единицы измерения образуют элемент множества? Всякие, описывающие данный элемент с разных точек зрения. Это и древние единицы измерения, которыми пользовались наши предки и о которых все давно забыли. Это и современные единицы измерения, которыми мы пользуемся сейчас. Это и неизвестные нам единицы измерения, которые придумают наши потомки и которыми будут пользоваться они для описания реальности.
С геометрией мы разобрались - предлагаемая модель элементов множества имеет четкое геометрическое представление. А как с физикой? Единицы измерения - это и есть прямая связь математики с физикой. Если шаманы не признают единицы измерения как полноправный элемент математических теорий - это их проблемы. Настоящую науку математику без единиц измерения лично я уже не представляю. Вот почему в самом начале рассказа о теории множеств я говорил о ней как о каменном веке.
Но перейдем к самому интересному - к алгебре элементов множеств. Алгебраически любой элемент множества представляет из себя произведение (результат умножения) разных величин.Выглядит это так.
Я умышленно не применял условные обозначения, принятые в теории множеств, поскольку мы рассматриваем элемент множества в естественной среде обитания до возникновения теории множеств. Каждая пара буковок в скобках обозначает отдельную величину, состоящую из числа, обозначенного буквой "n " и единицы измерения, обозначенной буквой "a ". Индексы возле буковок указывают на то, что числа и единицы измерения - разные. Один элемент множества может состоять из бесконечного числа величин (на сколько у нас и наших потомков хватит фантазии). Каждая скобка геометрически изображается отдельным отрезком. В примере с морским ежом одна скобка - это одна иголка.
Как шаманы формируют множества из разных элементов? Фактически, по единицам измерения или по числам. Ничего не понимая в математике, они берут разных морских ежей и внимательно их рассматривают в поисках той единственной иголки, по которой они формируют множество. Если такая иголка есть, значит этот элемент принадлежит множеству, если такой иголки нет - это элемент не из этого множества. Нам же шаманы рассказывают басни о мыслительных процессах и едином целом.
Как вы уже догадались, один и тот же элемент может принадлежать к самым разным множествам. Дальше я вам покажу, как формируются множества, подмножества и прочая шаманская галиматья. Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.
Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.
Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.
Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.
В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...
А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.
Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.
Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".
Пара различных лучей Оа и Оb, выходящих из одной точки О, называется углом и обозначается символом (а, b). Точка О называется вершиной угла, а лучи Оа u Оb -- сторонами угла. Если А и В -- две точки лучей Оа и Оb, то (а, b) обозначается также символом АОВ (рис. 1.1).
Угол (а, Ь) называют развернутым, если лучи Оа и Ob, выходящие из одной точки, лежат на одной прямой и не совпадают (т. е. противоположно направлены).
Рис.1.1
Два угла считаются равными, если один угол можно наложить на другой так, чтобы стороны углов совпадали. Биссектрисой угла называется луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.
Говорят, что луч ОС, исходящий из вершины угла АОВ, лежит между его сторонами, если он пересекает отрезок АВ (рис. 1.2). Говорят, что точка С лежит между сторонами угла, если через эту точку можно провести луч с началом в вершине угла, лежащий между сторонами угла. Множество всех точек плоскости, лежащих между сторонами угла, образует внутреннюю область угла (рис. 1.3). Множество точек плоскости, не принадлежащих внутренней области и сторонам угла, образует внешнюю область угла.
Угол (а, b) считают больше угла (c, d), если угол (с, d) можно наложить на угол (а, b) так, что после совмещения одной пары сторон вторая сторона угла (с, d) будет лежать между сторонами угла (а, b). На рис. 1.4 АОВ больше АОС.
Пусть луч с лежит между сторонами угла (а, b) (рис. 1.5). Пары лучей а, с и с, b образуют два угла. Об угле (а, b) говорят, что он является суммой двух углов (а, с) и (с, b), и пишут: (а, b) = (а, с) + (с, b).
Рис.1.3
Обычно в геометрии имеют дело с углами, меньшими развернутого. Однако в результате сложения двух углов может получиться угол, больший развернутого. В этом случае ту часть плоскости, которая считается внутренней областью угла, отмечают дугой. На рис. 1.6 внутренняя часть угла АОВ, полученного в результате сложения углов АОС и СОВ и большего развернутого, отмечена дугой.
Рис.1.5
Существуют также углы большие 360°. Такие углы образуются, например, вращением пропеллера самолета, вращением барабана, на который наматывается канат, и т. д.
В дальнейшем при рассмотрении каждого угла условимся считать одну из сторон этого угла его начальной стороной, а другую -- конечной стороной.
Любой угол, например угол АОВ (рис. 1.7), можно получить в результате вращения подвижного луча вокруг вершины О от начальной стороны угла (ОА) до его конечной стороны (ОВ). Мы будем измерять этот угол, учитывая полное количество оборотов, сделанных при этом вокруг точки О, а также и направление, в котором происходило вращение.
Положительные и отрицательные углы.
Пусть мы имеем угол, образованный лучами ОА и ОВ (рис.1.8). Подвижный луч, вращаясь вокруг точки О от своего начального положения (ОА), может занять конечное положение (ОВ) при двух различных направлениях вращения. Эти направления показаны на рисунке 1.8 соответствующими стрелками.
Рис.1.7
Подобно тому, как на числовой оси одно из двух направлений считается положительным, а другое отрицательным, различают и два различных направления вращения подвижного луча. Условились считать положительным направлением вращения то направление, которое противоположно направлению вращения часовой стрелки. Направление вращения, совпадающее с направлением вращения часовой стрелки, считается отрицательным.
В соответствии с этими определениями углы также подразделяются на положительные и отрицательные.
Положительным углом называется угол, образованный вращением подвижного луча вокруг начальной точки в положительном направлении.
На рисунке 1.9 даны некоторые положительные углы. (Направление вращения подвижного луча показано на чертежах стрелками.)
Отрицательным углом называется угол, образованный вращением подвижного луча вокруг начальной точки в отрицательном направлении.
На рисунке 1.10 изображены некоторые отрицательные углы. (Направление вращения подвижного луча показано на чертежах стрелками.)
Но два совпадающих луча могут также образовать и углы +360°п и -360°п (п = 0,1,2,3,...). Обозначим через б наименьший возможный неотрицательный угол поворота, переводящий луч ОА в положение ОВ. Если теперь луч ОВ совершит дополнительно полный оборот вокруг точки О, то получим другую величину угла, а именно: АВО = б + 360°.
Измерение углов дугами окружности. Единицы измерения дуг и углов
В ряде случаев оказывается удобным измерять углы при помощи дуг окружности. Возможность такого измерения основа на известном предложении планиметрии о том, что в одном круге (или в равных кругах) центральные углы и соответствующие им дуги находятся в прямой пропорциональной зависимости.
Пусть некоторая дуга данной окружности принята за единицу измерения дуг. Соответствующий этой дуге центральный угол примем за единицу измерения углов. При таком условии любая дуга окружности и соответствующий этой дуге центральный угол будут содержать одно и то же число единиц измерения. Поэтому, измеряя дуги окружности, можно определять и величину соответствующих этим дугам центральных углов.
Рассмотрим две наиболее распространенные системы измерения дуг и углов.
Градусная мера измерения углов
При градусном измерении углов в качестве основной единицы измерения углов (эталонного угла, с которым сравниваются различные углы) берется угол в один градус (обозначается 1?). Угол в один градус -- это угол, равный 1/180 части развернутого угла. Угол, равный 1/60 части угла в 1°, -- это угол в одну минуту (обозначается 1"). Угол, равный 1/60 части угла в одну минуту,-- это угол в одну секунду (обозначается 1").
Радианная мера измерения углов
Наряду с градусной мерой измерения углов в геометрии и тригонометрии употребляется и другая мера измерения углов, называемая радианной. Рассмотрим окружность радиуса R с центром О. Проведем два радиуса О А и ОВ так, чтобы длина дуги АВ была равна радиусу окружности (рис. 1.12). Получившийся при этом центральный угол АОВ будет углом в один радиан. Угол в 1 радиан принимается за единицу измерения радианной меры измерения углов. При радианном измерении углов развернутый угол равен р радиан.
Градусная и радианная единицы измерения углов связаны равенствами:
1 радиан =180?/р57° 17" 45"; 1?=р/180 радиана0,017453радиана;
1"=р/180*60 радиана0,000291 радиана;
1""=р/180*60*60 радиана0,000005 радиана.
Градусную (или радианную) меру угла также называют величиной угла. Величину угла АОВ иногда обозначают /
Классификация углов
Угол, равный 90°, или в радианной мере р/2, называется прямым углом; его часто обозначают буквой d. Угол, меньший 90°, называется острым; угол, больший 90°, но меньший 180°, называется тупым.
Два угла, имеющие одну общую сторону и в сумме составляющие 180°, называются смежными углами. Два угла, имеющие одну общую сторону и в сумме составляющие 90°, называются дополнительными углами.
Назовем вращение подвижного радиуса-вектора в направлении против движения часовой стрелки положительным, а в противоположном направлении (в направлении по движению часовой стрелки) отрицательным. Угол, описанный при отрицательном вращении подвижного радиуса-вектора, назовем отрицательным углом.
Правило. Угол измеряется положительным числом, если он положительный, и отрицательным числом, если он отрицательный.
Пример 1. На рис. 80 изображены два угла с общей начальной стороной ОА и общей конечной стороной OD: один равен +270°, другой -90°.
Сумма двух углов. На координатной плоскости Оху рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 81).
Пусть произвольный угол а (на чертеже положительный) получен в результате вращения некоторота подвижного радиуса-вектора от его начального положения ОА, совпадающего с положительным направлением оси Ох, до его конечного положения .
Примем теперь положение радиуса-вектора ОЕ за начальное и отложим от него произвольный угол (на чертеже положительный), который получим в результате вращения некоторого подвижного радиуса-вектора от его начального положения ОЕ до его конечного положения ОС. В результате этих действий мы получим угол, который будем называть суммой углов а и . (Начальное положение подвижного радиуса-вектора ОА, конечное положение радиуса-вектора ОС.)
Разность двух углов.
Под разностью двух углов а и , которую обозначим мы будем понимать такой третий угол у, который в сумме с углом дает угол а, т. е. если Разность двух углов можно трактовать как сумму углов а и . В самом деле, Вообще, для любых углов их сумма измеряется алгебраической суммой действительных чисел, измеряющих эти углы.
Пример 2. тогда .
Пример 3. Угол , а угол . Сумма их .
В формуле (95.1) предполагалось, что - любое целое неотрицательное число. Если же предположить, что - любое целое число (положительное, отрицательное или нуль), то при помощи формулы
где можно будет записать любой угол, как положительный, так и отрицательный.
Пример 4. Угол, равный -1370°, можно записать так:
Заметим, что все углы записанные при помощи формулы (96.1), при разных значениях , но одном и том же а, имеют общие начальную (ОА) и конечную (ОЕ) стороны (рис. 79). Поэтому построение любого угла сводится к построению соответствующего неотрицательного угла меньшего 360°. На рис. 79 углы между собой не отличаются, они различаются лишь процессом вращения радиуса-вектора, который привел к их образованию.
В тригонометрии важным понятием является угол поворота . Ниже мы последовательно будем давать представление о повороте, и вводить все сопутствующие понятия. Начнем с общего представления о повороте, скажем о полном обороте. Далее перейдем к понятию угла поворота и рассмотрим его основные характеристики, такие как направление и величина поворота. Наконец, дадим определение поворота фигуры вокруг точки. Всю теорию по тексту будем снабжать поясняющими примерами и графическими иллюстрациями.
Навигация по странице.
Что называют поворотом точки вокруг точки?
Сразу отметим, что наряду с фразой «поворот вокруг точки» будем также использовать словосочетания «поворот около точки» и «поворот относительно точки», что обозначает одно и то же.
Введем понятие поворота точки вокруг точки .
Сначала дадим определение центра поворота.
Определение.
Точку, относительно которой осуществляется поворот, называют центром поворота .
Теперь скажем, что получается в результате поворота точки.
В результате поворота некоторой точки A относительно центра поворота O получается точка A 1 (которая в случае некоторого количества может совпадать с A ), причем точка A 1 лежит на окружности с центром в точке O радиуса OA . Иными словами, при повороте относительно точки O точка A переходит в точку A 1 , лежащую на окружности с центром в точке O радиуса OA .
Считают, что точка O при повороте вокруг самой себя переходит в саму себя. То есть, в результате поворота вокруг центра поворота O точка O переходит в саму себя.
Также стоит отметить, что поворот точки А вокруг точки O стоит рассматривать как перемещение в результате движения точки А по окружности с центром в точке O радиуса OA .
Для наглядности приведем иллюстрации поворота точки А вокруг точки O , на рисунках, расположенных ниже, перемещение точки А в точку А 1 покажем при помощи стрелки.
Полный оборот
Можно выполнить такой поворот точки A относительно центра поворота O , что точка А , пройдя все точки окружности, окажется на прежнем месте. При этом говорят, что точка А совершила вокруг точки O .
Дадим графическую иллюстрацию полного оборота.
Если же не останавливаться на одном обороте, а продолжать движение точки по окружности, то можно выполнить два, три и так далее полных оборотов. На чертеже ниже справа показано, как могут быть произведены два полных оборота, а слева - три оборота.
Понятие угла поворота
Из введенного в первом пункте понятия поворота точки понятно, что существует бесконечное множество вариантов поворота точки А вокруг точки O . Действительно, любую точку окружности с центром в точке O радиуса OA можно рассматривать как точку A 1 , полученную в результате поворота точки А . Поэтому, чтобы отличать один поворот от другого, вводится понятие угла поворота .
Одной из характеристик угла поворота является направление поворота . По направлению поворота судят о том, как осуществляется поворот точки – по часовой стрелке или против часовой стрелки.
Другой характеристикой угла поворота является его величина . Углы поворота измеряются в тех же единицах, что и : наиболее распространены градусы и радианы. Здесь стоит заметить, что угол поворота может выражаться в градусах любым действительным числом из промежутка от минус бесконечности до плюс бесконечности, в отличие от угла в геометрии, величина которого в градусах положительна и не превосходит 180 .
Для обозначения углов поворота обычно используются строчные буквы греческого алфавита: и т.д. Для обозначения большого количества углов поворота часто применяют одну букву с нижними индексами, к примеру, 
.
Теперь поговорим о характеристиках угла поворота подробнее и по порядку.
Направление поворота
Пусть на окружности с центром в точке O отмечены точки A и A 1 . В точку А 1 можно попасть из точки A , выполнив поворот вокруг центра O либо по часовой стрелке, либо - против часовой стрелки. Эти повороты логично считать различными.
Проиллюстрируем повороты в положительном и отрицательном направлении. На чертеже ниже слева показан поворот в положительном направлении, а справа – в отрицательном.
Величина угла поворота, угол произвольной величины
Угол поворота точки, отличной от центра поворота, полностью определяется указанием его величины, с другой стороны, по величине угла поворота можно судить о том, как этот поворот был осуществлен.
Как мы уже упоминали выше, величина угла поворота в градусах выражается числом от −∞ до +∞ . При этом знак плюс соответствует повороту по часовой стрелке, а знак минус – повороту против часовой стрелки.
Теперь осталось установить соответствие между величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.
Начнем с угла поворота, равного нулю градусам. Этому углу поворота отвечает перемещение точки А в себя. Другими словами, при повороте на 0 градусов вокруг точки O точка А остается на месте.
Переходим к повороту точки А вокруг точки O , при котором поворот происходит в пределах половины оборота. Будем считать, что точка А переходит в точку А 1 . В этом случае абсолютная величина угла AOA 1 в градусах не превосходит 180 . Если поворот происходил в положительном направлении, то величина угла поворота считается равной величине угла AOA 1 , а если поворот происходил в отрицательном направлении, то его величина считается равной величине угла АОА 1 со знаком минус. Для примера приведем рисунок, показывающий углы поворота в 30 , 180 и −150 градусов.
Углы поворота большие 180 градусов и меньшие −180 градусов определяются на основе следующего достаточно очевидного свойства последовательных поворотов : несколько последовательных поворотов точки A вокруг центра O равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.
Приведем пример, иллюстрирующий данное свойство. Выполним поворот точки А относительно точки O на 45 градусов, а затем еще повернем эту точку на 60 градусов, после чего повернем эту точку на −35 градусов. Обозначим промежуточные точки при этих поворотах как A 1 , A 2 и A 3 . В эту же точку А 3 мы могли попасть, выполнив один поворот точки A на угол 45+60+(−35)=70 градусов.
Итак, углы поворота, большие 180 градусов, мы будем представлять как несколько последовательных поворотов на углы, сумма величин которых дает величину исходного угла поворота. Например, угол поворота 279 градусов соответствует последовательным поворотам на 180 и 99 градусов, или на 90 , 90 , 90 и 9 градусов, или на 180 , 180 и −81 градус, или на 279 последовательных поворотов по 1 градусу.
Аналогично определяются и углы поворота, меньшие −180 градусов. К примеру, угол поворота −520 градусов можно интерпретировать как последовательные повороты точки на −180 , −180 и −160 градусов.
Подведем итог . Мы определили угол поворота, величина которого в градусах выражается некоторым действительным числом из промежутка от −∞ до +∞ . В тригонометрии мы будем работать именно с углами поворота, хотя слово «поворот» часто опускают, и говорят просто «угол». Таким образом, в тригонометрии мы будем работать с углами произвольной величины, под которыми будем понимать углы поворота.
В заключение этого пункта отметим, что полный оборот в положительном направлении соответствует углу поворота в 360 градусов (или 2·π радианов), а в отрицательном – углу поворота в −360 градусов (или −2·π рад). При этом удобно большие углы поворота представлять как некоторое количество полных оборотов и еще один поворот на угол величиной от −180 до 180 градусов. Для примера возьмем угол поворота 1 340 градусов. Несложно 1 340 представить как 360·4+(−100) . То есть, исходному углу поворота отвечают 4 полных оборота в положительном направлении и последующий поворот на −100 градусов. Другой пример: угол поворота −745 градусов можно интерпретировать как два оборота против часовой стрелки и последующий поворот на −25 градусов, так как −745=(−360)·2+(−25) .
Поворот фигуры вокруг точки на угол
Понятие поворота точки легко расширяется на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (речь идет о таком повороте, что и точка, относительно которой осуществляется поворот, и фигура, которую поворачивают, лежат в одной плоскости).
Под поворотом фигуры будем понимать поворот всех точек фигуры вокруг заданной точки на данный угол.
В качестве примера приведем иллюстрацию следующему действию: выполним поворот отрезка AB на угол относительно точки O , это отрезок при повороте перейдет в отрезок A 1 B 1 .
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.